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瑞金一中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题

瑞金一中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题


瑞金一中 2016-2017 学年高二下学期第一次月考
数学(文)试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 若一个复数的实部与虚部互为相反数, 则称此复数为“理想复数”.已知 z ? 为“理想复数”,则( A. 3a ? 5b ? 0 ) B. a ? 5b ? 0 C. 3a ? 5b ? 0 D. a ? 5b ? 0 )

a ? bi ? a ,b ? R ? 1 ? 2i

m m n n 2.若 m, n ? N ? 则 a ? b 是 a ? b ? a ? b ? 0 成立的(

?

??

?

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.即非充分又非必要条件

3. 观察下列关于变量 x 和 y 的三个散点图,它们从左到右的对应关系依次是

A.正相关、负相关、不相关 C.负相关、正相关、不相关

B.负相关、不相关、正相关 D.正相关、不相关、负相关

4.已知椭圆与双曲线

x2 y 2 5 ? ? 1 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为( 3 2 5
B.



A.

x2 y 2 ? ?1 20 25

x2 y 2 ? ?1 25 5

C.

x2 y 2 ? ?1 25 20

D.

x2 y 2 ? ?1 5 25


5.阅读如下程序框图,如果输出

,那么空白的判断框中应填入的条件是(

A.

B.

C.

D.

6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所 持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半,我手上就有 90 钱) ;乙复 语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱 成五十六,则乙手上有( )钱.
1

A. 28

B. 32

C. 56 ) C.

D. 70

7.不等式|x﹣1|+|x+2|≤4 的解集是( A. B.

D.

? ? ? ? 8.已知向量 a ? (3, ?2) , b ? ( x, y ? 1) 且 a ∥ b ,若 x, y 均为正数,则 3 ? 2 的最小值是( )
x y

A. 24

B. 8

C. 8 3

D. 5 3
2 3 AB , 3

,y2 ) 是抛物线上的两个动点,若 x1 ? x2 ? 4 ? 9.抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,设 A(x1, y 1), B( x 2

则 ?AFB 的最大值为( A.


3? 4

? 3

B.

C.

5? 6

D.

2? 3

10.已知双曲线 C :

x2 y2 O 是坐标 ? ? 1(a>0,b>0) 的左焦点为 F (?c,0), M、N 在双曲线 C 上, a2 b2

原点,若四边形 OFMN 为平行四边形,且四边形 OFMN 的面积为 2cb ,则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 2 3

11.已知偶函数 f(x)的定义域为 R,且 f(1+x)=f(1﹣x) ,又当 x∈时,f(x)=x,函 数 g(x)= A.8 B.6 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间上的零点个数为( ) C.9 D.7

12.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象如图所示,则 A. (? , )

3 1 2 2

B. ( ? , )

2 1 5 2

C. (? , )

1 3 2 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

b ?1 的取值范围是( ) a?2 y 3 5 D. (? , ) 2 2 1 2
-1 0 x

13.已知具有线性相关关系的变量 x 和 y ,测得一组数据如下表所示.

x
y

2 10

4 20

5 40

6 30

8 50

若已求得它们的回归直线的斜率为 6.5,则这条回归直线的方程为



2

14. 把半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在往该圆内任投 一点,此点落在星形内的概率为 15.若函数 f ( x) ? k ? 16. 如图甲,在 . .

x 4 ? 3x 2 有 3 个零点,则实数 k 的取值范围是 x
中, , 中, 、 . , 为.垂足,则 ,

,该结论称 平面 , 为垂足,

为射影定理.如图乙,在三棱锥 且 在 内,类比射影定理,探究

平面 、

这三者之间满足的关是

三.解答题: (本大题共 6 题,共 70 分,22 题 10 分,其余 5 题各 12 分.) 17. 为推行“新课堂”教学法,某数学老师分别用原传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式, 在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图。记成绩不低于 70 分者为“成绩优良”. (1)分别计算甲、乙两班 20 个样本中,数学分数前十 的平均分; .. (2)由以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断能 否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优 良与教学方式有关”?

甲班 成绩优良 成绩不优良 总计

乙班

总计

K2 ?
附:

n(ad ? bc) 2 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) . (n ? a ? b ? c ? d )

独立性检验临界表

P(K2≥0) K0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024
3

0.010 6.635

18. 复数 z1=

+(10﹣a )i,z2=

2

+(2a﹣5)i,若

+z2 是实数,求实数 a 的值.

19.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? ln(x 2 ? 2 x ? a) , (1)若 a ? 0 ,求 F( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点; (2)设命题 P : f ( x) 在 ? , ? 单调递减,q : g ( x) 的定义域为 R,若 p ? q 为真命题,求 a 的范围。 4 2

?1 1? ? ?

20.已知函数 f ? x ? ? 2x ? ax ? 8 .
3 2

(1)若 f ? x ? ? 0 对 ?x ??1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a , 使得函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 4ax ?12a x ? 3a ? 8 在区间 ? 0,1? 上存在极小值,
2 2 3

若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 1 3 21.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过 P( 3, ) ,离心率 e ? . 2 a b 2
⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵过 Q(0, ) 的直线与椭圆交于 A、B 两点,与直线 y ? 2 交于点 M(直线 AB 不经过 P 点) , 记 PA、PB、PM 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 ,问:是否存在常数 ? ,使得 求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
Q?
O

1 2

1 1 ? ? ? ?,若存在, k1 k2 k3
y

y?2
?P
x

22. 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 2 ? x ? 1 有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的最小值为 3 ,求实数 a 的值.
4

瑞金一中 2016-2017 学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷答案 题号 答案 1 C 2 D 14. 3 D 4 C 5 B 6 B 7 B 8 B 16. 9 D 10 D 11 D 12 A

13. y ? 6.5 x ? 2.5

4

?

?1

15. (?2, 0) ? (0, 2)

17.解(1)甲的平均分 80.9 乙的平均分 89.4 ??? 6 分 (2) 甲班 成绩优良 成绩不优良 总计 10 10 20 乙班 16 4 20 总计 26 14 40

K=3.956>3.841 能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” 12 分 18.解∵z1= ∴ =( = ∵ +z2 是=[ + +(10﹣a )i,z2= +(a2﹣10)i]+[ )+(a2﹣10+2a﹣5)i +(a2+2a﹣15)i, +z2 是实数,∴a +2a﹣15=0,解得 a=﹣5 或 a=3.
2 2

+(2a﹣5)i, +(2a﹣5)i]

又分母 a+5≠0,∴a≠﹣5,故 a=3. 19. 解(1)? a ? 0, ? F ( x) ? ln(x 2 ? 2x) ? ln x 由 F ( x) ? 0得x 2 ? 2x ? x, ? x ? 0或x ? 3

x | x ? 2}, ? x ? 0 舍去 又因为 F ( x)的定义域{
? F ( x) 的零点为 3
(2)? f ' ( x) ? a ? ??????(6 分)

1 ?1 1? , 且f ( x)在? , ? 递减 x ?4 2?

?a ?

1 ?1 1? ? 0 在 ? , ? 恒成立 x ?4 2?

?a ? 2

??????(9 分)

又因为 g ( x) 的定义域为 R,

5

所以 x 2 ? 2 x ? a ? 0 对一切实数恒成立? 4 ? 4a ? 0, ? a ? 1 ???????(11 分)

? p ? q为真, ?1 ? a ? 2
20.解: (1)由 f ? x ? ? 0 得 a ? 设 h ? x? ? 2x ?

????????(12 分)

2 x3 ? 8 8 ? 2x ? 2 , 2 x x

8 16 ,则 h′ ? x? ? 2 ? 3 , 2 x x

? x ??,2? ,∴ h′ ? x? ? 0 ,则 h ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,
∴ h ? x ?max ? h ?1? ? 10 ,

? f ? x ? ? 0 对 ?x ??1, 2? 恒成立,即 a ? 2 x ?
∴ a ? 10 ,则实数 a 的取值范围为
3 2 2

8 对 ?x ??1, 2? 恒成立, x2
??????? 6 分

?10, ??? .
3

(2)? g ? x ? ? 2x ? 3ax ?12a x ? 3a , ∴ g′ ? x? ? 6x ? 6ax ?12a ? 6 ? x ? a?? x ? 2a ? ,
2 2



a ? 0 时, g′ ? x? ? 0 , g ? x ? 单调递增,无极值.

②当 a ? 0 时,若 x ? ?2a ,或 x ? a ,则 g′ ? x? ? 0 ; 若 ?2a ? x ? a ,则 g′ ? x? ? 0 . ∴当 x ? a 时, g ? x ? 有极小值.

? g ? x? 在 ? 0,1? 上有极小值,∴ 0 ? a ? 1 .
③当 a ? 0 时,若 x ? a 或 x ? ?2a ,则 g′ ? x? ? 0 ; 若 a ? x ? ?2a ,则 g′ ? x? ? 0 . ∴当 x ? ?2a 时, g ? x ? 有极小值.

? g ? x? 在 ? 0,1? 上有极小值,∴ 0 ? ?2a ? 1 ,得 ? ? a ? 0 .
由①②③得,不存在整数 a ,使得函数

1 2

g ? x?

在区间

? 0,1? 上存在极小值.???

12 分

21.解:⑴

x2 ? y2 ? 1 4

???4 分

6

⑵当直线 AB 斜率不存在时, A(0, ?1), B(0,1), P( 3, ) 有

1 2

1 1 2 ? ? ? ? ? 2 ?5 分 k1 k2 k3

当直线 AB 斜率存在时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 直线 AB: y ? kx ?

1 2

M(

3 , 2) ???6 分 2k

1 ? y ? kx ? ? ? 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4kx ? 3 ? 0 ? 2 x ? ? y2 ? 1 ? ?4

?4 k ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ???7 分 ? ? x x ? ?3 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?

1 1 x1 ? 3 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 1 ? x1 ? 3 x2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 k1 k2 kx kx k x x2 ? 1 2 1 ? y1 ? y2 ? 2 2
? 1 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 2 4 3 ???9 分 ? ? k x1 x2 k 3

3 ? 3 1 2k 1 2 3 而 ? ? ? 1 k3 k 3 2? 2


???11 分

1 1 2 ? ? ? ? ? 2 ,存在常数 ? ? 2 符合题意 k1 k2 k3

???12 分

a 22. (Ⅰ)由题 f ( x) ? 2 ? x ? 1 ,即为 | x ? | ? x ?1 ? 1 . 2 a a 而由绝对值的几何意义知 | x ? | ? x ? 1 ?| ? 1| ,------- 2 分 2 2 a 由不等式 f ( x) ? 2 ? x ? 1 有解,∴ | ? 1|? 1 ,即 0 ? a ? 4 . 2 ? 实数 a 的取值范围 [0, 4] .------- 5 分 a a (Ⅱ)函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 1 的零点为 和 1 ,当 a ? 2 时知 ? 1 2 2
a ? ? ?3 x ? a ? 1( x ? 2 ) ? a ? ? f ( x) ? ? x ? a ? 1( ? x ? 1) ------- 7 分 2 ? ?3 x ? a ? 1 ( x ? 1) ? ? a a 如图可知 f ( x ) 在 (??, ) 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 2 2 a a ? f ( x)min ? f ( ) ? ? ? 1 ? 3 ,得 a ? ?4 ? 2 (合题意) ,即 a ? ?4 .------- 10 分 2 2

7


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