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2014高考数学一轮复习训练题:空间角与空间距离(二)

2014高考数学一轮复习训练题:空间角与空间距离(二)


2014 届高考数学一轮复习训练题:空间角与空间距离(二)
1 .在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , EF ? 3
BC ? 2 AD ? 4 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

(Ⅱ) 求证: BD ? EG ;

A

D

E

F

B

G

C

2 .三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2 3 的正三角形,平面 PBC ? 平面 ABC ,

PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点, AD ? 2 DP , O 为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ;

(Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M ? BD ? O 的余弦值.
P D

A

C O B

3 .如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方形,ED ? 平面 ABCD,FB//ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证:AC ? EF; (II)求二面角 C—EF—D 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG//平面 CEF,并证明你的结论.

1 4 .已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB / / CD, AD ? AB, AD ? AB ? CD ? 1 2 , PD ? 面ABCD , PD ? 2 , E 是 PC 的中点 (1)证明: BE / / 面PAD ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的大小.

5 . 如 图 所 示 , 在 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 ? 形, PA ? AD ? DC ? 2, AB ? 4 且 AB // CD , ?BAD ? 90 。 (Ⅰ)求证: BC ? PC (Ⅱ)求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

6.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB. (Ⅰ) 、求证:CE⊥平面 PAD; (Ⅱ) 、若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°, 求四棱锥 P-ABCD 的体积. (Ⅲ)、在满足(Ⅱ)的条件下求二面角 B-PC-D 的余弦值的绝对值.

7.四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD , 1 PA ? PB ? AB ? AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2 (1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值
P F B

C

A

E

D

8.四棱柱 ABCD-A1BlClD1 的直观图和三视图如下图所示,其正(主)视图、侧(左)视图为矩形,俯 视图为直角梯形. (I)求证:BC⊥平面 A1AC; (Ⅱ )若异面直线 A1D 与 BC 所成的角为 60o,求二面角 A-A1C-D 的大小.

9.如图,ABCD 为边长 2 的菱形,∠BAD=60°,对角线交于点 O,沿 BD 将 BCD 折起,使二面角 C—BD—A 为 120°,P 为折起后 AC 上一点,且 AP=2PC,Q 为三角形 ABD 的中心. (1)求证:PQ∥平面 BCD; (2)求证 PO⊥平面 ABD; (3)求 BP 与平面 BCD 所成角的正弦值.

10.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB =2, AA1 ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; (Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60? 若存在求 AE 的长;若不存在,请说明理由

11.如图,四棱锥 P—ABCD 中, PB ? 底面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? 90? , AD / / BC , AB ? AD ? PB, BC ? 2 AD. 点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.
(I)求证: CD ? 平面 PBD; (II)求二面角 A—BE—D 的余弦值.

12.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD, 且 AC ? BD, AC与BD交于O,
PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分别是 AB、AP 的中点.

(1)求证: AC ? EF ;

(2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.
P

F D O A E B C

13 . 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ,ABCD 是 等 腰 梯 形 ,AB//CD,ACFE 是 矩 形 , 平 面 ACFE⊥ 平 面 ? ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB= . 2 (1)若 M ? EF , AM //平面 BDF,求 EM 的长度; (2)求二面角 B—EF—C 的平面角 ? 的大小.

14.如图,几何体 ABCD ? B1C1 D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面

ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, F 为 AB 的中
点. (Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.
D1 B1 C1

E
D

C

A

F

B

DE ? 1 ,将四边形 DEBC 沿 15. 如图 1,在梯形 ABCD 中, BC ∥ DA , BE ? DA, EA ? EB ? BC ? 2,
BE 折起,使平面 DEBC 垂直平面 ABE ,如图 2,连结 AD, AC .

(Ⅰ)若 F 为 AB 中点,求证: EF ∥平面 ADC ; ???? ? ??? ? 2 2 (Ⅱ)若 AM ? ? AC ,且 BM 与平面 ADC 所成角的正弦值为 ,试确定点 M 的位置. 3

16.如图,在三棱锥 P—ABC 中, ∠APB=90° ,∠PAB=60° , AB=BC=CA=PC. (Ⅰ)求证:平面 APB⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 B—AP—C 的余弦值.
P

A

B

C

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, ?DAB 为直角, AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB, E , F 分别为 PC , CD 的中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 BEF ; (Ⅱ)设 PA ? kAB(k > 0 ,且二面角 E ? BD ? C 的大小为 30? ,求此时 k 的值.

18.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,AB//EF,

?EAB ? 90? , AB ? 2,AD ? AE ? EF ? 1 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
(1)求证: 面DAF ? 面BAF . (2)求钝二面角 B-FC-D 的大小.

19. 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 , M 为线段 AB 的中点. 将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)求证: BC ? 平面 ACD ; (2)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

20.一多面体的三视图和直观图如下图所示,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图 为直角梯形(尺寸如图所示). (1)求证: AE / / 平面 DCF ; (2)当 AB ? 3 3 时,求二面角 A ? EF ? B 的余弦值.

21.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, CD ? ?CC (? ? R) 1 (1)当 λ =
1 时,求证 AB1 丄平面 A1BD; 2

(2)当二面角 A—A1D—B 的大小为

? 时,求 λ 的值. 3

2014 届理科数学一轮复习试题:空间角与空间距离参考答案 1. (Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG ,
A

D

E

H

F

B

G

C

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG (Ⅱ) 解法 1
A

z

D

E

F

y

x B

G

C

解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2), B (2,0,0), C (2,4,0), F (0,3,0), D (0,2,2), G (2,2,0)

2.

证明:(Ⅰ)连结 AO 交 BC 于点 E ,连结 PE . ? O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ? 2OE , 且 E 为 BC 中点.又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , z ? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC P ∴ DO ∥面 PBC (Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , D 又平面 PBC ? 平面 ABC , M ∴ PE ? 平面 ABC , 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE , ∴ DO ? 平面 PBC , x C A ∴ DO ? AC O 连结 BO ,则 AC ? BO ,又 DO ? BO ? O , E ∴ AC ? 平面 DOB ,∴ AC ? BD B (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, EA, EB, EP 两两互相垂直,且 E 为 BC 中点 y ,所以分别以 EA, EB, EP 所在 直 线 为 x, y , z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 , 则
2 3 1 A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), P(0, 0,1),D(1, 0, ), C (0, ? 3, 0), M (0, ? , ) 3 2 2 ???? ? ? 3 3 1 ??? 2 ∴ BM ? (0, ? , ), DB ? (?1, 3, ? ) 2 2 3 ? 2 ? ? ??? n ? DB ? ?x ? 3y ? z ? 0 ? ?? ? 3 ? 设平面 BDM 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? , ? ???? ? ?n ? BM ? ? 3 3 y ? 1 z ? 0 ? ? 2 2 ? 令 y ? 1 ,则 n ? (? 3,1,3 3) ???? 由 (Ⅱ) 知 AC ? 平 面 DBO ,∴ AC ? (?3, ? 3, 0) 为 平 面 DBO 的 法 向

? ???? ? ???? n ? AC 3 3? 3 31 量,∴ cos ? n, AC ?? ? ???? ? , ? 31 | n || AC | 3 ? 1 ? 27 ? 9 ? 3

由图可知,二面角 M ? BD ? O 的余弦值为 3.

31 31

4.

证明:取 PD 的中点为 F , 连接 EF , 1 EF // CD, EF ? CD, 2 1 AB // CD且AB ? CD, 又 2 ? EF // AB, EF ? AB, ? ABEF 是平行四边形, ? BE // AF , 又BE ? 面PAD,AF ? 面PAD,
? BE / / 面PAD.

z

F

y

x

(2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 2 E (0,1, ) B(1,1,0), C (0,2,0), P(0,0, 2 ), 则 2
??? ? ??? ? 2 DB ? (1,1, 0), BE ? (?1, 0, ) 2
? 设平面EDB的法向量为n ? ( x, y, z ) ?x ? y ? 0 ? ? 2 z?0 ?? x ? ? 2 ? ? n ? ( x, ? x, 2 x) ? x(1, ?1, 2) ? ? n ? (1, ?1, 2) 令 x=1,则 ?? 平面 ABCD 的法向量为 m ? (0, 0,1), 又因为

2 , 二面角 E ? BD ? C 为 450. 2 5.解:(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2 2 , 取 AB 中点 E,连接 CE, 则四边形 AECD 为正方形, 1 ? AE=CE=2,又 BE= AB ? 2 , 2 则 ?ABC 为等腰直角三角形, ? AC ? BC , 又? PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD , ? PA ? BC ,由 AC ? PA ? A 得 BC ? 平面 PAC, ? PC ? 平面 PAC,所以 BC ? PC (Ⅱ)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示的坐标系.则 P(0,0,2) ,B(0,4,0), C(2,2,0), cos m, n ?

BP ? (0,?4,2), BC ? (2,?2,0)
由(Ⅰ)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量,

cos ? BC , BP ??

BC ? BP | BC || BP |

?

10 , 5

10 5 6. 【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45? ? 1 ,CE=CD ? sin 45? ? 1 . 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以 1 1 5 S ABCD ? S ABCE ? S?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ? 1? 1 ? ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=1,所以 2 2 2

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

1 1 5 5 四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ? ? ? 1 ? 3 3 2 6 (3)建立以 A 为原点,AB,AD,AP 为 x,y,z 轴的空间坐标系,取平面 PBC 的法向量为 n1=(1,01), 取平面 PCD 的法向量为 n2=(1,1,3), 2 22 所以二面角的余弦值的绝对值是 11 1 7. 【解析】(1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ? BC 2 1 ? AE / / BC , AE ? BC ? FG / / AE 2 AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
P F B

G

C

A

E

D

(2) ? ?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------① ?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理

BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900 面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB DB ? AG -----------------------② 由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD 又EF / / AG,? EF ? 面PBD (3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN ?PAB是等边三角形? BN ? PA ? Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B 的平面角 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN

所以 BD ? AB

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN

P F

N

B

C

A

E

D

5 BD 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ? 2, cos ? ? 5 BN 5 解法二 (1) ?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 tan ? ?

BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900 面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB

所以 BD ? AB

z

P F B

C

x

A

E

D

??? ? ??? ? 建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

y

?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ? ??? ? ?? ? EF ? n2 ? 0? EF / /面PAB ??? ? ??? ? (2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0 ??? ? ???? ?? AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0 (3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ?? ??? ? ?? ? n ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? 1 令 x ? 3 所以 n1 ? 3,1,1 ? ?? ???? ? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0

? ? ? ? ??? ? 1 ??? ? ???? 1 3 EF ? ? AP ? DC ? ? ? ?3, 0, 3 ? ? ?? 2 2 2 ? ? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? 3, 0,1?

?

?

?

?

?

?

?? ? 平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ? ?? ?? ? 1 5 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? 5 5
8.

(2)由(1)知 AD,AB,AA1 两两垂直,分别以 AD,AB,AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

由(1)知

由图可知二面角 A ? AC 1 ? D 为锐角 60 ? . 所以二面角 A ? AC 1 ?D为 9.

10.

11.

12.证明:(1) E、F 分别是 AB、AP 的中点. EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, ----由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC , ? AC ? BD, ? AC ? 面POB, PB ? 面POB ? AC ? PB ----------------------------------5



? AC ? EF .
P

F D O A E B C

??? ? ???? ??? ? (2)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC , OP}

z
P

F D O A E B C

y

x

由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1 ,

A ? 0, ?2, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , D ? ?1, 0, 0 ? , P(0, 0, 2) ??? ? ??? ? OE ? (1, ?1, 0), OF ? (0, ?1,1), ?? 设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ?? ??? ? ?? ? ?m ? OE ? 0 可得 m ? (1,1,1) , ? ? ?? ??? ? ? ?m ? OF ? 0 ? 平面 OAE 的法向量为 n ? (0, 0,1) 设二面角 F ? OE ? A 为 ? , ?? ? m?n 3 ?? cos ? ? ?? ?? | m || n | 3 13.

14.解:(I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? ,所以 BD ? a 因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则 DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

a2 6a DE ? DC ? CE ? a ? ? 2 2
2 2 2

a2 6a B1 E ? B1C ? C1 E ? a ? ? 2 2 2 2 6a ? 6a 所以 DE 2 ? B1 E 2 ? ? 3a 2 ? DB12 4
2 1 2 2

所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形 (II)取 DB1 的中点 H , 因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点, 所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分 , 别为 x, y, z 轴建立坐标系 z
D1

C1 B1
E

H
D
C

O

x A

F

B

y

a 3 2 a 3 a 则 D(0, ? , 0), E ( ? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ???? ? ???? ???? 3 a 2 3 3 所以 DB1 ? (0, a, 2a), DE ? ( ? a, , a), DF ? ( a, a, 0) 2 2 2 4 4 ?? 设面 DB1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ?? ???? ? ?? ???? 3 a 2 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ? ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2 ?? 令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (0, ? 2,1) ?? ? 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ? ???? ?? ? ???? 3 3 3 a 2 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2 ?? ? 3 2 6 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ? , ) 3 3 6 2 6 ? ?? ?? ? 2 2 3 3 ? 则 cos n1 , n2 ? ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3 15.证明:(Ⅰ)取 AC 中点 N ,连接 FN,DN , FE , ∵ F , N 分别是 AB, AC 的中点, 1 ? FN ∥ BC 且 FN ? BC 2 1 又 DE ∥ BC 且 DE ? 1 ? BC , 2 ? FN ∥ DE 且 FN ? DE ,?四边形 FNDE 为平行四边形 ? EF ∥ ND ,又 EF ? 平面 ACD, DN ? 平面 ACD,? EF ∥平面 ADC

(Ⅱ)? 平面 DEBC ? 平面 ABE 且交于 BE, AE ? EB, ? AE ? 平面 DECB,? AE ? DE 由已知, DE ? EB, AE ? EB ,分别以 EA, EB, ED 所在直线 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 2, 2) 则 E (0,0,0), D(0,0,1), A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C (0, ???? ??? ? ? AD ? (?2,0,1), AC ? (?2, 2, 2) ? 设平面 ADC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ???? ? ?n ? AD ? 0 ??2 x ? z ? 0 ?? 则 ? ? ???? 令 x ?1, ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? ? 则可得 n ? (1, ?1, 2) ? BM 与平面 ADC 所成角的正弦值 ???? ? ? 2 2 2 2 为 ,所以 | cos ? BM , n ?|? 3 ???? ? ??? ? 3 设 M ( x0 , y0 , z0 ) ,由 AM ? ? AC 得 ( x0 ? 2, y0 , z0 ) ? ?(?2, 2, 2),? M (2 ? 2?, 2?, 2?), ???? ? ? ???? ? ???? ? ? BM ? n ? ? | ? BM ? (2 ? 2?, 2? ? 2, 2?) ,? | cos ? BM , n ?|?| ???? | BM || n |
2 2(1 ? ? ) ? ? 1 ? 1 ? 4 1 5 解得 ? ? 或 ? ? , 2 6 所以 M 点位于 AC 的中点或位于靠近 C 的六等分点上 16.解(Ⅰ)过 P 作 PO⊥AB,垂足为 O,连结 OC. 设 AB=2,则 1 PA ? 1, AO ? , 2 1 在△AOC 中, AO ? , AC ? 2, ?BAC ? 60? , 2 13 由余弦定理得 OC ? . 2
2 2

?

| 2 ? 2? ? 2 ? 2? ? 4? |

?

2 2 ,整理得 12? 2 ?16? ? 5 ? 0 , 3

在△POC 中, PO ? 3 , OC ? 13 , PC ? 2 ,
2 2

则 PO ? OC ? PC , ∴PO⊥OC. 又 AB ? OC ? O ,∴PO⊥平面 ABC 又 PO ? 平面 APB, ∴平面 APB⊥平面 ABC.
2 2 2

z P

A

O

B C

y

x

(Ⅱ)以 O 为坐标原点,OB、OP 所在直线为 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直线坐标系,则
1 1 3 A(0, ? ,0), C ( 3, ,0), P(0,0, ) . 2 2 2 ???? ??? ? 1 3 ∴ AC ? ( 3,1,0), AP ? (0, , ), 2 2

设平面 APC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ), 则 ???? ? 3 x1 ? y1 ? 0, ? ? ?n ? AC ? 0, ∴ ?1 ? ? ??? 3 z1 ? 0, ? ? y1 ? ?n ? AP ? 0, ?2 2 令 x1 ? 1, 则 n ? (1, ? 3,1) . 而平面 APB 的一个法向量为 m ? (1, 0, 0), 设二面角 B-AP-C 的平面角为 ? ,易知 ? 为锐角, n?m 1 5 则 cos ? ? . ? ? n m 3 ?1?1 5 即二面角 B-AP-C 的余弦值为 17.

5 . 5

18.解:(1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB, ? AD ? 平面BAF
又 ? AD ? 面DAF ? 面DAF ? 面BAF

(2)分别以 AD,AB,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,

则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)

? DC ? (0, 2, 0), DE ? ( ? 1, 0, 1 ),
? ?n .DC ? 0 ? y ? 0 设n1 ? ( x, y, z )为平面CDEF的一个法向量,则? 1 ?? ?? x ? z ? 0 ? n . DE ? 0 ? 1 令x ? 1, 得z ? 1,即n1 ? (1,0,1)

由平面ABFE ? 平面ABCD知AF ? BC,在?AFB中AF ? 2,AB ? 2, BF ? 2 ? AF ? 面FBC

? n2 ? AF ? (0,1,1)为平面BCF的一个法向量,
? cos? n1 , n2 ? n1 .n2 n1 . n 2 ? 1 2

? 二面角B ? FC ? D的平面角为钝角, ? 二面角B ? FC ? D的大小为120 ? 19.解析:(1)在图 1 中, 可得 AC ? BC ? 2 2 , 从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 , 故 AC ? BC . 取 AC 中点 O 连结 DO , 则 DO ? AC , 又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD , 从而 OD ? 平面 ABC . ∴ OD ? BC ,又 AC ? BC , AC ? OD ? O . ∴ BC ? 平面 ACD . (2)建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,

???? ? 则 M (0, 2,0) , C (? 2,0,0) , D(0,0, 2) , CM ? ( 2, 2,0) , ??? ? CD ? ( 2,0, 2) . ?? ???? ? ?? ? ? y ? ?x ? n1 ? CM ? 0 ? ? 2x ? 2 y ? 0 设 n1 ? ( x, y, z) 为面 CDM 的法向量 , 则 ? ?? ??? 即? , 解得 ? . 令 ? ?z ? ?x ? ? ? 2x ? 2z ? 0 ? n1 ? CD ? 0 ?? x ? ?1 , 可得 n1 ? (?1,1,1) . ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? 又 n2 ? (0,1,0) 为面 ACD 的一个法向量,∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? . ? 3 | n1 || n2 | 3
∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为
3 . 3 (法二)如图,取 AC 的中点 N , DC 的中点 G ,连结 MN , NG, GM .

易知 MN / / BC ,又 BC ? 面ACD ,? MN ? 面ACD ,又 CD ? 面ACD ,? MN ? CD . 又 NG 为 ?ACD 的中位线 , 因 AD ? DC , ? NG ? DC , NG ? MN ? N , 且 NG, MN 都在面 MNG 内,故 CD ? 面MNG ,故 ?NGM 即为二面角 A ? CD ? M 的平面角. 在 Rt ?ADC 中,易知 AC ? 2 2 ; 在 Rt ?ABC 中,易知 BC ? 2 2 ,? MN ? 2 . 在 Rt ?MNG 中 NG ? 1, MN ? 2,? MG ? 3 . 故 cos ?NGM ?

NG 1 3 . ? ? MG 3 3

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 20.

3 . 3

21.解:(Ⅰ)取 BC 的中点为 O ,连结 AO 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中面 ABC ? 面 CB1 , ?ABC 为正三角形,所以 AO ? BC , 故 AO ? 平面 CB1 . 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,――――2 分 则 A(0,0, 3) , B1 (1, 2, 0) , D(?1,1, 0) , A1 (0, 2, 3) , B(1, 0, 0) . 所 以 ???? ???? ? ??? ? , DA AB1 ? ( ? 1 1 ? (1,1, 3) , DB ? (2, ?1,0) , ???? ???? ? ???? ??? ? 因为 AB1 ? DA1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 0, AB1 ? DB ? 2 ? 2 ? 0 , 所以 AB1 ? DA1 , AB1 ? DB ,又 DA1 ? DB ? D , 所以 AB1 ? 平面 A1BD . ―――― ???? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)由⑴得 D(?1, 2? , 0) ,所以 DA1 ? (1,2 ? 2?, 3) , DB ? (2, ?2?,0) , DA ? (1, ?2?, 3) , ?? ?? ? 设平面 A1BD 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,平面 AA1D 的法向量 n2 ? (s, t, u) , ?? ???? ? ?? ? ? ?2 ?n1 ? DA1 ? 0, ), 由 ? ?? ??? 得平面 A1BD 的一个法向量为 n1 ? (? ,1, ? 3 n ? DB ? 0, ? ? 1 ?? ? 同理可得平面 AA1D 的一个法向量 n2 ? ( 3,0, ?1) , ?? ?? ? ?? ?? ? 1 n1 ? n2 1 ? ? ,解得 ? ? ,为所求.――――12 分 由 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? 4 | n1 | ? | n2 | 2

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