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山东省嘉祥县第一中学2016届高三上学期阶段性检测数学(理)试题

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山东省嘉祥一中 2016 届高三上学期阶段性检测试题

数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )
2 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是(

?

?

)

2.要得到函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象,只需将函数 y ? cos x 的图象(



A.向左平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.向右平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标 伸长 到原来的 2 倍,纵坐标不变

1 倍,纵坐标不变 2 1 D.向右平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2
C.向左平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 3. 已知函数 f ( x ) 是定义在区间 [?a, a] (a ? 0) 上的奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g ( x) 的最大值与最小值之和为 ( ) B.2 C.4 D.不能确定

A.0 4.给出下列四个命题:

p1 :公差为 0 的等差数列是等比数列.
1 p2 :公比为 的等比数列一定是递减数列. 2

p3 : a, b, c 三数成 等比数列的充要条件是 b2 ? ac . p4 : a, b, c 三数成等差数列的充要条件是 2b ? a ? c .
以上四个命题中,正确的有( A.1 个 B.2 个 5.已知 sin 2? ? A. ) C.3 个 D.4 个

1 5

24 ? ? , 0 ? ? ? ,则 2 cos( ? ? ) 的值为( ) 25 4 2 1 7 1 B. ? C. D. ? 5 5 5

6. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,设 ?ABC 的面积为 S , S ? A.

3 2 (c ? a 2 ? b 2 ) ,则角 C 等于 ( 12



? 6

B.

5? 6

C.

? 3

D.

2? 3

7.已知函数 f ( x) ?

1 ? sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 的图象( ) 3 3

A.关于直线 x ? C.关于直线 x ?

? ?

4 3

对称 对称

B.关于点 (

?

D.关于点 (

?

4 3

,0) 对称 ,0) 对称


8. 设函数 h( x) , g ( x) 在 ?a, b? 上可导,且 h?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( A. h( x) ? g ( x) C. h( x) ? g (a) ? g ( x) ? h(a) B. h( x) ? g ( x) D. h( x) ? g (b) ? g ( x) ? h(b)
1

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9. 设 函 数 f ( x) ? x m ? ax ( m, a为常数 ) 的 导 函 数 f ?( x) ? 2 x ? 1 , 则 数 列 { A. 3 ?

f (n) } ( n ? N* ) 的 前 n 项 和 是 ( n n?2



n?3 n ?1 n?2 3 n ?1 B. 3 ? C. 3 ? n D. ? n ?1 n n 2 2 2 2 2 10. 设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ?a, b? 上的两个函数, 若对任意 x ∈ ?a, b? , 都有 | f ( x) ? g ( x) |? 10 成立, 则称 f ( x )
和 g ( x) 是 ?a, b? 上的“密切函数”, 区间 ?a, b? 称为 f ( x ) 和 g ( x) 的“密切区间”.若 f ( x) ? x3 ? 2x ? 7 , g ( x) ? x ? m 在 ?2,3? 上是“密切函数”,则实数 m 的取值范围是( A. [15, ??) B. (??,19] ) D. [15,19]

C. (15,19)

第Ⅱ卷(选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
?

11.

? ? (1 ? cos x)dx =
2 ? 2


2

12.已知在等差数列 {an } 中, a1 , a2017 为方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a2 ? a1009 ? a2016 的值为



5 ? tan 8? ,则 b 的值等于 . ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 1 1 ? cos 2 x 1 ? 2 x 的一个零点, 14.已知命题 p1 : 函数y ? ln tan x 与 y ? ln 是同一函数; p2 : 已知 x0 是函数 f ( x ) ? 2 1 ? cos 2 x 1? x
13.已知正实数 a , b 满足

a sin

?

5

? b cos

?

若 1 ? x1 ? x0 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) . 则在以下命题:① p1 ? p2 ;② (?p1 ) ? (?p2 ) ; ③ (?p1 ) ? p2 ;④ p1 ? (?p2 ) 中 ,真命题是 15. 已知函数 f (x ) ? (写出所有正确命题的序号) .

x 3 mx 2 ? (m ? n )x ? 1 ? ( x ? R) ,且 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,满足 x1 ? (0,1) , x2 ? (1,??) . 3 2

设点 P(m, n) 在平面直角坐标系中表示的平面区域为 D .若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则 实数 a 的取值范围是 .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a, b, c 组成一个公差 d ? ?1 的等差数列,若 A ? 2C ,试求 ?ABC 的三边 a, b, c 的长.

17. (本题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? ?1 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( ) n ,且b1b2 b3 ?
a

1 2

1 . 64

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设cn ? (?1) an ,求数列 ?cn ? 的前 2 n 项的和 T2 n .
n

2

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18. (本题满分 12 分) 某工厂在 2013 年底投入 100 万元, 购入一套污水处理设备. 该设备每年的运转费用是 1 万元 , 此外每年还都要花费一 定的维护费. 已知第一年的维护费是 2 万元, 由于设备老化,以后每年的维护费都比上一 年增加 2 万元. 设该工厂使 用该设备 x ( x ? N )年的总费用为 y (万元).
*

(Ⅰ)将 y 表示成 x 的函数(总费用=购入费用+运转费用+维护费用) ; (Ⅱ)求该设备的最佳使用年限 (即使用该设备年平均费用最低的年限). ...... 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x , g ( x) ? x e? x . (Ⅰ)当 x ? R 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ) 若对任意 x1 ? [1,3], x2 ? [0,

?
2

] ,不等式 g ( x1 ) ? a ? 3 ? f ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 已知数列 {an } 各项均为正数,且满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1(n ? N* ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)若点 P n (an , yn ) ( n ? N )是曲线 f ( x ) ?
*

log2 ( x ? 1) ( x ? 0) 上的列点,且点 Pn (an , yn ) 在 x 轴上的射影为 x ?1 ,设四边形 Pn Qn Qn?1 Pn?1 的面积是 S n , 求证: Qn (an , 0) ( n ? N* ) 1 1 1 1 7 n ? N* 时, ? ? ??? ? . S1 2S 2 3S 3 nSn 3

21. (本题 满分 14 分) 设 f ( x) ? x ?

a ?1 ? a ln x x

(a ? R) .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ( ,

1 1 ? ln 2) 处的切线方程; 2 2

(Ⅱ)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 1 时,在 [ , e ] 上是否存在一点 x0 ,使 f ( x0 ) ? e ? 1 成立?说明理由.

1 e

3

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数学(理科)参考答案
一.1-5 BCCAC,6-10 BDDAD 二.11. ? ? 2 ; 12. 15 ; 13.

3 ; 14. ①③; 15. ?1,3?

三.16.解:依题意,a, b, c 组成一个公差 d ? ?1 的等差数列, 即 a= b +1,c= b-1( b ? 1 ) 由正弦定理,

b ?1 b ?1 a c ? = 及 A=2C,得 , sinA sinC sin 2C sin C
即 cosC ?



b ? 1 sin 2C ? ? 2 cos C , b ? 1 sin C

b ?1 . 2(b ? 1)
2 2



由余弦定理, cos C ?

(b ? 1) ? b ? (b ? 1) a2 ? b2 ? c2 ? 2ab 2(b ? 1)b
2



coC s ?

b?4 . 2(b ? 1)



由①②两式联立,消去 cosC 得 所以 a ? 6, b ? 5, c ? 4 .

b ? 4 b ?1 ? , 解之得 b ? 5 . b ?1 b ?1

17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d , ? a1 ? ?1, bn ? ( ) n ,
a

1 2

1 1 1 ? b1 ? ( ) ?1 , b2 ? ( ) ?1? d , b3 ? ( ) ?1? 2 d . 2 2 2 1 1 ? 3? 3 d 1 ? 由 b1b2 b3 ? 得( ) ,解得 d ? 3 . 64 2 64

? an ? ?1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 cn ? (?1) n (3n ? 4).

?c2n?1 ? c2n ? (?1) 2n?1 ?3 ? (2n ? 1) ? 4? ? (?1) 2n (3 ? 2n ? 4) ? ?(6n ? 7) ? (6n ? 4) ? 3
?T2n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2n?1 ? c2n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (c2n?1 ? c2n ) ? 3n .
18.解: (Ⅰ)该工厂使用该设备 x 年的运转费用是 x 万元,且每年的维护费是首项为 2,公差也是 2 的等差数列. 所以该工 厂使用该设备的总费用为:

y ? 100 ? x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) ? 100 ? x ?

x(2 ? 2 x) ? x2 ? 2 x ? 100 ( x ? N* ) 2

100 y x 2 ? 2 x ? 100 ? x? ?2. (Ⅱ)使用该设备年平均费用 ? x x x 设g ( x) ? x ? 100 100 ( x ? 10)( x ? 10) ? 2( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 1 ? 2 ? . x x x2

令g ?( x) ? 0,得x ? 10(负值舍去 ). 时,g ?( x) ? 0 . 从而,当 0 ? x ? 10时,g ?( x) ? 0 ;当 x ? 10 (10,??)上递增 . 当 x ? 10时,g ( x) 有最小值. 所以, g ( x)在(0,10)上递减,在
即该设备 使用年限是 10 年时,年平均费用最低 , 所以该设备的最佳使用年限是 10 年. 另法:使用该设备年平均费用

100 y x 2 ? 2 x ? 100 100 ? x? ? 2 ≥ 2 x? ? ? 2 ? 22 (万元) x x x x

4

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当且仅当 x ?

100 ,即 x ? 10 时取等号. x

即该设备使用年限是 10 年时,年平均费用最低 , 所以该设备的最佳使用年限是 10 年. 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? 当 2 k? ? 即 k? ?

?
6

) ?1 .

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? , 3

3? , 2

k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递减,

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 [ k? ? (Ⅱ)对任意 x1 ? [1,3], x2 ? [0,

?
6

, k? ?

?
2

2? ] k ?Z . 3

] ,要使不等式 g ( x1 ) ? a ? 3 ? f ( x2 ) 恒成立,

只需 g ( x1 ) ? a ? 3 在 [1,3] 上 的最小值大于 f ( x2 ) 在区间 [0, 当 x ? ?0 ,

?
2

] 上的最大值.

? ?

??

? ? ? 7? ? 时,有 2 x ? ? ? , , ? 2? 6 ?6 6 ? ?
?
6 ?

∴ 当 2x ? 所以 当

?
?
2

即x ?

?
6

时, sin( 2 x ?

?
6

) 有最大值 1, f ( x) 有最大值 3.

x2 ? [0, ] 时, f ( x2 ) 的最大值为 3 . 2
?x x g ' ( x)? ? ex ? x ? ex ? ( 1 ?x ? ),当 e 1 ? x ? 3 时, g ?( x) ? 0 .

又由 g ( x) ? x e 得

∴ g ( x) 在区间 [1,3] 上是减函数,当 x1 ? [1,3] 时, g ( x1 ) 有最小值 g (3) ?

3 . e3

3 ?a?3. e3 3 3 3 令 3 ? a ? 3 ? 3 得 a ? ? 3 , 所以实数 a 的取值范围是 ( ? 3 , ?? ) . e e e * 20.解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2an ? 1(n ? N ) 得 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) .
所以 g ( x1 ) ? a ? 3 的最小值为 ∵ a1 ? 1 , ? a1 ? 1 ? 2 , ∴ an ? 1 ? 0 , 故 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 . ∴ an ? 2n ?1(n ? N * ) .

n log 2 (2n ? 1 ? 1) n ? n ,∴ | Pn Qn |? y n ? n , (Ⅱ)∵ yn ? f (an ) ? n 2 2 ?1 ? 1 2 n?1 n n 又∵ | Qn Qn?1 |? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? 2 , ∴四边形 Pn Qn Qn?1 Pn?1 的面积为: 1 1 n ?1 n 3n ? 1 S n ? (| Pn ?1Qn ?1 | ? | Pn Qn |)? | Qn Qn ?1 |? ( n ?1 ? n ) ? 2 n ? . 2 2 2 4 2 1 7 当 n ? 1 时, ?1? . S1 3 1 4 4 12 4 4 1 4 4 1 1 当 n ? 1 时, ? ? ? ? ? 2? ? ? ( ? ), (3n 3 ?n 1 ) n? n1) (3n ? 3) 3(n ? 1)n 3 n ? 1 n nSn nS n(3 1) (3 3n n n ?n

1 1 1 1 1 4 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ??? ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ) S1 2S 2 3S 3 nSn S1 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? n ?1 n ? ? 4 1 7 4 7 ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? . 3 n 3 3n 3 1 1 1 1 7 * ? ? ??? ? . 所以有 n ? N 时, S1 2S 2 3S 3 nSn 3 1 ' 21.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ( x) ? 1 ? , x 1 1 1 1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( , ? ln 2) 处的切线的斜率为 f ' ( ) ? 1 ? ? ?1 . 1 2 2 2 2

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所求切线方程为 y ? ( ? ln 2) ? ?( x ? ) , 即 x ? y ? ln 2 ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f '( x) ? 1 ?

1 2

1 2

a ? 1 a x 2 ? ax ? (a ? 1) ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? ? ? ( x ? 0) , x2 x x2 x2

令 f ' ( x) ? 0 得, x1 ? 1 , x2 ? a ?1 , ①当 a ? 1 ? 0 即 a ? 1 时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?
递减

0
极小值

?
递增

由表知 x ? 1 是函数 f ( x) 的极小值点,不 合题意; ②当 0 ? a ? 1 ? 1 即 1 ? a ? 2 时, f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
'

x
f '( x)

(0, a ? 1)

a ?1 0
极大值

(a ? 1,1)

1

(1, ??)

?
递增

?
递减

0
极小值

?
递增

f ( x)

由表知 x ? 1 是函数 f ( x) 的极小值点,不合题意;
' ③当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?
递增

0
非极值

?
递增

由表知 x ? 1 不是函数 f ( x) 的极值点,不合题意;
' ④当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(0,1)

1

(1, a ? 1)

a ?1 0
极小值

(a ? 1, ??)

?
递增

0
极大值

?
递减

?
递增

f ( x)

由表知 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,适合题意; 综上所述,当 a ? 2 时, x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点. 即所求取值范围是 ?2,??? . (Ⅲ)假设当 a ? 1 时,在 [ , e] 存在一点 x0 ,使 f ( x0 ) ? e? 1 成立,

1 e

6

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则只需证明 x ? [ , e] 时, f ( x)max ? e?1即可. 由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 在 [ ,1] 上递减,在 [1, e] 上递增,

1 e

1 e

1 ? f ( x) max ? max{ f ( ), f (e)} . e 1 所以只需证明 f (e) ? e? 1或 f ( ) ? e ? 1 即可。 e a ?1 ? a ? (e? 1) ∵ f (e) ? (e? 1) ? e? e (e ? 1)(1 ? a ) ? e (e? 1)(1 ? a ) ?0 由 a ? 1 知, e
∴ f (e) ? (e? 1) ? 0 即 f (e) ? e? 1成立

所以假设正确,即当 a ? 1 时,在 x ? [ , e] 上至少存在一点 x0 ,使 f ( x0 ) ? e? 1 成立.

1 e

7


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