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1.1.1算法的概念.(1)_图文

1.1.1算法的概念.(1)_图文

创设情境
算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育 阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许 多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外去括弧,竖 式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我 们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式 的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。因此, 算法其实是重要的数学对象。

探索研究
算法一词源于算术,即算术方法,是指一个由已知推求未知的运 算过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤 称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴 的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌 曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种 机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的 算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。

请大家研究解决下面的一个问题
1.两个大人和两个小孩一 起渡河,渡口只有一条小 船,每次只能渡1 个大人或 两个小孩,他们四人都会 划船,但都不会游泳。试 问他们怎样渡过河去?请 写出一个渡河方案。
S1 两个小孩同船过河去;
S2 一个小孩划船回来;

S3 一个大人划船过河去;
S4 对岸的小孩划船回来; S5 两个小孩同船渡过河去; S6 一个小孩划船回来; S7 余下的一个大人独自划船渡过河

去;对岸的小孩划船回来; S8 两个小孩再同时划船渡过河去。

2.一群小兔一群鸡,两群 合到一群里,要数腿共48, 要数脑袋整17,多少小兔 多少鸡?

1.解得鸡10只,兔7只; 2.归纳一般二元一次方程组的 令D
? a 11a 22 ? a 21a 12

?a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b1 通用方法。即 ?a x ? a x ? b 22 2 2 ? 21 1

若D=0,方程组无解或有无数 多解。 b a ? b 2 a 12 x 1 ? 1 22 若D ≠ 0,则 D
x2

b 2 a 11 ? b1a 21 ? D

由此可得解二元一次方程组的 算法。

由此可得解二元一次方程组的算法
?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2

S1 S2

计算 D ? a11a22 ? a21a12 如果D=0,则原方程组无解或有无穷多组解;否则
b1a 22 ? b 2 a 12 x1 ? D

(D≠0), S3

x2 ?

b 2 a 11 ? b1a 21 D

输出计算结果、或者无法求解的信息。

什么是算法?
算法一词出现于12世纪,指的是阿拉伯数字进行算术运算 的过程。

在数学中,算法通常是指按照一定规则来解决某一类问题
的明确和有限的步骤。 算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决。

例题分析
第一步,用2除7,得余数1。因为余数不为0,

例1 设计一个 算法,判断7是 否为质数

所以2不能整除7。 第二步,用3除7,得余数1。因为余数不为0,

所以3不能整除7。 第三步,用4除7,得余数2。因为余数不为0, 所以4不能整除7。 第四步,用5除7,得余数2。因为余数不为0,所
以5不能整除7。 第五步,用6除7,得余数1。因为余数不为0, 所以6不能整除7.因此,7是质数。

例2 任意给定一个 整数n(n>2),试设 计一个程序或步骤 对n是否为质数做 出判定。

第一步,给定大于2的整数n。 第二步,令i=2

第三步,用i除n,得到余数r.
第四步,判断“r=0”是否成立,若是,则n不是质 数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示。 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立,若是,则n 是质数,结束算法;否则,返回第三步。

例 3:
用二分法设计一个求方程

x ?2?0
2

(x>0)的近似根的算法.

f

(

x)

第一步,令

f

? x ? ? x2 ? 2 ,给定精确度d.
? x
2

?

2

? a, b ? 第二步,确定区间 , 满足 f (a) ? f (b) ? 0
第三步:取区间中点
m ?

第四步,若 f (a) ? f (m) ? 0 ,则含零点的区间为 ? a, m? ; 否则,含零点的区间为? m, b?. 将新得到的含零点的 ? 区间仍记为 ? a, b. 第五步:判断? a, b ? 的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则 m是方程的近似解;否则,返回第三步.

a ?b . 2

课堂练习
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求这个数 为半径的圆的面积。 算法步骤: 第一步,给定一个正实数r. 第二步,计算以r为半径的圆的面积S=πr2。 第三步,得到圆的面积S。

课堂练习
2.任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数。 算法步骤: 第一步,给定一个大于1的正整数n. 第二步,令i =1, 第三步,用i除n,得到余数r。 第四步,判断“r=0”是否成立,若是,则i是n的因数;否则,i不是n的因 数. 第五步,使i的值增加1,仍用i表示. 第六步,判断“i>n”是否成立,若是,则算法结束,否则, 返回第三步.

自我评价
课堂练习

写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法

x1, 2 ?

?b?

b 2 ? 4ac 2a

S3 输出计算结果x1,x2或无解信息。

课堂 小结

本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题 的步骤,平时无论我们做什么事都离不开算法, 算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。 算法的概念:由基本运算及规定的运算顺序所构

成的完整的解题步骤,或者是按照要求设计好的
有限的计算序列,并且这样的步骤或序列能解决

一类问题。

算法的基本特点
1、有穷性 一个算法应包括有限的操作步骤,能在执行有穷的操作步骤之后 结束。 2、确定性 算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的,既不能含 糊其词,也不能有二义性。 3、可行性 算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作, 并能得到确定的结果 。

4、不唯一性:算法不一定是唯一的,可以有不同的算 法; 5、普遍性:同一类问题,可以用同一算法去解决;

普遍性

算法的特 性

可行性


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