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华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-20

华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-20


第十九章
19.1 函数的极限 基础练习 1.判断下列函数的极限是否存在,并说明理由:

导数及其应用

1 ?1? (1) lim ? ? . (2) lim 2 x . (3) lim 3 . x ??? π x ?? x ??? x ? ?
?1? 解: (1) lim ? ? ? 0. ? 2 ? x ??? π ? ?
x

x

x ???

lim 2x ? 0.? 3?

(3) lim
x ??

1 . ? 0 (理由说明略) x3

2.根据函数极限的 ? ? ? 定义,求下列函数的极限: (1) lim
x ?1

3x ? 2 . (2) lim 2 x ? 1 . x?2 x ?1
x ?1

3x ? 2 1 (2) lim 2 x ? 1 ? 3 . ? . x?2 x ?1 2 3.求下列函数的极限:
解: (1) lim (1) lim ? x 2 ? 3 x ? 3? .
x?2

(2) lim

2 x2 ? x ? 3 . x ??1 x2 ? 1

x ? x 2 ? 6 x3 xm ? 1 . ( 5 ) lim ? m,n ? N* ? . x ?0 2 x ? 5 x 2 ? 3x3 x ?1 xn ? 1 1 ? ? 2x ? 1 ? (7) lim ? x ? ? x ?? . (8) lim ? 2 ?. x ?1 x ? x ? 2 x ??1? x ?1? ?
(4) lim 解: lim ? x 2 ? 3 x ? 3? ? 1 .
x?2

2 x2 ? x ? 4 . x ??? 3x2 ? 2 x ? 1 x (6) lim . x?0 x ? x3
(3) lim

(2)不存在.

1 4 2? ? 2 2 x2 ? x ? 4 x x ? 2. (3) lim 2 ? lim x ??? 3x ? 2 x ? 1 x ??? 2 1 3? ? 2 3 x x
(4) lim

x ? x2 ? 6x3 1 ? x ? 6 x2 1 ? lim ? . 2 3 2 x ?0 2 x ? 5x ? 3x x ?0 2 ? 5x ? 3x 2

? x ? 1? ? xm?1 ? xm?2 ? ? ? 1? xm ? 1 x m ?1 ? x m ? 2 ? ? ? 1 m (5) lim n ? lim ? lim ? . x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 x n ?1 ? x n ? 2 ? ? ? 1 ? ?? ? x?1 xn?1 ? xn?2 ? ? ? 1 n
(6) lim
x ?0

x x?x
3

? lim
x ?0

?x 1 ? lim 2 ? ?1 . 3 x ? 0 x?x x ?1
x ??1?

(7) lim ? x ? ? x?? ? lim ? x ? 2? ? 1 .
x ??1?

1 ? x?2 ? 1 1 ? 2x ? 1 ? 2x ? 1 ? ? 1 ? . (8) lim ? 2 ? ? lim ? 2 ? ? lim x ?1 x ? x ? 2 x ? 1 x ? 1 x ?1? x?2 3 ? ? x ? x?2 x ? x?2? 能力提高

4.设正数 a ,b 满足 lim ? x 2 ? ax ? b ? ? 4 ,求 lim
x?2

an?1 ? abn?1 . x ?? a n ?1 ? 2bn

解: lim ? x 2 ? ax ? b ? ? 4 ? 2a ? b
x?2

lim

a n ?1 ? abn ?1 n ?? a n ?1 ? 2b n

?a? a2 ? ? ? a a 1 b? ? lim ? n ? ? ? . 1 n ?? 2b 4 ?a? ? ? ? 2b ?b?
2 n
n ??

n ?1

5.把 1 ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 a n ,求 lim 解:令 x ? 1 ,得到各项系数和: an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2n?1 ? 1 . 则 lim
2an ? 1 2n ? 2 ? 3 ? lim n ?1 ? 2 . n ?? a ? 1 n ?? 2 n

2an ? 1 . an ? 1

? 4 x2 ? 1 ? 6.若 lim ? ? ax ? b ? ? 0 ,求 a ,b 的值. n ?? ? x ?1 ?

解:

? 4 ? a ? x2 ? ?b ? a ? x ? b ? 1 4 x2 ? 1 ? ax ? b ? , x ?1 x ?1

? ? 4 ? a ? x2 ? ? b ? a ? x ? b ? 1 ? ? 4 x2 ? 1 ? lim ? ? ax ? b ? ? lim ? ? ? ??0. x ?? x ?1 ? x ?1 ? x?? ? ?

则 4 ? a ? 0 , b ? a ? 0 ,得出 a ? 4 , b ? 4 . f ? x ? ? 4 x3 f ? x? ? lim ? 1 ,求 f ? x ? 的表达式. 7.设 f ? x ? 为多项式,且 lim x ?? n ?? x x f ? x ? ? ? 4 x3 ? 1 ? f ? x ? ? 4 x3 ? x ? m , ? m ? R ? , 解: lim x ?? x
lim
x ?0

f ? x? x

m? ? ? 1 ? lim ? 4 x 2 ? 1 ? ? ? 1 ? m ? 0 ,则 f ? x ? 的表达式为 f ? x ? ? 4x3 ? x . x ?0 x? ?

? x 2 ? 1,x ≤1 ? 8.已知函数 f ? x ? ? ? 3 ,试确定常数 a ,使 lim f ? x ? 存在. x?1 ? ?2 x ? a ,x ? 1

解: lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? 0 ? 2 ? a ,则 a ? ?2 . ? ?
x?1 x?1

?2 x 2 ? 1,x ? 0 9.设函数 f ? x ? ? ? ,当 b 取什么值时, lim f ? x ? 存在? x?0 ? x ? b ,x ≤ 0

解: lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? b ? 1 ,当 b ? 1 时, lim f ? x ? 存在. ? ?
x?0 x?0 x?0

19.2 两个重要极限 1.求下列函数的极限: (1) lim
x ?0

tan x tan kx . (2) lim . x ? 0 x x
2 x ?1

(3) lim

2? 1 ? sin x ? cos x ? . (4) lim ?1 ? ? x ?? x ?0 1 ? sin tx ? cos tx x? ?



解: (1) lim
x ?0

tan x sin x 1 sin x 1 ? lim ? ? lim ? lim ?1. x ? 0 x ? 0 x ? 0 x x cos x x cos x

(2) lim
x ?0

sin kx k sin kx k ? lim ? lim ?k. x ? 0 x ? 0 kx cos kx kx cos kx
sin x ? 2sin 2

x? x x? x 2sin ? sin ? cos ? 1 ? sin x ? cos x 2? 2 2? 2 ? lim (3) lim ? lim x ?0 1 ? sin tx ? cos tx x ?0 x ?0 tx ? tx tx ? 2 tx sin tx ? 2sin 2sin ? sin ? cos ? 2 2? 2 2?

x x x sin ? cos 2 ? lim 2 2 ? 1. ? lim x ?0 x ? 0 tx tx tx t sin sin ? cos 2 2 2 sin
x ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? ? x? ? ?? ? ? 2? ? ? ? ? 2
2 x ?1 x

? 2? (4) lim ?1 ? ? x ?? x? ?

2 x ?1

? e4 .

2.证明 lim
x ?0

ln ?1 ? x ? x
x
x

? 1.
1 1

证明: lim
x ?0

ln ?1 ? x ?

? lim ln ?1 ? x ? x ? ln lim ?1 ? x ? x ? ln e ? 1 ,
x ?0 x ?0

3.证明 lim

e ?1 ?1. x ?0 x
ex ? 1 t ? lim ? 1. x ?0 x ?0 ln ?1 ? t ? x

证明:令 t ? e x ? 1 ,则 x ? ln ?1 ? t ? ,当 x ? 0 时, t ? 0 , lim 19.3 函数的连续性 1.试判断下列函数在给定点处是连续?并说明理由. (1) f ? x ? ?
2x ?1 2 ?1
?ln x ,x ? 0 (2) f ? x ? ? ? 2 ,在 x0 ? 0 处; ? x ,x ≤ 0
?1 x ? 0 (3) y ? sgn x ? ? ,点 x ? 0 . ?0 x ? 0
1 x 1

,在 x0 ? 0 处.

解: (1)左、右极限都存在, lim ?
x ?0

2x ?1
1 x

1

2 ?1 2 ?1 (2)左极限都存在,右极限不存在,在 x ? 0 处不连续.
(3) lim f ? x? ? 1 ? lim f ? x ? , lim f ? x ? ? 1 ? 0 ? f ? 0? ,所以函数 y ? sgn x 在 x ? 0 处不连续. ? ?
x?0 x?0 x?0

? ?1 , lim ?
x ?0

2x ?1
1 x

1

? 1 ,但不相等,在 x ? 0 处不连续.

2.求下列函数的极限: (1) limlg tan x .
π x? 4

(2) lim ?1 ? tan x ?
x ?0

sec x cot x



(3) lim sin x ? 1 ? sin x .
x ???

?

?

(4) lim arccos
x ???

?

x2 ? x ? x .

?

解: (1) lim lg tan x ? lg1 ? 0 .
x? π 4
cot x ?? 1 ? ? ? lim ? ?1 ? ? ? ? x ?0 ? ? ? cot x ? ? sec x

(2) lim ?1 ? tan x ?
x ?0

sec x cot x

? e.

? ? x ?1 ? x ? ? (3) sin x ? 1 ? sin x ? 2sin ? cos ? ? ? ?2 2 ? ? ?

?

? ?, x ?1 ? x ? ? 1

?

x ???

1 ? ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 . lim cos ? ? ? 0 ,则 xlim ??? ? 2 x ?1 ? x ?

?

?

? ? ? ? 1 ? ? x 1 ?? , (4) lim x 2 ? x ? x ? lim ? ? lim ? ? 2 x ??? x ??? x ??? ? ? 2 1 ? x ? x ? x? ? 1? ?1? x ? ? π 则 lim arccos x2 ? x ? x ? . x ??? 3 3.求函数在 x ? 0 处的极限:

?

?

?

?

?2 x x?0 ? (1) f ? x ? ? ?0 x ?0. ? 2 ?1 ? x x ? 0

(2) f ? x ? ? ln cos5x .

a2 ? x ? a (3) f ? x ? ? ? a ? 0? , x

(4) f ? x ? ? (6) f ? x ?

arctan x
x

x 2.

(5) f ? x ? ?

sin 2 x x ?1 ?1



?a ?

? 1? 1 ? cos2 x 1 ? cos x



解: (1) lim f ? x? ? lim f ? x ? ? 1 ,则极限为 lim f ? x ? ? 0 . ? ?
x?0 x?0 x?0

(2)极限为 lim f ? x ? ? lim ? lncos5x ? ? 0 .
x?0 x?0

(3)极限为 lim f ? x ? ? lim
x ?0 x ?0

a2 ? x ? a 1 1 . ? lim ? 2 x ? 0 x a ? x ? a 2a
arctan x x 2 ? lim 2 ? 1 . x ?0 x x 2
? lim
x ?0

(4)极限为 lim f ? x ? ? lim
x ?0 x ?0

(5)极限为 lim f ? x ? ? lim
x ?0 x ?0

sin 2 x x ?1 ?1

sin 2 x x

?

x ? 1 ? 1 ? lim
x ?0

?

sin 2 x ? lim x ?0 x

?

x ?1 ?1 ? 2 ? 2 ? 4 .

?

(6) lim f ? x? ?
x ?0

?a ? lim
x ?0?

x

? 1? ? ? ? sin x ? 1 ? cos x

? 2 lim ?
x ?0

? ? sin x ?
x 2sin 2 2

? ?2 lim cot ?
x ?0

x 不存在,则极限不存在. 2

4.求下列函数的极限:

(1) lim
x ?1

1 ? 2x ? 3 x ?2



(2) lim2 sin x ? cos x ? x2 .
x? π 2

?

?

(3) lim

x 2 ? sin x . x?2 e x 1 ? x 2 ? ?

(4) lim ?1 ? x ? x .
?1 x ?0

1

(5) lim arcsin
x ???

?

x2 ? x ? x . (6) lim
? lim

?

sin 2 x ? sin 2 a . x ?a x?a

解: (1) lim
x ?4

1 ? 2x ? 3 x ?2

2x ? 8 x ?2 x ?2 4 ? ? 2lim ? . x ?4 x ? 4 x ?4 1 ? 2x ? 3 1 ? 2x ? 3 3

? π2 ? π2 (2) lim 2 ? sin x ? cos x ? x2 ? ? 2 ?1 ? ? ? 2 ? . π 4? 4 x? ? 2

(3) lim
x ?2

x 2 ? sin x e
x

1? x

2

? lim
x ?2

4 ? sin 2 5e2
1


?1

? ?x ? ? 1 ? ? ? ? 1 1 ?1 (4) lim ?1 ? x ? x ? lim ?1 ? ? ? lim ?1 ? ? ? e . x ?0 x ?0 x ? 0 1? 1? ? ? ? ? ? ? x? x? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? x 1 ?? , (5) lim x 2 ? x ? x ? lim ? ? lim ? ? 2 x ??? x ??? x ??? ? ? 2 1 x ? x ? x ? ? ? 1? ?1? x ? ? π 则 lim arcsin x2 ? x ? x ? . x ??? 6

?

?

?

?

(6) lim

? sin x ? sin a ?? sin x ? sin a ? sin 2 x ? sin 2 a ? lim x?a x ?a x?a x?a
cos x?a x?a sin 2 2 ? 2sin a cos a ? sin 2a . x?a 2

sin x ? sin a ? lim lim ? sin x ? sin a ? ? 2sin a lim x ?a x ?a x ?a x?a
能力提高

? ? x x x ?? 5.求 lim ? lim ? cos x cos cos 2 ? cos n ? ? 的值. x ?0 n ?? 2 2 2 ?? ? ?

x x x 解: cos x cos cos 2 ?cos n ? 2 2 2

x x x x 1 cos x cos cos 2 ?cos n sin n sin 2 x n 2 2 2 2 ? 2 ?1 , x x sin n sin n 2 2

1 1 sin 2 x sin 2 x n ?1 n ?1 x x x? sin 2 x ? , lim ? cos x cos cos 2 ?cos n ? ? lim 2 ? lim 2 ? x ?? x ?? x ?? x x 2 2 2 ? 2x ? sin n 2 2n

? ? x x x ?? x x x ? sin 2 x ? lim ? lim ? cos x cos cos 2 ?cos n ? ? ? lim ? cos x cos cos 2 ?cos n ? ? lim ?1. x ?0 n ?? n ?? x ? 0 2 2 2 ?? 2 2 2 ? 2x ? ? ?

6.研究函数 f ? x ? ? lim

1 ? x2n ? x 的连续性. n??? 1 ? x 2 n
2n

?1? ? ? ?1 2n 1? x ? x? 解:当 x ? 1 时, f ? x ? ? lim ? x ? lim ? x ? ?x ; 2n n ??? 1 ? x 2 n x ??? ?1? ? ? ?1 ? x?
当 x ? 1 时, f ? x ? ? lim

1 ? x2n ?x? x; x ??? 1 ? x 2 n

?x, x ? 1 ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? ? ?0 , x ? 1 , ? ?? x , x ? 1

由于 lim? f ? x ? ? lim? ? ?x ? ? 1 , lim? f ? x ? ? lim? x ? ?1,则 lim f ? x ? 不存在;
x??1 x??1 x??1 x??1 x ??1

又 lim f ? x ? ? lim x ? 1 , lim f ? x ? ? lim ? ?x? ? ?1 则 lim f ? x? 不存在. ? ? ? ?
x?1 x?1 x?1 x?1 x?1

则 f ? x ? 在 x ? ?1 处不连续, f ? x ? 在定义域内的其余点都连续,即在区间 ? ?? ,? 1? 、 (-1,1)和(1,

?? )上分别连续.
p ?1 * ? ,x ? ,? 其中1 ≤ p ≤ q ,? p ,q ? ? 1,p ,p ? N ? q q R x ? 7.讨论 ? 0 , 的连续性. 1? 上黎曼函数 ? ? ? ? x ,x ? 0 , 1 , 无 理 数 ?

证明:设 ? ? ? 0 , 1? 为无理数,任给 ? ? 0 (不妨设 ? ?

1 ) , 2

1 满足 ≥ ? 正数显然只有有限个 q (但至少有一个,如 q ? 2 ) , q

从而使 R ? x ? ≥ ? 的有理数 x ? ? 0 , 1? 只有有限个(至少有一个,如 (显然 ? ? 0 ) ? ? min ? x 1? ? , ?,xn ? ? , ?, 1? ? ? ,

1 ?,xn ,取 ) ,设为 x1 , 2

则对任何 x ?U ?? , ? ? ? ? ? 0, 1?? ,当 x 为有理数时有 R ? x ? ? ? ,当 x 为无理数时 R ? x ? ? 0 .

? ? ,总有 R ? x ? ? R ?? ? ? R ? x ? ? ? , 于是,对任何 x ?U ?? ,
这就证明了 R ? x ? 在无理点 ? 处连续. 现设
p 1 为(0,1)内任一有理数,取 ? 0 ? ,对任何正数 ? (无论多少小) , 2q q

?p ? ? p? 1 在 U ? ,? ? 内总可取无理数 x0 ?? ? 0, 1?? ,使得 R ? x0 ? ? R ? ? ? ? ? 0 , q ? ? ?q? q

所以 R ? x ? 在任何有理点处都不连续. 19.4 导数的概念与运算 1.求下列函数的导数: (1) y ? x4 ? 3x2 ? 5x ? 6 . (3) y ? ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3? . (2) y ? x ? tan x . (4) y ?

x ?1 . x ?1

解: (1) y′ (2) y′ ? 4x3 ? 6x ? 5 . ? tan x ? 2.求下列函数的导数: (1) y ?
x5 ? x 7 ? x9 x
1? x 1? x ? 1? x 1? x

2 x ? . (3) y′ (4) y′ . ? 3x2 ? 12x ? 11 . 2 2 cos x ? x ? 1?



(2) y ? sin 4

x x ? cos4 . 4 4
x? ?. 4?

(3) y ?



x? (4) y ? ? sin ?1 ? 2cos 2 2?

1 解: (1) y′ (2) y′ ? 4x3 ? 3x2 ? 2x , ? ? sin x . 4
? (3) y′ 4

?1 ? x ?

2

1 , (4) y′ ? cos x . 2

3.求下列函数的导数: (1) y ? x 1 ? x2 . (3) y ? (2) y ? x2 ? 2x ? 3 ? e2 x . (4) y ? .
3

?

?

3x ? 2 . 2x ? 3
2 x2 ? 1 1 ? x2

x . 1? x

? 解: (1) y′

(2) y′ ? 2x2 ? 2x ? 4 ? e2 x .
2 3

?

?

? (3) y′

13

? 2 x ? 3?

2



1? x ? ? ? (4) y′ ? 3?1? x ?

?

1

?1 ? x ?

2



能力提高 4.如图 19-5,函数 f ? x ? 的图像是折线段 ABC ,其中 A ,B ,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) , 则 f ? f ? 0? ? ? __________;函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的导数 f ′ ?1? ? __________.

y 4 3 2 1 B O 1 2 图 3 4 5 6 x A C

19-5

0?4 解: f ? ? ?2 . ?1? ? ? f ? 0?? ? ? f ? 4? ? 2 , f ′ 2?0
5.若 f ′ ? x0 ? ? 2 ,求 lim
k ?0

f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ? 2k



解: lim
k ?0

f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ?

2k 6.求下列函数的导数:

f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ? 1 ? ? lim ? ?1 . k ? 0 2 ?k

(1) y ? ? x ? 1? 2x2 ? 3x ? 1 . (3) y ? cos2 ? ax ? b? . (5) y ? ln
x ?1 ? x ? 1? . x ?1

?

?

(2) y ?

2 x3 ? 3x ? x ? 1 x x
1 ? sin 2 x . 1 ? sin 2 x



(4) y ?

(6) y ? ln
1

x4 x2 ? 1



? 6 x ? 10 x ? 2 . 解: (1) y′

(3) y′ ? ?a ? sin ? ?2 ? ax ? b ?? ?. (5) y′ ?

3 ?3 3 ?5 x 2 ? x ?2 ? x 2 . 2 2 ?2 cos 2 x ? (4) y′ . cos 2 x ?1 ? sin 2 x ? ? 3x 2 ? (2) y′

1 . x ?1
2

(6) y′ ?

4 x . ? 2 x x ?1

7.已知函数 y ? f ? x ? 是可导的周期函数,试救证其导函数 y ? f ′ ? x ? 也为周期函数. 证明: f ′ ? x ? ? lim
f ? x ? ? x? ? f ? x?

? r ?0

?x

? lim

f ?x ? ? x ?T ? ? f ?x ?T ?

? r ?0

?x

? f′ ?x ?T ? .

8.若可导函数 f ? x ? 是奇函数,求证:其导函数 f ′ ? x ? 是偶函数. 证明:函数 f ? x ? 是奇函数,所以 ? f ? x ? ? f ? ? x ? ,
d? ?? f ? x ?? ? ? d? ? f ? ? x ?? ? ? ? f ′x ? ? f ′? x ? f ′x ? f ′? x ? ? ? ? ? ? ? ? dx dx

所以导函数 f ′ ? x ? 是偶函数,显然得证.

19.5 导数的应用 基础练习 1. (1)曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为__________.

1 ? 1? 上点 P ? 1, ? 且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为__________. x ?1 ? 2? ?π ? (3)曲线 y ? sin 3x 在点 P ? ,0 ? 处切线的斜率为__________. ?3 ?
(2)过曲线 y ? (4) 函数 y ? x 2 的曲线上点 A 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角为 45 ? , 则点 A 的坐标为__________.

1 1 (5)曲线 y ? 2 ? x2 与 y ? x3 ? 2 在交点处的切线夹角是__________. 2 4
解: (1) y′ ? 3x2 ? 6 x ? y′ ? ?3 ,则切线方程为 y ? ?3x ? 2 .
?? (2) y′ 1 1 π 1 ? 1? ? y′ ? ? ,则夹角最大为 ,所以过曲线 y ? 上点 P ? 1, ? 且与过 P 点的切 2? 4 2 x ?1 ?

? x ? 1?

2

线夹角最大的直线的斜率为 4 ,则直线方程为: 2 y ? 8x ? 7 ? 0 .
? 3cos3x ? y′ ? 3. (3) y′

(4)设切线的斜率为 k ,
? 2 x ? ?2 , 因为 y′

k ?3 1 ? 1 ? 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0 , k ? ?2 , , 1 ? 3k 2

1 1 ?1 1 ? 1? . ? x ? ?1 , ,所以点 A 的坐标为 ? , ? 或 ? ?1, 2 4 ? 4 16 ?

1 ? y ? 2 ? x2 ? ? 2 (5) ? ? x3 ? 2x2 ? 16 ? 0 ? ? x ? 2? x2 ? 4x ? 8 ? 0 ? x ? 2 . 1 ? y ? x3 ? 2 ? ? 4

?

?

1 1 3 y ? 2 ? x2 ? y′ ? ? x ? y′ ? ?2 , y ? x3 ? 2 ? y′ ? x2 ? y′ ?3. 2 4 4
则夹角是 arctan
1 ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? ? ?2 ? ? π . 4

2. ( 1 ) 设 函 数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的 图 像 与 y 轴 交 点 为 P 点 , 且 曲 线 在 P 点 处 的 切 线 方 程 为
12 x ? y ? 4 ? 0 .若函数在 x ? 2 处取得极值 0,试确定函数的解析式.

(2)若函数 f ? x ? 在区间 ? a ,b? 内恒有 f ′ ? x ? ? 0 ,则求函数的 ?a ,b? 上的最小值. (3)求曲线 y ?

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ? x ? 1 的极值点. 4 3 2

解: (1)令 y ? f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,则 f ′ ? x? ? 3ax2 ? 2bx ? c , 则 f′ ? 2? ? 12a ? 4b ? c ? 0 , f ′ ? 0? ? c ? 12
f ? 2? ? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 0 , 12 ? 0 ? d ? 4 ? 0

?a ? 2 ?b ? ?9 ? 解得: ? , ? c ? 12 ? ? d ? ?4

则函数的解析式为 y ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 4 . (2)函数 f ? x ? 在区间 ? a ,b? 内恒有 f ′ ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?a ,b? 单调递减,因此函数在 ?a ,b? 上的最小值为 f ? b ? . (3) y′ ? x3 ? x2 ? x2 ? 1 ? ? x ? 1? x2 ? 1 ,因此在 x ? 1 时有极小值. 3.求下列函数的单调区间: (1) y ? ? x ? 1? ? x ? 2? .
2

?

?

(2) y ?

x . 1 ? x2

(3) y ? xe x .

(4) y ? x lg x .

5? ? ? 5 ? 解: (1) y′ ? ? x ? 1?? 3x ? 5? ,单调递增区间为 ? ?? ,? ? 和 ? ?1,? ?? ,单调递减区间为 ? ? ,? 1? . 3? ? ? 3 ?

(2) y′ =

1 ? x2

?1 ? x ?

2 2

,单调递增区间为(-1,1) ,单调递减区间为 ? ?? ,? 1? .

(3) y′ ? e x ? x ? 1? ,单调递增区间为 ? ?1,? ?? ,单调递减区间为 ? ?? ,? 1? . (4) y′ ?
1? ln x ? 1 ?1 ? ? ,单调递增区间为 ? ,? ? ? ,单调递减区间为 ? 0 , ? . e e? ln10 ? ? ?

4.求下列函数的极值或最值: (1) y ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 5,x ???4 ,4? . (2) y ? x ? 2sin x , x ? ?0 ,2π? . (3) y ? ? x ? 1? x 3 .
2

(4) y ?

2x . ln x

解: (1) y′ , ? 3x2 ? 6x ? 9 ,单调递增区间为 ? ?? ,? 1? 和 ?3,? ? ? ,单调递减区间为(-1,3) 当 x ? ?1 时取到极大值 y ? 10 ,当 x ? 3 时取到极小值 y ? ?22 .
2π ? ? 4π ? ? ? 2π 4π ? ? 1 ? 2cos x ,单调递增区间为 ?0 , ? 和 ? ,2π ? ,单调递减区间为 ? , ? , (2) y′ 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 3

2π 2π 2π 4π 时取到极大值 y ? 时取到极小值 y ? ? 3 ,当 x ? ? 3. 3 3 3 3 当 x ? 0 时取到最小值 y ? 0 ,当 x ? 2 π 时取到最大值 y ? 2π ;
当x?
2? x 3 ?2 ? ? (3) y′ ? ?5x ? 2? ,单调递增区间为 ? 5 ,? ? ? ,单调递减区间为 ? 0 ,5 ? , 3 ? ? ? ?
? 1

当x?

3 3 20 2 时取到极小值 y ? ? . 25 5

ln x ? 1 ,单调递增区间为 ? e ,? ? ? ,单调递减区间为 ? 0 ,e ? , ln 2 x 当 x ? e 时取到极小值 y ? 2e .
(4) y′ ?2 5.当 x ? 0 时,证明下列不等式成立: (1) ln ? x ? 1? ? x ?

x2 . 2

(2) cos x ? 1 ?

x2 x4 . ? 2 24

? x2 ? 1 x2 证明: (1)令 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? ? x ? ? , f ′ ? x ?1 ? ?0, ? x? ? 2? x ?1 x ?1 ? ? x2 ? 所以 f ? x ? 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增,则 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? ? x ? ? ? f ? 0 ? ? 0 , 2? ?

则 ln ? x ? 1? ? x ?

x2 ,显然得证. 2 x2 x4 x3 ? ? cos x , g ? x ? ? f ′ ? x ? ? ?x ? ? sin x , 2 24 6

(2)令 f ? x ? ? 1 ?

h ? x ? ? g′ ? x? ?

x2 ? cos x ? 1 , ? ? x ? ? h′ ? x ? ? x ? sin x , ?′ ? x ? ? 1 ? cos x ≥ 0 , 2

则 ? ? x ? ? x ? sin x 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递减,所以 ? ? x ? ? x ? sin x ? ? ? 0? ? 0 , 则 h ? x? ?

x2 x2 ? cos x ? 1 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增,所以 h ? x ? ? ? cos x ? 1 ? h ? 0? ? 0 , 2 2

x3 x3 ? sin x 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? ? x ? ? sin x ? g ? 0? ? 0 , 6 6 2 4 x x x2 x4 则 f ? x? ? 1 ? ? ? cos x 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增,所以 f ? x ? ? 1 ? ? ? cos x ? f ? 0? ? 0 , 2 24 2 24
则 g ? x? ? ?x ? 即 cos x ? 1 ?

x2 x4 得证. ? 2 24

6.设 f ? x ? ? ax2 ? x ? 1 ? e? x ( e 为自然对数的底, a 为常数且 a ? 0 , x ? R ) ,则 f ? x ? 何时取得极小 值?
1? ? 2 ?x ?x 解: f ′ ? x? ? ? ? ?ax ? ? 2a ? 1? x ? 2 ? ? e ? ?a ? x ? a ? ? x ? 2 ? e , ? ?

?

?

1 1 1 当 ? ? a ? 0 时, x ? ? 时, f ? x ? 取得极小值;当 a ? ? 时, x ? 2 时, f ? x ? 取得极小值. 2 a 2 1 2 x 上与点 A ? 6 ,0? 距离最近的点. 2 1 ? 1 1 2 ? 解:任取抛物线上一点 ? x , x 2 ? ,则 z ? d 2 ? ? x ? 6? ? x4 ? x4 ? x2 ? 12x ? 36 . 2 ? 4 4 ?
7.求抛物线 y ?

z′ ? x3 ? 2x ? 12 ? ? x ? 2? ? x2 ? 2x ? 6? ,则在 ? ?? ,2? 单调递减, ? 2 ,? ? ? 单调递增,
则抛物线 y ? 能力提高 8.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

1 2 . x 上与点 A ? 6 ,0? 距离最近的点是(2,2) 2

(1)讨论 f ?1? 和 ? ?1? 是函数 f ? x ? 的极大值还是极小值. (2)过点 A ? 0 , 16 ? 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,求此切线方程. 解 :( 1 ) 函 数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处 取 得 极 值 ? f ′ ? x? ? 0 的 解 为

2? ? 3 0 ?3a ? b ?a ? 1 ,则 f ? x ? ? x3 ? 3x , x ? ?1 ? ? ?? 3 a ? b 2 ? ? 3 0 b ? 0 ? ?

则 f ? ?1? ? 2 是极大值, f ?1? ? ?2 是极小值. (2)设切点为 M m, m3 ? 3m ,则切线方程为 y ? 3m2 ? 3 ? x ? m? ? m3 ? 3m . 过点 A ? 0 , 16 ? ,则 16 ? 3m2 ? 3 ? 0 ? m? ? m3 ? 3m ? m3 ? ?8 ? m ? ?2 , 则切点为 M ? ?2 ,? 2? ,则切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . 9.设函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? k ? k ? 0? 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线垂直 于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (1)求 a ,b 的值. (2)若函数 g ? x ? ? 解: (1)因 f ? x ? ? ax2 ? bx ? k ? k ? 0? ,故 f ′ ? x ? ? 2ax ? b ; 又 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极限值,故 f ′ ? x ? ? 0 ,从而 b ? 0 . 由曲线 y ? f ? x ? 在 ?1,f ?1? ? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知: 该切线斜率为 2,即 f ′ ?1? ? 2 ,有 2a ? 2 ,从而 a ? 1 .
e x ? x2 ? 2 x ? k ? ex g ′ x ? (2)由(1)知, g ? x ? ? 2 ? k ? 0? . ? k ? 0? , ? ? 2 2 x ?k x ? k ? ?
ex ,讨论 g ? x ? 的单调性. f ? x?

?

?

?

?

?

?

令 g′ ? x ? ? 0 ,有 x2 ? 2 x ? k ? 0 . ①当 ? ? 4 ? 4 k ? 0 ,即当 k ? 1 时, g′ ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,故函数 g ? x ? 在 R 上为增函数. ②当 ? ? 4 ? 4 k ? 0 ,即当 k ? 1 时, g′ ? x? ?
k ? 1 时, g ? x ? 在 R 上为增函数.

e x ? x ? 1?

2

?x

2

? k?

2

? 0 ? x ? 0? ,

③ ? ? 4 ? 4 k ? 0 ,即当 0 ? k ? 1 时,方程 x 2 ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根,

x1 ? 1 ? 1 ? k , x2 ? 1 ? 1 ? k .

1 ? 1 ? k 是 g′ 当 x ? ?? , ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ?? ,1 ? 1 ? k 上为增函数, 1 ? 1 ? k 时, g′ 当 x? 1? 1? k , ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 1,? 1 ? k ,1 ? 1 ? k 上为减函数,

?

?

?

?

?

?

?

?

1 10.已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ,且 f ′ (1)试用含 a 的代数式表示 b . (2)求 f ? x ? 的单 ? ?1? ? 0 . 3
调区间. (3) 令 a ? ?1 , 设函数 f ? x ? 在 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? 处取得极值, 记点 M ? x1 ,f ? x1 ? ? ,N ? x2 ,f ? x2 ?? , 证明:线段 MN 与曲线 f ? x ? 存在异于 M 、N 的公共点. 解: (1)依题意,得 f ′ ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 . ? x ? ? x2 ? 2ax ? b ,由 f ′

1 (2)由(1)得 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? ? 2a ? 1? x , 3
故 f′ ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2a ? 1 ? ? x ? 1?? x ? 2a ? 1? ,
* 令 f′ ? x ? ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a .

①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f ′ ? x ? 与 f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f′ ? x? f ? x?

1 ? 2a ? ? ?? ,

? ?2a ,? 1?
单调递减

? ?1,? ??
+ 单调递增

+ 单调递增

1 ? 2a ? 和 ? ?1,? ? ? ,单调减区间为 ?1 ? 2a ,? 1? . 由此得,函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? ?? ,

②由 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f ′ ? x ? ≥ 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f ′ ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 的单调区 间为 R . ③当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? ?? ,? 1? 和 ?1 ? 2a ,? ? ? ,单调减区间
1 ? 2a ? . 为 ? ?1,

综上:
1 ? 2a ? 和 ? ?1,? ? ? ,单调减区间为 ?1 ? 2a ,? 1? ; 当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? ?? ,

当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 R ;
1 ? 2a ? . 当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? ?? ,? 1? 和 ?1 ? 2a ,? ? ? ,单调减区间为 ? ?1,

1 (3)当 a ? ?1 时,得 f ? x ? ? x3 ? x2 ? 3x ,由 f ′ ? x ? ? x3 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 . 3

由(2)得 f ? x ? 的单调增区间为 ? ?? ,? 1? 和 ? 3,? ? ? ,单调减区间为(-1,3) , 所以函数 f ? x ? 在 x1 ? ?1 , x2 ? 3 处取得极值.
5? 8 ? 故 M ? ?1, ? , N ? 3,? 9? .所以直线 MN 的方程为 y ? ? x ? 1 . 3 3 ? ?

1 ? y ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 由? ,得 x3 ? 3x 2 ? x ? 3 ? 0 . 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?

令 F ? x ? ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 , 易得 F ? 0? ? 3 ? 0 , F ? 2 ? ? ?3 ? 0 ,而 F ? x ? 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线, 故 F ? x ? 在(0,2)内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ? x ? 有异于 M , N 的公共点. 11.设定义在 R 上的函数 f ? x ? ? a0 x4 ? a1 x3 ? a2 x2 ? a3 x ? ai ? R , i ? 0, 1,2, 3? ,当 x ? ? 取得极大值
2 ,并且函数 y ? f ′ ? x ? 的图像关于 y 轴对称. 3 2 时, f ? x ? 2

(1)求 f ? x ? 的表达式. (2)试在函数 f ? x ? 的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间 [-1,1]上. (3)求证: f ? sin x ? ? f ? cos x ? ≤
2 2 ?x ? R?. 3

解: (1)由于 f ′ ? ?x? ? f ′ ? x? , ? x ? ? 4a0 x3 ? 3a1x2 ? 2a2 x ? a3 为偶函数,则 f ′ 则 ?4a0 x3 ? 3a1 x2 ? 2a2 x ? a3 ? 4a0 x3 ? 3a1 x2 ? 2a2 x ? a3 , 则 4a0 x3 ? 2a2 x ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 则 a0 ? a2 ? 0 ,则 f ? x ? ? a1 x3 ? a3 x , 又当 x ? ?
? ? ?f ? ?? ? ? 则? ? ? ? ? f′ ?? ? ?
2 2 时, f ? x ? 取得极大值 , 2 3

2? 2 ? ? ? 2 ? 3

2 ? 2 3 ?a1 ? ,解得 ? ? x ? ? 2 x2 ? 1 . 3 ,则 f ? 3? ? x ? x , f ′ 3 ? 2 ?a3 ? ?1 ? ??0 2 ? ?

2 (2)设所求两点的横坐标为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,则 2x12 ? 1 ? 2x2 ? 1 ? ?1 ,
2 1? ,则 2 x12 ? 1 , 2x2 又由于 x1 , x2 ? ? ?1, ? 1???1, 1? ,

?

??

?

2 则 2 x12 ? 1 , 2 x2 ? 1 中有一个为 1 ,一个为-1,

? x ? 0 ? x1 ? ?1 1? 1? ? ? 则? 1 或? ,则所求的两点为(0,0)与 ? 1,? ? 或(0,0)与 ? ?1, ? . 3 3? ? ? ? ? x2 ? 1 ? x2 ? 0

(3)证明:易知 sin x , cos x ?? ?1, 1? .
? ? 2 ? 2? 当 x ? ?0 , ? 时, f ′ ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ,1? 时, f ′ ? x? ? 0 . 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2? 则 f ? x ? 在 ?0 , ? 为减函数,在 ? , 1? 上为增函数, 2 ? ? ? 2 ? ? 2? 2 1 又 f ? 0? ? 0 , f ? 1? 上为奇函数, ? 2 ? ? ? ? 3 , f ?1? ? ? 3 ,而 f ? x ? 在 ? ?1, ? ?

则 f ? x ? 在 ? ?1, 1? 上最大值为 则 f ? sin x ? ≤

2 2 2 ,最小值为 ? ,即 f ? x ? ≤ , 3 3 3

2 2 , f ? cos x ? ≤ , 3 3
2 2 . 3

则 f ? sin x ? ? f ? cos x ? ≤ f ? sin x ? ? f ? cos x ? ≤ 12.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x , (1)若 x ??0 ,π? ,试求函数 f ? x ? 的值域. (2)若 x ??0 ,π? , ? ? ? 0 ,π ? ,求证:

2 f ?? ? ? f ? x ? 3

? 2? ? x ? ≥f? ?. ? 3 ?
2 f ?? ? ? f ? x ? 3

(3)若 x ? ? k ? 1? π? ? ? k ? 1? π? ?k π , ? ,? ? ? ?kπ , ? ,? Z ,猜想 必写出比较过程) .

? 2? ? x ? 与f? ? 的大小关系(不 ? 3 ?

解: (1)当 x ? ? 0 ,π ? 时, f ′ ? x ? ? 1 ? cos x ? 0 ,则 f ? x ? 为增函数. 又 f ? x ? 在区间 ?0 ,π? 上连续, 所以 f ? 0? ≤ f ? x ? ≤ f ? π ? , 求得 0 ≤ f ? x ? ≤ π , 即 f ? x ? 的值域为 ?0 ,π? . (2)设 g ? x ? ? ?
2 f ?? ? ? f ? x ? 3
? sin

? 2? ? x ? ?f? ?. ? 3 ?

即 g ? x? ? ?

2 f ?? ? ? sin x 3

2? ? x 1 2? ? x ? , g′ ? x? ? ? ? ? cos x ? cos ?, 3 3? 3 ?

由于 x ??0 ,π? , ? ? ? 0 ,π ? ,则

2? ? x ? ? 0 ,π ? ,由 g′ ? x ? ? 0 ,得 x ? ? , 3

则当 x ? ? 0 , ? ? 时, g′ ? x ? ? 0 , g ? x ? 为减函数,当 x ? ?? ,π ? 时, g′ ? x ? ? 0 , g ? x ? 为增函数. 由于 g ? x ? 在区间 ?0 ,π? 上连续,则 g ?? ? 为 g ? x ? 的最小值 对 x ??0 ,π? 有 g ? x ? ≥ g ?? ? ? 0 ,因而
2 f ?? ? ? f ? x ? 3 ? 2? ? x ? ≥f? ?. ? 3 ?

(3)在题设条件下,当 k 为偶数时,
2 f ?? ? ? f ? x ? 3

2 f ?? ? ? f ? x ? 3

? 2? ? x ? ≥f? ?, ? 3 ?

当 k 为奇数时,

? 2? ? x ? ≤f? ?. ? 3 ?


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