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山东省潍坊三县2011届高三质检

山东省潍坊三县2011届高三质检


山东省潍坊三县 2011 届高三质检_高考试题库 数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填在答题卷的答题卡内) 1.已知集合 M ? { x | A.(1,2)
2 x < 1} , N ? { y | y ? x ? 1} ,则 N ? ?R M 等于

B. [0,2]
1 x

C. ?
? 1 ,则 p 是 ? q 成立的

D. [1,2]

2.已知条件 p : x ≤ 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 分也非必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充

3.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画,出了某多面体的三视图,则这个 多面体最长的一条棱的长为 A. C. 4
3

B. 2 3 D. 2 2

4. 如 图 , 矩 形 O A B C 的 阴 影 部 分 是 由 曲 线 f ? x ? ? sin x ? x ? ? 0, ? ? ? 及 直 线 内
x ? a ? a ? ? 0, ?
1 4

? ? 与 x 轴围成,向矩形 O A B C 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为

,则 a 的值是
7? 12 2? 3 3? 4 5? 6

A.

B.

C.

D.

5.设 f ' ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ' ( x ) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是

6.已知各项均不为零的数列 { a n } ,定义向量 c n ? ( a n , a n ?1 ) ,b n ? ( n , n ? 1) , n ? N * . 下列命 题中真命题是 A. 若 ? n ? N * 总有 c n / / b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列 B. 若 ? n ? N * 总有 c n / / b n 成立,则数列 { a n } 是等比数列 C. 若 ? n ? N * 总有 c n ? b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列 D. 若 ? n ? N * 总有 c n ? b n 成立,则数列 { a n } 是等比数列 7.已知 m , n ? R , a 、 b 、 c 是共起点的向量, a 、 b 不共线, c ? m a ? n b ,则 a 、 b 、
c

的终点共线的充分必要条件是 B. m ? n ? 0 C. m ? n ? 1 D. m ? n ? 1

A. m ? n ? ? 1 8. ( x ? A.0
1 3x )
10

的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 B.2
?
2 3 4

C.4
) 的振幅为 3 2

D.6 , 图象上相邻最高点与最低点之

9.已知简谐振动 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( ? ?

间的距离为 5,且过点 ( 0 , ) ,则该简谐振动的频率与初相分别为 A. ,
6 1 ? 6

B. ,
8

1 ? 6

C.

?
4

,

?
6

D.

1 ? , 6 3

10.设奇函数 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x ) ? f ( ? x )] ? 0 的解集 为 A. { x | ? 1 ? x ? 0 , 或 x ? 1} C. { x | x ? ? 1, 或 x ? 1} B. { x | x ? ? 1, 或 0 ? x ? 1} D. { x | ? 1 ? x ? 0 , 或 0 ? x ? 1}

11.设 e 1 , e 2 分别为具有公共焦点 F1 与 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公 共点,且满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则
1 2

e1 ? e 2
2

2

( e1 e 2 )

2

的值为

A.

B.1

C.2

D.不确定

12.已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,在定义域 x ? [-2,2]上表示的曲线过原点,且在 x =± 处的切线斜率均为 ? 1 .有以下命题: 1 ① f ? x ? 是奇函数;②若 f ? x ? 在 ? s , t ? 内递减,则 t ? s 的最大值为 4;③ f ? x ? 的最大值为
M ,最小值为 m ,则 M ? m ? 0 ; ④若对 ? x ? ? ? 2, 2 ? , k ≤ f ?( x ) 恒成立,则 k 的最大

值为 2.其中正确命题的个数为 A .1 个 B. 2 个 C .3 个 D. 4 个

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷中对应题号后 的横线上) 13.若下框图所给的程序运行结果为 S=20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 .

14.已知

?
2

? ? ?? ?

3? 4

, co s(? ? ? ) ?

12 13

, s in ( ? ? ? ) ? ?

3 5

, 则 sin ? ? cos ? 的值

.

15

?x ? y ≥ 3 x y ? 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ? 1 ,若目标函数 z ? ? ( a ? 0 , b ? 0 ) a b ?2x ? y ≤ 3 ?

的最大值为 10,

则 5 a ? 4 b 的最小值为

.

16.如图,在透明塑料制成的长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 容器内灌进一些水,将容器底面一 边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? A A1 时, A E ? B F 是定值. 其中正确说法是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 得 分 评卷人
已知向量 m 高点的坐标为 ?
?? ? ? ? 1, cos ? x ? , n ? sin ? x ,

17.(本小题满分 12 分)

?

3

?

??

? 0?

,函数

f

?x? ?
? , ?2 ? ?

?? ? m ?n

,且 f ? x ? 图象上一个最

? ? ? 12

? ,2? ?

,与之相邻的一个最低点的坐标为 ?

? 7? ? 12

.

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)在△ABC 中, a , b , c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,求角 B 的大 小以及 f ? A ? 的取值范围.

得 分 评卷人 18. (本小题满分 12 分)

上海世博会深圳馆 1 号作品《大芬丽莎》是由大芬村 507 名画师集体创作的 999 幅 油画组合而成的世界名画 《蒙娜丽莎》 因其诞生于大芬村, , 因此被命名为 《大芬丽莎》 某 . 部门从参加创作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师,测得画师年龄情况如下表所示.
分 组 (单位:岁) 频数 频 率

?20,25 ?

5

0. 050

?25,30 ?


0. 200

?3 0 , 3 5 ? ?3 5 , 4 0 ?

35



30

0. 300

?40,45 ?
合 计

10

0. 100

100

1.00

(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图, 再根据频率分布直方图估计这 507 名画师中年龄在 ? 30, 35 ? 岁的人数(结果取整数); (2)在抽出的 100 名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加上海世博会深 圳馆志愿者活动,其中选取 2 名画师担任解说员工作,记这 2 名画师中“年龄低于 30 岁”的 人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

得 分 评卷人

19. (本小题满分 12 分)

已知各项均为正数的数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 2 ? 2 a n 2 ? a n a n ? 1 , 且 a 2 ? a 4 ? 2 a 3 ? 4 , 其中 n ? N * . (I)求数列 ? a n ? 的通项公式;
? ( II ) 设 数 列 ? b n ? 的 前 n 项 和 为 T n , 令 b n ? a n 2 , 其 中 n ? N , 试 比 较

T n ?1 ? 1 2 4Tn



2 lo g 2 b n ? 1 ? 2 2 lo g 2 b n ? 1

的大小,并加以证明.

得 分 评卷人 20.(本题满分 12 分)

如图,在 R t ? A B C 中,? A C B ? 90 ? ,? B ? 30 ? ,D 、E 分别为 A B 、C D 的中点,A E 的延长线交 C B 于 F 。现将 ? A C D 沿 C D 折起,折成二面角 A ? C D ? B ,连接 AF .

(I)求证:平面 A E F ? 平面 C B D ; (II)当 A C ? B D 时,求二面角 A ? C D ? B 大小的余弦值.

得 分 评卷人 21.(本小题满分 12 分)

已知实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b 的双曲线 S 的焦点在 x 轴上,直线 y ? ? 3 x 是双曲线
S 的一条渐近线,且原点 O 、点 A ( a , 0) 和点 B (0, ? b ) )使等式
??? ? OA
2

??? ? ? OB

2

?

? 4 ??? OA 3

2

??? ? ? OB

2

成立.

(I)求双曲线 S 的方程; (II)若双曲线 S 上存在两个点关于直线 l : y ? kx ? 4 对 称,求实数 k 的取值范围.

得 分 评卷人 22.(本小题满分 14 分)

已知 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x 2 ? ax ? 3. (1)求函数 f ( x ) 在 [ t , t ? 2 ]( t> 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ? ? ), 2 f ( x )≥ g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ? ? ) ,都有 ln x>
1 e
x

?

2 ex

成立.

山东潍坊三县市高三数学(理科)参考答案
一选择题 BCABD ADBCA
3 65 65

CB 15.8; 16.①③④

二填空题 13. k ? 8 ;14. 三、解答题

17.解:(1) f ( x ) ? m ? n ? sin ? x ?
?
3

?? ?

3 cos ? x ? 2 (

1 2

s in ? x ?

3 2

cos ? x)

? 2 s in ( ? x ?

).

--------------------------------------2 分
? ? ? ,2? ? 12 ?

? f ? x ? 图象上一个最高点的坐标为 ?
? T 2 ? 7? 12 ?

,与之相邻的一个最低点的坐标为 ?
2? T ? 2.

? 7?

? , ?2 ? ? 12 ?

.

?
12

?

?
2

,? T ? ? ,于是 ? ?
?
3 ).
2

---------------5 分

所以 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?

---------------------------------6 分
a ?c ?b
2 2

(2)? a ? c ? b ? ac ,? c o s B ?
2 2 2

?

1 2

-----------------------------------7 分

2ac

又 0 ? B ? ? ,? B ?
? B ?

?
3

.? f ( A ) ? 2 s in ( 2 A ? .于是
?
3 ? 2A ?

?
3

) --------------------------------------------8 分

?
3

?0 ? A ?

2? 3

?
3

?

5? 3



? s in ( 2 A ?

?
3

) ? ? ? 1,1 ? .

------------------------------------------------------------10 分

所以 f ( A ) ? ? ? 2, 2 ? .------------------------------------------------------------12 分 18.解:(1)①处填 20,②处填 0.350;50 7 名画师中年龄在 ?30 ,35 ? 的人数为
0 . 35 ? 507 ? 177 人,补全频率分布直方图如图所示?????????6分

(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人, “年龄不低于 30 岁”的有 15 人.故ξ 的可能取值为 0, 1,2;
P (? ? 0 ) ? C 15 C 20 C 15 C 5 C 20 P ?? ? 2 ? ? C5
2 2

2

2

?

42 76

?

21 38

.

1

1

P (? ? 1) ?

2

?

30 76

?

15 38

.

?

4 76

?

1 19

.

C 20

所以ξ 的分布列为 ξ P 0
21 38 .

1
15 38

2
1 19

所以 E ? ? 0 ?

21 38

? 1?

15 38

? 2?

1 19

?

1 2 .

?????????????12 分

19.解:(Ⅰ)因为 a n ? 1 ? 2 a n ? a n a n ? 1 ,即 ( a n ?1 ? a n )( 2 a n ? a n ? 1 ) ? 0
2 2

又 a n ? 0 ,所以有 2 a n ? a n ? 1 ? 0 ,所以 2 a n ? a n ? 1 所以数列 ? a n ? 是公比为 2 的等比数列. …………………………………………3 分

由 a 2 ? a 4 ? 2 a 3 ? 4 得 2 a 1 ? 8 a 1 ? 8 a 1 ? 4 , 解得 a 1 ? 2 . 故数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n ( n ? N ) . ……………………………………….6 分
?

(II)因 b n ? a n 2 ? 2 2 n ? 4 n ,所以 b1 ? 4 ,

bn ?1 bn

? 4

即数列 ? b n ? 是首项为 4 ,公比是 4 的等比数列. 所以 T n ?
4 3 ( 4 ? 1)
n

,……………………………………….

……………………………………7 分

T n ? 1 ? 12

?

4

n ?1 n

?8



4T n

4 ( 4 ? 1)

?1?

3 4 ?1
n

2 log

2

b n ?1 ? 2
2

又 2 log

bn ? 1

?

4n ? 6 4n ? 1

?1?

7 4n ? 1 .

……………………………………8 分

T n ? 1 ? 12 4T n

?

2 log

2

b n ?1 ? 2
2

2 log

bn ? 1

?

3 4 ?1
n

?

7 4n ? 1

?

4 (3 n ? 1 ? 7 ? 4
n

n ?1

)

( 4 ? 1 )( 4 n ? 1 )

法一:数学归纳法 猜想 7 ? 4
n ?1

? 3n ? 1

0 ①当 n ? 1 时, 7 ? 4 ? 7 ? 3 ? 1 ? 1 ? 4 ,上面不等式显然成立;

k ?1 ? 3 k ? 1 成立 ②假设当 n ? k 时,不等式 7 ? 4

当 n ? k ? 1 时, 7 ? 4 ? 4 ? 7 ? 4
k
?

k ?1

? 4 ( 3 k ? 1) ? 12 k ? 4 ? 3 k ? 4 ? 3 ( k ? 1) ? 1 .
? 3 n ? 1 ……………………………………….10 分

综上①②对任意的 n ? N 均有 7 ? 4 法二:二项式定理:因为 n ? N
?

n ?1

,

1 1 所以 7 ? 4 n ?1 ? 7 ? (1 ? 3) n ?1 ? 7 ? ( C n0?1 ? C n ?1 ? 3 ? C n2?1 ? 3 2 ? ? ? C n ?1 ? 3 n ?1 )

? 7 ? (1 ? 3 n ) ? 1 ? 3 n .

即对任意的 n ? N 均有 7 ? 4 又 4 ? 1 ? 0, 4 n ? 1 ? 0 ,
n

?

n ?1

? 3n ? 1 .

……………………………………..10 分

?

T n ? 1 ? 12 4T n

?

2 log

2

b n ?1 ? 2
2

2 log

bn ? 1

? 0

T n ? 1 ? 12

所以对任意的 n ? N 均有

?

?

2 log

2

b n ?1 ? 2
2

4T n

2 log

bn ? 1 .

………………………….12 分

20.证明:(I)在 R t ? A B C 中 , D 为 A B的 中 点 , 得 A D ? C D ? D B ,
又 ? B ? 30 , 得 ? A C D 是 正 三 角 形 , 又 E 是 CD 的中点,得 AF⊥CD. …………..3 分
?

折起后,AE⊥CD,EF⊥CD,又 AE∩EF=E,AE ? 平面 AED,EF ? 平面 AEF, 故 CD⊥平面 AEF,又 CD ? 平面 CDB,故平面 AEF⊥平面 CBD. ????5 分 (II)过点 A 作 AH⊥EF,垂足 H 落在 FE 的延长线上. 因为 CD⊥平面 AEF,所以 CD⊥AH,所以 AH⊥平面 CBD. ????6 分 以 E 为原点,EF 所在直线为 x 轴,ED 所在直线为 y 轴,过 E 与 AH 平行的直线为 z 轴 建立如图空间直角坐标系. …..……………………7 分 由(I)可知∠AEF 即为所求二面角的平面角,设为 ? ,并设 AC= a ,可得
C (0, ? a 2 , 0 ), D ( 0 , a 2 , 0 ), B ( 3a 2 , a , 0 ), A ( 3a 2 cos ? , 0, 3a 2 s in ? ).

????8 分

???? 故 A C ? (? ???? B D ? (? 3a

3a 2 ,?

cos ? , ? a

a 2

,?

3a 2

s in ? ),

, 0 ), 2 2 ???? ???? ???? ???? ? A C ? B D ,? A C ? B D ? 0 , 即 3a 4
2

cos ? ?
1 3 .

a

2

? 0,

4

得 cos ? ? ?

????11 分
1 3 .
2 2 2 2

故二面角 A—CD—B 大小的余弦值为 ?

????12 分
x a y b

21.解:(I)根据题意设双曲线 S 的方程为

?

? 1,

????2 分

?b ? 3 ?a ? 且? , 4 2 2 2 2 ?a ? b ? a b ? 3 ?

解方程组得 a ? 1, b ?

3.

? 所求双曲线的方程为 x

2

?

y

2

? 1.

????6 分

3

(II)当 k ? 0 时,双曲线 S 上显然不存在两个点关于直线 l : y ? kx ? 4 对称; ????7 分 当 k ? 0 时,设又曲线 S 上的两点 M、N 关于直线 l 对称, l ? M N . 设直线 MN 的方程为 y ? ?
1 ? ?y ? ? x? m k ? ?3 x 2 ? y 2 ? 3 ?
1 k x ? m , 则 M、N 两点的坐标 满足方程组

,

消去 y 得 ( 3 k 2 ? 1) x 2 ? 2 kmx ? ( m 2 ? 3 ) k 2 ? 0 .

显然 3 k 2 ? 1 ? 0 , ? ? ? ( 2 km ) 2 ? 4 ( 3 k 2 ? 1)[ ? ( m 2 ? 3 ) k 2 ] ? 0 . 即 k 2 m 2 3 k 2 ? 1 ? 0 .
? km ? x0 ? 2 ? ? 3k ? 1 则? . 2 3k m ?y ? 2 ? 0 3k ? 1 ?
3k m 3k
2 2

设线段 MN 中点为 D ( x 0 , y 0 ),

? D ( x 0 , y 0 ) 在直线 l : y ? kx ? 4 上 , ?
2 2

?1

?

? k m
2

3k

2

?1

? 4.

????10 分

即 k m ? 3k ? 1.
2 2

?k m ? 3k ? 1 ? ? ? . 2 2 2 ?k m ? 3k ? 1 ? 0 ?

?k m
2

2

? mk

2

? 0 , 解得 m ? 0 或 m ? ? 1 . ?

3k

2

?1
2

? 0或

3k

2

?1
2

? ?1.

k
1 3 1 4

k

? k

2

?

或k

2

?

.

即 | k |?

3 3

或 | k |?

1 2

,且 k ? 0.

? k 的取值范围是 ( ?? , ?

3 3

) ? (?

1 2

,0 ) ? ( 0 ,

1 2

)? (

3 3

, ?? ) .

????12 分

22.解: (1)由已知知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) , f ?( x ) ? ln x ? 1 ,?????1 分 当 x ? ( 0 , ), f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当 x ? ( , ? ? ), f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增.?2 分
e e 1 e 1 1

①0 ? t ? t ? 2 ? ②0 ? t ?
1 e 1 e

,没有最小值; ????????????????????3 分
1 e 1 e

? t ? 2 ,即 0 ? t ?

时, f ( x ) m in ? f ( ) ? ?
e

1

1 e



???????4 分

③ ≤ t ? t ? 2 ,即 t≥

时, f ( x ) 在 ? t , t ? 2 ? 上单调递增,

f ( x ) m in ? f ( t ) ? t ln t ; ???????????5 分
1 ? 1 ? ,0 ? t ? . ? e ? e ? ? ? t ln t , t≥ 1 ? e ?

所以 f ( x ) m in

?????????????????6 分

(2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? 设 h ( x ) ? 2 ln x ? x ?
3 x ( x ? 0 ) ,则 h ? ( x ) ?

3 x

,??????????7 分 ,

( x ? 3 )( x ? 1) x
2

① x ? (0,1), h ?( x ) ? 0, h ( x ) 单调递减, ② x ? (1, ?? ), h ?( x ) ? 0, h ( x ) 单调递增, 所以 h ( x ) m in ? h (1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ?? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立, 所以 a ? h ( x ) m in ? 4 ;??????????????????10 分 (3)问题等价于证明 x ln x ?
x e
x

?

2 e

( x ? ( 0 , ? ? )) ,??????????11 分 1 e

由(1)可知 f ( x ) ? x ln x ( x ? (0, ?? )) 的最小值是 ? 设m (x) ?
x e
x

,当且仅当 x ?

1 e

时取到,

?

2 e

( x ? ( 0 , ? ? )) ,则 m ? ( x ) ? 1 e 1 e
x

1? x e
x



易知 m ( x ) m a x ? m (1) ? ?

,当且仅当 x ? 1 时取到,??????????13 分
? 2 ex

从而对一切 x ? (0, ?? ) ,都有 ln x ?

成立

????????14 分


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