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湖南省长沙市2015年高考模拟数学理试题

湖南省长沙市2015年高考模拟数学理试题


绝密★启用前

2015 年长沙市高考模拟试卷 理 科 数 学
长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分:150 分 时量:120 分钟

说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求。 1.设复数 z 满足 A. ? 2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z = z
B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

2.设 a, b 是两个非零向量,则“ a ? b ? 0 ”是“ a, b 夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.某商场在今年元霄节的促销活动中,对 3 月 5 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 A.10 万元 C.20 万元 B.15 万元 D.25 万元

4.执行如右图所示的程序框图,若输出 s 的值为 22,那么输入 的 n 值等于 A.6 C.8 B.7 D.9

5.如图,矩形 ABCD 的四个顶点 A(0, ?1), B(? , ?1), C(? ,1), D ? 0,1?, 正弦曲线 f ? x ? ? sinx 和余弦曲线 g ? x ? ? cosx 在矩形 ABCD 内 交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是

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A. 1 ? 2

?

B. 1 ? 2 2? D. 1 2?

C. 1 ?

6. 设函数 f(x)=sin(2 x ? ? )+ 3 cos(2 x ? ? )
? ?? ? | ? |? ? ,且其图象关于直线 x=0 对称,则 ? ? 2 ? ?

A.y =f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, ? )上为增函数 2 B.y =f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, ? )上为增函数 2 4 C.y =f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, ? )上为减函数 2 D.y =f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, ? )上为减函数 2 4
2 2 7. 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 x ? y ? 1 的两个焦点,P 在椭圆上且满足 PF1 ? PF2 ? c 2 ,则此椭圆离心 2 2 a b

率的取值范围是 A. [ 3 ,1) 3 B. [ 1 , 1 ]
3 2

C. [ 3 , 2 ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

? lg x , 0 ? x ≤3 8. 已知函数 f ? x ? ? ? ,设方程 f ? x ? ? 2? x ? b ?b ? R? 的四个实根从小到 ? 3 ? x ≤6 ? ? f ? 6 ? x ?,

大依次为 x1,x2,x3,x4 ,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中一定正确的为 A. x1 ? x2 ? 2 C. 0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1 B. 1 ? x1 x2 ? 9 D. 9 ? x3 x4 ? 25

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应 题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 。 9. 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交 圆于 B,C 两点.若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=________. 10. 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? ? 2cos ? ,以极点为 原点,极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面

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直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4t ? 1 ( t 为参数).设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作 ? y ? 3t ? 1

曲线 C1 的两条切线,则这两条切线所成角的最大值是_______. 11. 不等式 x ?

1 ?| a ? 2 | ? siny 对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的取值范围为 x



(二)必做题(12~16 题) 12. 三棱柱的三视图如图所示,则该棱柱的体积 等于 13. 二项式 ( x ?
3

.

1 5 ) 的展开式中常数项为 x
? x ? y ? 2 ? 0,

(用数字作答) 。 14. 已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax
? ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为( ... 1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2 C.2 或 1

) D.2 或-1

15. 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 3bn (b>0)n ? N * , ① b=1 时, S7 =12; ③当 b ? (1,
n ②存在 ? ? R ,数列 {an - l b } 成等比数列;

) 时,数列 {a2 n } 是递增数列;④当 b ? (0,1) 时数列 {an } 是递增数列

以上命题为真命题的是

.(写出所有真命题对应的序号) 。

16. 若函数 y =f(x)在定义域内给定区间上存在 xo(a<xo<b) ,满足 f(xo)=

f (b) ? f ( a ) ,则称 b?a

函数 y=f(x)是上的“平均值函数” ,xo 是它的一个均值点.例如 y=|x|是上的“平均值函数” , O 就是它的均值点. (1)若函数,f(x)= x -mx-1 是上的“平均值函数” ,则实数 m 的取值范围是
2



(2)若 f(x)=㏑ x 是区间(b>a≥1)上的“平均值函数”,xo 是它的一个均值点,则㏑ xo 与 1 ab 的大小关系是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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17. (本小题满分 12 分)某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和 微积分初步共四门课程,要求初等数论、平面几何都要合格,且初等代数和微积分初步至少有一门 合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位 同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同(见下表) ,且每一门课程是否合格 相互独立. 课 程 初等代数 平面几何 初等数论
2 3

微积分初步
1 2

合格的概率

2 3

3 4

(Ⅰ)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (Ⅱ)记 ? 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ? 的分布列及期望 E? .

18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD ,
SA ? AB , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N .

(Ⅰ)求证: SB // 平面 ACM ; (Ⅱ)求证:平面 SAC ⊥平面 AMN ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.

第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度(单位: C )随时间 t (单

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位:小时)的变化近似满足函数关系: f ?t ? ? 24 ? 4sin ?t ? 4 3 cos ?t, t ??0, 24? ,
? 且早上 8 时的温度为 24 C , ? ? (0, ) .
8

(Ⅰ)求函数的解析式,并判断这一天的最高温度是多少?出现在何时? (Ⅱ)某通宵营业的超市,为节约能源和开支,在环境温度超过 28 C 时,才开启中央空调降温, 否则关闭中央空调,问中央空调应在何时开启?何时关闭?

20. (本小题满分 13 分)已知无穷数列{an } 的各项均为正整数, Sn 为数列{an } 的前 n 项和. (Ⅰ)若数列 {an } 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 S n 2 ? ?S n ? 成立,求数列 {an } 的通项公
2

式; (Ⅱ)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,

, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减 , an 一起恰好是 1 至 Sn 全体正

运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1 , a2 , 整数组成的集合. (ⅰ)求 a1 , a2 的值; (ⅱ)求数列 {an } 的通项公式.

21. (本小题满分 13 分)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

5 , 虚轴长 2

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为 2. (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 A ,B 两点 ( A,B 均异于左、 右顶点) , 且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D ,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

22 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 f ? x ? ?

m ? n ln x(m, n 为 常 数 ) , 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 为 x ?1

x? y?2? 0.
(Ⅰ)求 y ? f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若任意实数 x ? [ ,1] ,使得对任意的 t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立,求实
3 2

1 e

1 2

数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n ,有 4( ?

1 2

2 ? 3

?

n ) ? (ln1 ? ln 2 ? n ?1

? ln n) ? 2n .

2015 年长沙市高考模拟试卷
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数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】因为 z ?

1 ? 2i ? 2 ? i, z ? 2 ? i ,所以选 C. i

【思路点拨】可结合复数的运算法则先求出复数 z,进而得其共轭复数,解答即可. 2.【答案】B 【知识点】向量的数量积;充分条件;必要条件.

r r 【解析】因为 a ? b ? 0 时, a , b 夹角为钝角或平角,而 a, b 夹角为钝角时, a ? b ? 0 成立,所以
“ a ? b ? 0 ”是“ a, b 夹角为钝角”的必要不充分条件.故选 B.

r r a 【思路点拨】因为 a ? b ? 0 时, , b 夹角为钝角或平角,而 a, b 夹角为钝角时, a ? b ? 0 成立,所
以“ a ? b ? 0 ”是“ a, b 夹角为钝角”的必要不充分条件. 3.【答案】C 【知识点】用样本估计总体 【解析】由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4 ∴11 时至 12 时的销售额为 5×4=20 【思路点拨】由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4,也就是 11 时至 12 时的销售额为 9 时至 10 时的销 售额的 4 倍. 4.【答案】C 【知识点】程序框图的准确阅读与理解. 【解析】图中循环结构循环的结果依次是: (1)s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3; (3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.(7) s=16+6=22,i=8,所以若输出 s 的值为 22,那么输入的 n 值等于 8.故选 C. 【思路点拨】根据程序框图描述的意义,依次写出循环结果,得输入的 n 值. 5.【答案】B 【知识点】定积分 几何概型 【解析】根据题意,可得曲线 y ? sinx 与 y ? cosx 围成的区域,

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(sinx ? cosx) dx ? (? cosx ? sinx) |? (? 其面积为 ?? ? ? 1?
4 4

?

2 2

?

2 2

) ? 1 ? 2;

又矩形 ABCD 的面积为 2? ,由几何概型概率公式 得该点落在阴影区域内的概率是:
1? 2 .所以选 B. 2?

【思路点拨】 利用定积分计算公式, 算出曲线 y ? sinx 与 y ? cosx 围成的区域包含在区域 D 内的图形面积 为 S ? 2? ,再由定积分求出阴影部分的面积,利用几 何概型公式加以计算即可得到所求概率. 6.【答案】C 【知识点】三角函数的图像与性质
? 【 解 析 】 由 题 意 已 知 函 数 为 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ?

?
3

? ? ? ? , 因 为 其 图 象 关 于 直 线 x=0 对 称 , 所 以 ?

2? 0 ?

?
3

?? ?

?
2

? k? ? ? ?

?

? ? k ,又因为 | ? |? ? ,所以 ? ? ,即函数为 2 6 6

? ? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 2cos 2 x ,所以 y ? ( f x) (0, ) 上为减函数,故 的最小正周期为 ? ,且在 6 3? 2 ?
选择 C. 【思路点拨】根据其图象关于直线 x=0 对称以及 ? 的范围,可得 ? ? 7.【答案】C 【解析】由椭圆的定义得:|PF1 | ? | PF2 |? 2a ,平方得:| PF1 | 2 ? | PF 2 | 2 ? ① 2|PF 1 ||PF 2| ? 4a 2.
2 又 ∵ PF1 ? PF2 ? c 2 , ∴ | PF ,② ? F 1 |? | PF 2 | cos 1 PF 2 ? c

?
6

,即可求得.

2 2 由 余 弦 定 理 得 : | PF |? 2 | P ? 1 F2P ? F 1 | ? | PF 2 1 F? | | P 2 F | cos

1

2 ③ | 2F F ? | 2, 4c

由 ① ② ③ 得 : cos?F1PF2 ?
| PF1 | ? | PF2 |? ( PF1 ? PF2 2

c2 ? 1, 2a 2 ? 3c 2

2c ? a, e ?

2, 2

) 2=a 2 ,∴ 2a 2 ? 3c2 ? a 2 , a 2 ? 3c2 , e ?

3, 3

则 此 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 [ 3 , 2 ], 故 选 C. 3 2 考点:椭圆的标准方程,余弦定理的应用. 8.【答案】D 【知识点】函数与方程
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【解析】不妨令 b=0,函数 f(x)图象与函数 y ? 2? x 的图象如图,则方程 f ? x ? ? 2? x ?b ? R? 的根即 为两个函数图象交点的横坐标,由图象可知 0 ? x1 ? 1,1 ? x2 ? 2,3 ? x3 ? 5,5 ? x4 ? 6 , x2 可能大 于 2,所以 A 错误,又 2 以 B 错误; 2
? x3

? x1

? ? lg x1,2? x2 ? lg x2 ,2? x2 ? 2? x1 ? lg ? x1x2 ? ? 0 ,所以 0 ? x1x2 ? 1 ,所

? lg ? 6 ? x3 ? , 2? x4 ? ? lg ? 6 ? x4 ? , 2? x3 ? 2 ? x4 ? lg ? ?? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? ? ? 0 ,所以

? 6 ? x3 ??6 ? x4 ? ? 1 ,则 C 错误,综上可知选 D.

【思路点拨】可先结合图象判断 4 个根的位置及由那段函数产生,再结合指数函数与对数函数的运 算及性质进行判断即可.

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. (一)选做题:在 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分. 9.【答案】4 【知识点】圆的切线的判定定理的证明 【解析】 :由题意 ?PAB ? ?C,?APB ? ?CPA, ∴ ?PAB∽?PCA, ∴ ∴

PA PB AB = ? ∵ PA ? 6,AC ? 8,BC ? 9, PC PA CA

6 PB AB ? ? , PB ? 9 6 8

∴ PB ? 3,AB ? 4, 故答案为:4. 【思路点拨】由题意 ?PAB ? ?C,?APB ? ?CPA, 可得 ?PAB∽?PCA, ,从而

PA PB AB = ? ,代入数据可得结论. PC PA CA
10. 【答案】 60 ?
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y

P

A
O

B
Q

x

【解析】 C1 : ? x ?1? ? y ? 1, C2 :3x ? 4 y ? 7 ? 0, 圆心 Q(1,0) ,
2

设切点为 A, B ,要使 ?APB 最大,则 ?APQ 取最大值, 而 sin ?CPB ?

AQ 1 ? , PQ PQ

所以当 PQ 取最小值 dQ?C1 ? 2 时, ?APB 取最大值 60?. 11. 【答案】 ?1,3? 【知识点】含绝对值不等式 【解析】 :∵ x ? 基本不等式

1 1 ? ( ? ?, ? 2 ??? 2, ? ?) ?| x ? |? [2, ? ?) ,其最小值为 2,又∵ siny 的最大值 x x 1 为 1,故不等式 x ? ?| a ? 2 | ? siny | 恒成立,有 a ? 2 ? 1,解得 a ??1,3? ,故答案为 ?1,3? x

【思路点拨】由对勾函数的性质,我们可以求出不等式左边的最小值,再由三角函数的性质,我 们可以求出 siny 的最大值,若不等式 x ? 不等式,即可得到答案.
1 ?| a ? 2 | ? siny 恒成立,则 a ? 2 ? 1,解这个绝对值 x

(二)必做题(12~16 题) 12. 【答案】3 【知识点】三视图的应用. 【解析】由三视图可知,此三棱柱是直三棱柱,其高为 3,底面是底边长 2,底边上的高为 1 的等 腰三角形,所以该棱柱的体积等于 1 创2 1 ? 3 2
3.

【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱,且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的 值,从而求得此三棱柱的体积. 13. 【答案】-10 【知识点】二项式定理 【解析】因为 Tr ?1 ? C5r
5 5 由 ? r ?0, 2 6
3 得 r=3,所以展开式中常数项为 C5 ? ?1? ? ?10 . 3

? x?

5? r

5 5 ? 1 ? r 2?6r r , ? ? 3 ? ? C5 ? ?1? x x? ?

r

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【思路点拨】一般遇到二项展开式的某项或某项系数问题,通常利用展开式的通项公式解答. 14. 【答案】D 【知识点】线性规划 【解析】 :由题意作出其平面区域, 将

z ? y ? ax 化为 y ? ax ? z,z 相当于直
线 y ? ax ? z 的纵截距, 题意可得 ,y ? ax ? z 与 y ? 2 x ? 2 或 与 y ? 2 ? x 平行, 故 由

a ? 2或 ? 1 .所以选 D.
【思路点拨】由题意作出其平面区域,将 z ? y ? ax 化为 y ? ax ? z,z 相当于直线 y ? ax ? z 的 纵截距,由几何意义可得. 15. 【答案】①②③ 【知识点】数列问题. 【解析】 :①当 b=1 时, {an } 为:3,0,3,0,3,0,3,0, L ,所以 S7 =12 成立; ②若数列 {an - l bn } 成等比数列,则 an + 1 - l bn + 1 = - an - l bn ,即

(

)

an + 1 + an = 3bn = l (b + 1) b n (b>0)n

N * ,l =

3 ,所以存在 ? ? R , b+ 1
n- 1

数列 {an - l bn } 成等比数列;③当 b ? (1,

) 时,由②得 an - l bn = (a1 - l b)(- 1)
n- 1

? an

骣 3 (- 1) n- 1 3 ÷ 3bn ? ÷ 3 1 + = ? ( ) ÷ ? b+ 1 b+ 1 桫 b + 1÷

+

2n 3bn ,所以 a2n = - 3 + 3b b+ 1 b+ 1 b+ 1

所以当 b ? (1, 增数列不成立.

) 时,数列 {a2 n } 是递增数列成立;④由③可知当 b ? (0,1) 时,数列 {an } 是递

【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假. 16. 【答案】(1) (0,2) 【知识点】单元综合 【解析】(1)∵函数 f(x)=x -mx-1 是区间上的平均值函数, ∴关于 x 的方程 x -mx-1=
2 2

(2) ln x0 ?

1 ab

在(-1,1)内有实数根.
第 11 页 共 19 页

由 x -mx-1= 又 1?(-1,1)

2

?x -mx+m-1=0,解得 x=m-1,x=1.

2

∴x=m-1 必为均值点,即-1<m-1<1?0<m<2. ∴所求实数 m 的取值范围是 0<m<2. (2)解:由题知 lnx 0=

ln b ? ln a .猜想:ln x 0 < b?a

1 , ab

1 1 2 证明如下: ln b ? ln a < 1 ,令 t= b >1,原式等价于 t+lnt < t - .2lnt- t t b?a a ab
令 h(t)=2lnt-t+ ,则 h′(t)= ? (t ?21) ? 0 ,∴h(t)=2lnt-t+ <h(1)=0, t t t
2

1

1

得证 ln x 0 <

1 ab
2

【思路点拨】 (1)函数 f(x)=x -mx-1 是区间上的平均值函数, 故有 x -mx-1=
2

f (1) ? f (?1) 1 ? (?1)

在(-1,1)内有实数根,求出方程的根,让其在(-1,1)内,即可求出实数 m 的取值范围. (2)猜想判断,换元转化为 h(t)=2lnt-t+ ,(利用导数证明,求解出最值得出)2lnt-t+ <h(1)=0,

1 t

1 t

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 : (1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A,B,C,D,且事件 A,B,C,D 相互独 立, “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为:

P (ABCD) ?P (ABCD ) ?P (ABCD) ?

3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 5 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 12

B 3, ) (2)由题设知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, ? ~( , 7 343 7 735 1 5 P (? ? 0) ? C30 ( )3 ? P (? ? 1) ? C3 ( )( ) 2 ? , , 12 1728 12 12 1728 5 7 525 125 3 5 3 P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? (? ? 3) ? C3 ( ) ? ,P ,? ? 的分布列为: 12 12 1728 12 1728
第 12 页 共 19 页

5 12

? ~( B 3, ) ,? E? ? 3 ?

5 12

5 5 ? . 12 4

【思路点拨】 (I)分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A,B,C,D,“甲能能取得参加数学竞赛 复赛的资格”的概率为 P ,由事件 A,B,C,D 相互独立能求出 (ABCD) ?P (ABCD) ?P (ABCD) 结果.

B 3, ) (II)由题设知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, ? ~( ,由此能求出 ξ 的分布列和数学期
望.

5 12

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 :方法一: (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME .

Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. Q M 是 SD 的中点,∴ ME 是△ DSB 的中位线.
∴ ME // SB . ?????????2 分

又 ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB // 平面 ACM . ?????????4 分 (Ⅱ)证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,且 AM ? 平面 SAD , ∴ AM ? DC. 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. ∴ AM ? 平面 SDC . SC ? 平面 SDC, ∴ SC ? AM . 由已知 SC ? AN ∴ SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 平面 SAC , ∴平面 SAC ? 平面 AMN . ????????8 分 ?????6 分
第 18 题图

(Ⅲ)取 AD 中点 F ,则 MF // SA .作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ . ∵ SA ? 底面 ABCD ,∴ MF ? 底面 ABCD .

第 13 页 共 19 页

∴ FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影. ∵ FQ ? AC ,∴ MQ ? AC . ∴ ?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平面角. 设 SA ? AB ? a ,在 Rt ?MFQ 中, MF ?
a

?????????10 分

1 a 1 2 SA ? , FQ ? DE ? a, 2 2 2 4

∴ tan ?FQM ?

2 2 4

? 2. a

∴ 二面角 D ? AC ? M 的余弦的大小为 3 .
3

?????????12 分

方法二: (II)如图,以 A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 由 SA ? AB ,可设 AB ? AD ? AS ? 1 ,则

1 1 A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), S (0, 0,1), M ( , 0, ) . 2 2 uur uuu r 1 1 Q AM ? ( , 0, ) , CS ? ? ?1, ?1,1? , 2 2 uuu r uu r uuu r uu r 1 1 ? AM ? CS ? ? ? ? 0 ? AM ? CS ,即有 SC ? AM ?6 分 2 2
又 SC ? AN 且 AN

AM ? A .

? SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 平面 SAC ,
∴平面 SAC ⊥平面 AMN . ?????????8 分

(Ⅲ) Q SA ? 底面 ABCD ,∴ AS 是平面 ABCD 的一个法向量, AS ? (0,0,1) . 设平面 ACM 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

uu r

uu r

uur

r uur x ? y ? 0 ? 0, ? ? y ? ? x, n ? AC ? 0, ? 1 1 ? ? , 则 即 , ∴? AC ? (1,1, 0), AM ? ( , 0, ) r ? r uuu ?1 1 2 2 x ? 0 ? z ? 0. ? z ? ? x. ? ?n ? AM ? 0. ? ?2 2
uuu r
????????10 分

令 x ? ?1 ,则 n ? ( ? 1,1,1) .

uu r r uu r r AS gn 1 3 , 由作图可知二面角 D ? AC ? M 为锐二面角 cos ? AS , n ?? uu r r ? ? | AS | ? | n | 1? 3 3
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∴二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

3 . 3

?????????12 分

【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明,求二面角时可通过寻求二 面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.

19. 【解析】 (1)这一天在 14 时也就是下午 2 时出现最高温度,最高温度是 32 C .(2)央空调应 在上午 10 时开启,下午 18 时(即下午 6 时)关闭 解析: (1)依题意

f (t ) ? 24 ? 4sin ?t ? 4 3 cos ?t ? 24 ? 8sin(?t ? ) ????????2 分 3
因为早上 8 时的温度为 24 C ,即 f (8) ? 24 ,

?

? ? 1 1 sin(8? ? ) ? 0 ? 8? ? ? k? ? ? ? (k ? )? (k ? Z ) ???????3 分 3 3 8 3
? ? ? ? (0, ) ,故取 k ? 1 , ? ? ,
8 12

所求函数解析式为

f (t ) ? 24 ? 8sin( t ? ), t ? (0, 24] . ?????????????5 分 12 3 ? ? ? ? ? 7? ? ? 3? ) ,可知 t ? ? ? t ? 14 , 由 sin( t ? ) ? ?1 , t ? ? ( , 12 3 12 3 3 3 12 3 2
即这一天在 14 时也就是下午 2 时出现最高温度,最高温度是 32 C .????7 分 (2)依题意:令 24 ? 8sin(

?

?

? ? 1 sin( t ? ) ? ? ???????????9 分 12 3 2 ? ? ? 7? ? ? 7? ? ? 11? t ? ? ( , ) ,? t ? ? 且 t? ? , 12 3 3 3 12 3 6 12 3 6
即 t ? 10 或 t ? 18 ,??????11 分 故中央空调应在上午 10 时开启,下午 18 时(即下午 6 时)关闭????12 分 【思路点拨】 (1)利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式,利用已知条件求出参数值,即可 得到解析式. (2)利用函数的解析式直接求出时间 t,即可得到所求结果.

t ? ) ? 28 ,可得 12 3

?

?

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d ?? 20. 【解析】 :(Ⅰ)设无穷等差数列{an } 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? n ? d n ? ? ? a1 ? ?? ? 2 ?2 ? 2 ??

d d d d 所以 S n 2 ? n 2 [ n 2 ? (a1 ? )] 又 ( S n ) 2 ? n 2 [ n ? (a1 ? )] 2 ?????.2’ 2 2 2 2 d d d d 则 [ n 2 ? (a1 ? )] = [ n ? (a1 ? )] 2 ??????????????.3’ 2 2 2 2
?d d 2 ? ? 4 ?2 所以 ? d d 2 则 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 ?a1 ? ? (a1 ? ) 2 2 ? d ? ?d (a1 ? 2 ) ? 0 ?

???????.5’

(Ⅱ)(i)记 An ? {1,2,

, Sn } ,显然 a1 ? S1 ? 1

?????????.6’

对于 S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,有 A2 ? {1,2, 故 1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3 ( ii ) 由 题 意 可 知 , 集 合 {a1 , a2 ,

, S2 } ? {1, a2 ,1 ? a2 ,|1 ? a2 |} ? {1,2,3,4}
??????????..7’

, an } 按 上 述 规 则 , 共 产 生 Sn 个 正 整 数 . 而 集 合 , Sn 这 Sn 个正整数外,还有

{a1 , a2 , , an , an?1} 按上述规则产生的 S n ?1 个正整数中,除 1,2, an?1 , an?1 ? i,| an?1 ? i | (i ? 1,2, , Sn ) ,共 2Sn ? 1 个数.
所以, Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1 又 S n ?1 ?
1 1 ? 3( S n ? ) 2 2
2 2 2 2

??????????.10’

所以 S n ? ( S1 ? 1 ) ? 3n ?1 ? 1 ? 1 ? 3n ? 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 而 a1 ? 1 也满足 an ? 3n?1

?????????.11’

1 n 1 1 n ?1 1 ? 3 ? ? ( ? 3 ? ) ? 3n ?1 2 2 2 2

??..12’ ???????.13’
3 3

所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 3n?1

【思路点拨】 (Ⅰ)写出等差数列{an}的前 n 项和,结合对任意正整数 n 都有 Sn =(Sn) 成立列式求 取首项和公差,从而得到两个无穷等差数列的通项公式; (Ⅱ) (1)由题意利用用集合相等求得 a1,a2 的 值; (2)有题意可知,集合 {a1 , a2 ,

, an } 按上述规则共产生 Sn 个正整数,而集合{a1 , a2 , , an } 按上述
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规则共产生 Sn+1 个正整数中,除 1,2,?,Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an+1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,?, Sn)共 2Sn+1 个数.∴ Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1 .结合 S n ?1 ? 通项.
1 1 ? 3( S n ? ) 求得 Sn,然后由 Sn-Sn-1 求 2 2

2 2 21.【解析】 : (Ⅰ) 由题设双曲线的标准方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 由已知得:c ? 5 ,2b ? 2 , a b a 2

又 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? 1 ,? 双曲线的标准方程为 x ? y 2 ? 1. 。 。 。 。 。 。5 分 4 ? y ? kx ? m (Ⅱ)设 A(x1, y1), B(x 2, y 2) ,联立 ? ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m 2 ?1) ? 0 , ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 2

2

?1 ? 4k 2 ? 0 ? 2 2 2 2 ?? ? 64m k ? 16(1 ? 4 k )(m ? 1) ? 0 8mk 故? , 。 。 。 。 。 。 。7 分 ? x1 ? x2 ? 2 1? 4 k ? ? ?4(m 2 ? 1) ? x1 x2 ? ? 1? 4 k2

y1 y2 ? (k x1 ? m)(k x2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

m 2 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2

以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D (?2, 0) ,? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2


? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0

?

m 2 ? 4k 2 ?4(m 2 ? 1) 16mk ? ? ?4?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
10k . 3
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

? 3m 2 ? 16mk ? 20k 2 ? 0 .解得: m1 ? 2k , m2 ?

当 m1 ? 2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (?2, 。11 分 0) ,与已知矛盾; 。 当 m2 ?

10 ? 10k ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ?, 3? 3 ? ? 10 ? 。 。 。 。12 分 , 0 ? ,经检验符合已知条件. ? 3 ?

直线过定点 ? ?

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所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ?

? 10 ? , 0? . ? 3 ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由已知得:

c 5 , 2b ? 2 ,易得双曲线标准方程; ? a 2
? y ? kx ? m ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

(Ⅱ)设 A(x1, y1), B(x 2, y 2) ,联立 ?

? 8mkx ? 4(m 2 ?1) ? 0 ,

以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D (?2, 0) ,? k AD kBD ? ?1 , 即

y1 y ? 2 ? ?1 ,代入即可求解. x1 ? 2 x2 ? 2

22. 【解析】 : (1)由 f(x)=

+nlnx(m,n 为常数)的定义域为(0,+∞) , + ,∴f′(1)= ?

∴f′(x)=﹣

m ? n ? ?1 4

把 x=1 代入 x+y﹣2=0 得 y=1,∴f(1)= =1,∴m=2,n=﹣ ,????????.2’

∴f(x)=

﹣ lnx,f′(x)=﹣



,∵x>0,∴f′(x)<0,

∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ,没有递增区间.??????????..4’ (2)由(1)可得,f(x)在上单调递减,∴f(x)在上的最小值为 f(1)=1, ∴只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a≥
3 2

对任意的 t∈上恒成立,???????5’

令 g(t)=

,则 g′(t)=2t﹣1﹣
2

=

=



令 g′(t)=0 可得 t=1,而 2t +t+1>0 恒成立, ∴当 t<1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减,

当 1<t≤2 时,g′(t)>0,g(t)单调递增.????????????????7’ ∴g(t)的最小值为 g(1)=1,而 g( )= +2= ,g(2)=4﹣2+ = ,显然 g( )<g(2) ,

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∴g(t)在上的最大值为 g(2)= ,∴只需 2a≥ ,即 a≥ , ∴实数 a 的取值范围是上单调递减, ∴对于任意的正整数 n,都有 f( )≥f(1)=1,即 ﹣ ln ≥1,????????.10’

整理可得

+lnn≥2,则有: +ln1≥2, +ln2≥2,

+ln3≥2,?,

+lnn≥2.???.12’

把以上各式两边相加可得:4( + +?+

)+(ln1+ln2+?+lnn)≥2n.??????..13’

【思路点拨】 (1)利用导数的意义求得 m,进而求出单调区间; (2)f(x)在上

的最小值为 f(1)=1,只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a≥

3

2

对任意的 t∈上恒成

立,令 g(t)=

,利用导数求出 g(t)的最大值,列出不等式,即可求得结论;

(3)由(1)可知 f(x)在区间(0,1]上单调递减,故有 f( )≥f(1)=1,即



ln ≥1,整理可得

+lnn≥2,利用累加法即可得出结论.

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