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计数原理复习

计数原理复习


计数原理复习练习 计数原理问题: 例 1.完成下列选择题与填空题 ( 1 )有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参 赛方法有 。 (3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1) 可得 N=34=81(种) ; ②竞赛项目可以挑学生, 而学生无选择项目的机会,每一项可以挑 4 种不同 3 学生,共有 N=4 =64(种) ; ③等价于从 4 个学生中挑选 3 个学生去参加三个项目的竞赛, 每人参加一项, 3 3 故共有 C4 ·A3 =24(种) 。 例 2. (江苏卷)今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答) 。 解析:本题考查排列组合的基本知识,由题意可知,因同色球不加以区分,
4 2 3 实际上是一个组合问题,共有 C9 C5 C3 ? 1260 。

点评: 分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也 是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论 有很多相通之处, 当遇到比较复杂的问题时, 用分类的方法可以有效的将之化简, 达到求解的目的。 题型 2:排列问题 例 3. ( 1) (北京卷)在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数 中,各位数字之和为奇数的共有( ) (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 (2) (福建卷)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工 作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有( ) (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 (3) (湖南卷)在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任 意两个数字都不相邻的全排列个数是( ) A.6 B. 12 C. 18 D. 24 (4)(重庆卷)高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈

节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数 是( ) (A) 1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040 解析: (1)依题意,所选的三位数字有两种情况: (1)3 个数字都是奇数, 有 A3 种方法(2)3 个数字中有一个是奇数,有 C3A3 ,故共有 A3 + C3A3 =24 种 方法,故选 B; ( 2 ) 从 全部 方 案 中减 去 只 选 派男 生 的 方案 数 , 合 理的 选 派 方案 共 有
3 A73 ? A4 =186 种,选 B;

3

1

3

3

1

3

3 (3)先排列 1,2,3,有 A3 ? 6 种排法,再将“+” , “-”两个符号插入, 2 有 A2 ? 2 种方法,共有 12 种方法,选 B;

(4)不同排法的种数为 A5 A6 =3600,故选 B。 点评: 合理的应用排列的公式处理实际问题, 首先应该进入排列问题的情景, 想清楚我处理时应该如何去做。 例 4. (1) (天津卷)用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数, 则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) ; (2) (上海春)电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告, 要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播 放方式(结果用数值表示). 解析: (1)可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可
3 以交换位置,3,4,各为 1 个数字,共可以组成 2 ? A3 ? 12 个五位数;② 若末位 2 数字为 2, 则 1 与它相邻, 其余 3 个数字排列, 且 0 不是首位数字, 则有 2 ? A2 ? 4

5

2

个五位数;③ 若末位数字为 4,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各 为 1 个数字,且 0 不是首位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以全部合理的
2

五位数共有 24 个。 (2)分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广 告有 A44 种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填 48。 点评: 排列问题不可能解决所有问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为 辅助。 题型三:组合问题 例 5. (1)(06 重庆卷)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班 至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( ) 解析(1)将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,
1 2 C5 ? C4 ? 15 2 最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 A2

3 种方法,再将 3 组分到 3 个班,共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B;

(A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)27 0种 (2) (06 天津卷)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个 盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方 法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 解析: (2)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1 号盒子
1 中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 ? 4 种方法;②1 号盒子中放 2 个球, 2 其余 2 个放入 2 号盒子,有 C4 ? 6 种方法;则不同的放球方法有 10 种,选 A。

点评: 计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础,应用计数原理结合 例 6. (1)(陕西卷)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支 教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种; (2) (全国II)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者, 则不同的分派方法共有( ) (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解析: (1)可以分情况讨论,① 甲去,则乙不去,有 C6 ? A4 =480 种选法;
3 4

②甲不去,乙去,有 C6 ? A4 =480 种选法;③甲、乙都不去,有 A6 =360 种选法;
3 4 4

共有 1320 种不同的选派方案;
3 1 1 C5 C2C1 3 ? A3 2 (2) 人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式, 若是 1,2,2, 则有 A2 1 2 2 C5 C4 C2 3 ? A3 2 A 2 =60 种,若是 1,1,3,则有 =90 种,所以共有 150 种,选 A。

点评:排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题,诸如分组问题等; 题型 4:排列、组合的综合问题 例 7.平面上给定 10 个点,任意三点不共线,由这 10 个点确定的直线中, 无三条直线交于同一点(除原 10 点外) ,无两条直线互相平行。求: (1)这些直 线所交成的点的个数(除原 10 点外) 。 (2)这些直线交成多少个三角形。 解法一: (1)由题设这 10 点所确定的直线是 C102=45 条。 这 45 条直线除原 10 点外无三条直线交于同一点, 由任意两条直线交一个点, 2 共有 C45 个交点。而在原来 10 点上有 9 条直线共点于此。所以,在原来点上有 10C92 点被重复计数; 所以这些直线交成新的点是:C452-10C92=630。 (2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个 顶点,这三个点来自上述 630 个点或原来的 10 个点。所以三角形的个数相当于 从这 640 个点中任取三个点的组合,即 C6403=43486080(个) 。 解法二: (1)如图对给定的 10 点中任取 4 个点,四点连成 6 条直线,这 6

条直线交 3 个新的点。故原题对应于在 10 个点中任取 4 点的不同取法的 3 倍, 即这些直线新交成的点的个数是:3C104=630。

(2)同解法一。 点评:用排列、组合解决有关几何计算问题,除了应用排列、组合的各种方 法与对策之外,还要考虑实际几何意义。 例 8.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3} 中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条 数。 解
a 设倾斜角为θ ,由θ 为锐角,得 tanθ =- b >0,即 a、b 异号。

(1) 若 c=0, a、 b 各有 3 种取法, 排除 2 个重复 (3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0) , 故有 3×3-2=7(条) ; (2)若 c≠0,a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,而同时 c 还有 4 种取法,且 其中任两条直线均不相同,故这样的直线有 3×3×4=36 条,从而符合要求的直 线共有 7+36=43 条; 点评:本题是 1999 年全国高中数学联赛中的一填空题,据抽样分析正确率 只有 0.37。错误原因没有对 c=0 与 c≠0 正确分类;没有考虑 c=0 中出现重复的 直线。 题型 5:二项式定理
(x ?

例 9. (1) (湖北卷)在 有 A.3 项 (2)
( x?

3

1 24 ) x 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共

B.4 项

C.5 项

D.6 项

1 10 ) 3x 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是

(A)0 请独立完成作业。

(B)2

(C)4

(D)6

解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识;

1. a

(

x
2

?

a x

)6
的展开式中,第 5 项是(
6x 2 3 B. a ?
20 C. x


15 D. x

15 A. x ?

(3 a ?

1 a

)15

2. A.7
(3x ? 2

的展开式中,不含 a 的项是第( B.8 C.9

)项 D.6 )

3.

2

)n

展开式中第 9 项是常数项,则 n 的值是( D.10 ) D. ? C10
5

A.13 B.12 C.11 10 4.(x?1) 的展开式的第 6 项的系数是( A. C10
1 3 5

6

B. ? C10
11

6

C. C10 )

5

5. C11 ? C11 ? C11 ? ? ? C11 的结果是( A.2
11

B.2

6

C.2

10

D.25

6.(x?2)6 的展开式中含 x3 项的系数是( ) A.160 B.20 C.?160 6 3 7. (x?2) 的展开式中含 x 项的二项式系数是( A.160 B.20 C.?160

D.?20 ) D.?20 )

0 9 1 8 2 7 8 9 8.化简 C9 ( x ? 2) ? C9 ( x ? 2) ? C9 ( x ? 2) ? ? ? C9 ( x ? 2) ? C9 的结果是(

A.x

9

B.(x?1)

9

C. (x+1)

9

D. (x?3) .

9

1 (x ? ) 9 x 的展开式中含 x3 的项是 9. (2x 3 ? 1 10 ) x 2 展开式的常数项是

10.

.

(
11. 在 是 12.
(1 ?

x b ? 3 )18 b x 的展开式中,第
.

项是中间项,中间项

1 10 1 ) 2 x 的展开式中含 x 5 的项的系数是

. 。

6 7 6 13.(x+y)n 的展开式有一项是 Cn x y ,则 n 的值为
2 n 2 2n 14.设 (1 ? x ? x ) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ? ? a2n x ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2n

= 15. 已

, a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = 知

。 , 若

(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ?? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? an x n

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? 29 ? n ,则自然数 n 的值是
(3 3 ? 1 2 )7

16.求二项式

的展开式中的有理项.


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