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【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算(理)习题-课件

【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算(理)习题-课件


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数 的概念及运算(理)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.下列各组函数中导函数相同的是 导学号 25400473 ( A.y=x 与 y=2
2 2

)

x

B.y=ln(-x)与 y=lnx 1 D.y=sinxcosx 与 y= sin2x 2

C.y=lnx 与 y=2lnx [答案] D

1 2 2 2 [解析] 对于选项 C,(lnx )′= 2·2x= (x≠0),(2lnx)′= (x>0),否定 C.

x

x

x

对于选项 A,(x )′=2x,(2x)′=2 ·ln2,否定 A. 1 1 1 对于选项 B,(ln(-x))′=(- )×(-1)= (x<0),(lnx)′= (x>0),否定 B,故选

2

x

x

x

x

D. lnx-2x 2.(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的

x

切线方程为 导学号 25400474 ( A.2x-y-4=0 C.x+y+1=0 [答案] D

) B.2x+y=0 D.x-y-3=0

[解析] ∵f(1)=-2,∴点(1,-2)在函数的图象上. 1-lnx 1-ln1 ∴f ′(x)= ,∴f ′(1)= =1,∴切线方程是 y-(-2)=1·(x-1),即 2 2 x 1

x-y-3=0.故选 D.
3.(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y= -3lnx+1 的一条切线 4 1 的斜率为 ,则切点的横坐标为 导学号 25400475 ( 2 A.3 C.1 [答案] A B.2 1 D. 2 )

x2

x0 3 1 [解析] 设切点为(x0,y0),则 f ′(x0)= - = ,解得 x0=3 或 x0=-2.又 x0>0, 2 x0 2
1

所以 x0=3.故选 A. 4.(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0))处的 切线的倾斜角为 导学号 25400476 ( π A. 4 3π C. 4 [答案] A [解析] f ′(x)=e cosx-e sinx,所以 f ′(0)=e cos0-e sin0=1,所以倾斜角 α π = .故选 A. 4 5. (2015·日照一中检测)已知函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是 x-2y +1=0,则 f(1)+2f ′(1)的值是 导学号 25400477 ( 1 A. 2 3 C. 2 [答案] D [解析] ∵函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是 x-2y+1=0, ∴f(1)=1, B.1 D.2 )
x x
0 0

x

) B.0 D.1

f ′(1)= .∴f(1)+2f ′(1)=2,故选 D.
6 . 若 P 为 曲 线 y = lnx 上 一 动 点 , Q 为 直 线 y = x + 1 上 一 动 点 , 则 |PQ|min = 导学号 25400478 ( A.0 C. 2 [答案] C [解析] 如图所示,直线 l 与 y=lnx 相切且与 y=x+1 平行时, 1 1 切点 P 到直线 y=x+1 的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)′= ,令 ) B. 2 2

1 2

D.2

x

x

=1,得 x=1.故 P(1,0).故|PQ|min= 二、填空题

2 2

= 2.故选 C.

7 . 直 线 y = kx + b 与 曲 线 y = ax + 2 + lnx 相 切 于 点 P(1,4) , 则 b 的 值 为 ________. 导学号 25400479
2

2

[答案] -1 [解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×1 +2+ln1=4,解得 a=2,故 y=2x +2+lnx,
2 2

y′=4x+ ,从而曲线在点 P 处切线的斜率 k=y′|x=1=4×1+ =5,则切线方程为 y=5x x 1
+b,由点 P 在切线上得 4=5×1+b,解得 b=-1. 8 . 设 函 数 f(x) 在 (0 , + ∞) 内 可 导 , 且 f(e ) = x + e , 则 f ′(1) = ________. 导学号 25400480 [答案] 2 [解析] 方法 1 令 t=e ,故 x=lnt,∴f(t)=lnt+t,即 f(x)=lnx+x,∴f ′(x) 1 = +1,∴f ′(1)=2.
x x x

1

1

x

方法 2 f ′(e )=1+e ,f ′(1)=f ′(e )=1+e =2. 1 x 9.(2015·陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂

x

x

0

0

x

直,则 P 的坐标为________. 导学号 25400481 [答案] (1,1) 1 x x [解析] y′=e , 则 y=e 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1, 又曲线 y= (x>0)上点 P

x

1 x 处的切线与 y=e 在点(0,1)处的切线垂直,所以 y= (x>0)在点 P 处的切线的斜率为-1,

x

1 -2 设 P(a,b),则曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a =-1,可得 a=1,

x

1 又 P(a,b)在 y= 上,所以 b=1,故 P(1,1).

x

10.(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编 号). 导学号 25400482 ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x
3

②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sinx ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tanx ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=lnx [答案] ①③④

2

[解析] 对于①,y′=3x ,y′|x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x 在点 P(0,0)处
3

2

3

的切线,画图可知曲线 C:y=x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,①正确;对于②,因为

3

y′=2(x+1),y′|x=-1=0,所以 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2 在点 P(-1,0)处的切
线,②错误;对于③,y′=cosx,y′|x=0=1,在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知 1 曲线 C:y=sinx 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,③正确;对于④,y′= 2 ,y′|x cos x
=0

1 = 2 =1,在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C:y=tanx 在点 P(0,0)附近 cos 0

1 位于直线 l 的两侧,④正确;对于⑤,y′= ,y′|x=1=1,在点 P(1,0)处的切线为 l:y=

x

1 x-1 x-1,令 h(x)=x-1-lnx(x>0),可得 h′(x)=1- = ,所以 h(x)min=h(1)=0,故 x x x -1≥lnx,可知曲线 C:y=lnx 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧,⑤错误. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=x +x-16. 导学号 25400483 (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. [答案] (1)y=13x-32 (2)y=13x,(-2,-26) [解析] (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f ′(x)=(x +x-16)′=3x +1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f ′(2)=13. ∴切线的方程为 y+6=13(x-2),即 y=13x-32. (2)设切点坐标为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)=3x0+1,y0=x0+x0-16, ∴直线 l 的方程为 y=(3x0+1)(x-x0)+x0+x0-16. 又∵直线 l 过坐标点(0,0), ∴0=(3x0+1)(-x0)+x0+x0-16, 整理得,x0=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26, 得切点坐标(-2,-26),k=3×(-2) +1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 1 3 2 12 . (2015· 临 沂 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) = x - 2x + 3x(x ∈ R) 的 图 象 为 曲 线 3
2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3

C. 导学号 25400484
(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的
4

取值范围. [答案] (1)[-1,+∞) (2)(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞) [解析] (1)由题意得 f ′(x)=x -4x+3, 则 f ′(x)=(x-2) -1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k,
2 2

k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 - ≥-1, ? ? k
解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x -4x+3<0 或 x -4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞). B 组 能力提升 1. (2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1, 其导函数 f ′(x)满足 f ′(x) >k>1,则下列结论中一定错误的是 导学号 25400485 ( 1 1 A.f( )< )
2 2

k

k

1 1 B.f( )> k k-1 D.f( 1 k )> k-1 k-1

C.f(

1 1 )< k-1 k-1

[答案] C 3 1 2 1 2 1 [解析] 取满足题意的函数 f(x)=2x-1,若取 k= ,则 f( )=f( )= < = ,所以 2 k 3 3 3 k 11 10 11 1 1 k 排除 A;若取 k= ,则 f( )=f( )=f(10)=19>11= = ,所以排除 D; 10 k-1 11 11 k-1 -1 -1 10 10 1 1 1 1 取满足题意的函数 f(x)=10x-1,若取 k=2,则 f( )=f( )=4>1= = ,所以排 k 2 2-1 k-1 除 B.故结论一定错误的是 C. 2.(2015·重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是 导学号 25400486 ( A.2 C.3 [答案] A [解析] 由 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8 两边求导得,f ′(x)=2f ′(2-x)×(-1)
5
2 2

)

B.1 D.-2

-2x+8.令 x=1 得 f ′(1)=2f ′(1)×(-1)-2+8? f ′(1)=2,故所求切线斜率是 2. 3.(2015·江西九江月考)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f ′(x)存在,且导数

f ′(x)在 D 上也可导, 则称 f(x)在 D 上存在二阶导数, 记为 f ″(x)=[f ′(x)]′, 若 f ″(x)
π <0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0, )上是凸函数的是 2 ________(把你认为正确的序号都填上). 导学号 25400487 ①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x; ③f(x)=-x +2x-1;④f(x)=xe . [答案] ①②③ [解析] 由①知,f ′(x)=cosx-sinx,则 f ″(x)=-sinx-cosx=- 2sin(x+ π ) 4
3

x

π 1 1 <0 在区间(0, )上恒成立;由②知,f ′(x)= -2(x>0),则 f ″(x)=- 2<0 在区间 2 x x π π 2 (0, )上恒成立;由③知,f ′(x)=-3x +2,则 f ″(x)=-6x<0 在区间(0, )上恒 2 2 成立.故①②③中的函数为凸函数.由④知,f ′(x)=e +xe ,f ″(x)=2e +xe =e (x π +2)>0 在区间(0, )上恒成立,故④中的函数不是凸函数. 2 lnx 4.设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. 导学号 25400488
x x x x x

x

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. [答案] (1)y=x-1 (2)略 lnx 1-lnx [解析] (1)设 f(x)= ,则 f ′(x)= . 2

x

x

所以 f ′(1)=1,即 L 的斜率为 1. 又 L 过点(1,0),所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(? x >0,x≠1).

x2-1+lnx g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f ′(x)= . x2
当 0<x<1 时,x -1<0,lnx<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x -1>0,lnx>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(? x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 5.(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)=ax +3x -6ax-11,g(x)=3x +6x+12
6
3 2 2 2 2

和直线 m:y=kx+9,且 f ′(-1)=0. 导学号 25400489 (1)求 a 的值; (2)是否存在 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存 在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. [答案] (1)a=-2 (2)k=0 [解析] (1)由已知得 f ′(x)=3ax +6x-6a, ∵f ′(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)存在.由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切 点为(x0,3x0+6x0+12). ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x +3x +12x-11, ①由 f ′(x)=0 得-6x +6x+12=0,解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f ′(x)=12 得-6x +6x+12=12,解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.
2 2 3 2 2 2 2

7


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