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高三数学基础知识要点梳理复习课件43_图文

高三数学基础知识要点梳理复习课件43_图文

第3讲 一次函数、反比例函数及二次函数 考纲要求 1.会运用函数图象理解和研 究函数的性质. 2.结合二次函数的图象,了 解函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数. 考纲研读 一次函数、反比例函数及二次函数 是最简单、最基础的函数,尤其二 次函数是代数的基础,函数与方程、 三角函数、导数、数列、不等式等最 终都转化成二次函数或二次不等式解 决,因此在备考时要予以重视. 1.一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,在实数集 R 上是增函数. 当 k<0 时,在实数集 R 上是减函数. k 2.反比例函数y=—定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当k>0 x 时,在(-∞,0),(0,+∞)都是减函数,k<0 时,(-∞,0),(0, +∞)都是增函数. 3.二次函数的解析式有三种形式 (1)一般式:__________________________ . f(x)=ax2+bx+c(a≠0) f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (h,k). (2)顶点式:___________________________ ,顶点_______ f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)两根式____________________________ ,x ,x 为二次函 1 2 数图象与 x 轴两个交点的横坐标. 4.二次函数的图象及其性质 ? b ?2 4ac-b 2 f(x)=ax +bx+c=a?x+2a? + 4a ? ? 2 对于二次函数 . 2 ? b 4ac-b ? ? ? (1)当 a>0 时, f(x)的图象开口向上. 顶点坐标为?- , ?. 2 a 4 a ? ? b 对称轴为 x=-2a. ? ? ? b? b f(x)在?-∞,-2a?上减少,f(x)在?-2a,+∞?上增加. ? ? ? ? 4ac-b2 b 当 x=-2a时,函数取得最小值 4a . 2? ? 4 ac - b b ? (2)当 a<0 时, f(x)的图象开口向下. 顶点坐标为? - , ? 2a ?. 4 a ? ? b 对称轴为 x=-2a. ? ? ? b? b f(x)在?-∞,-2a?上增加,f(x)在?-2a,+∞?上减少. ? ? ? ? 4ac-b2 b 当 x=-2a时,函数取得最大值 4a . 1.若一次函数 y=kx+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则点(k, b)在直角坐标平面的( C ) A.上半平面 C.左半平面 7 2 B.下半平面 D.右半平面 2.函数 f(x)=2x2-6x+1 在区间[-1,1]上的最小值是( C) A.-9 B.- C.-3 D.-1 3.已知:函数 f(x)=x2+4(1-a)x+1 在[1,+∞)上是增函数, 3 a≤ 则 a 的取值范围是_______. 2 4.将抛物线 y=2(x+1)2-3 向右平移 1 个单位,再向上平移 y=2x2-1,其顶点坐标为________ (0,-1) 2 个单位,所得抛物线为__________ . b 5.函数 y=ax 和 y=x在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2 单调递增 +bx+c 在(-∞,0)上的单调性为_________ . 考点1 二次函数的值域 例1:根据函数单调性求下列函数的值域. (1)f(x)=x2+4x-1,x∈[-4,-3]; (2)f(x)=-2x2-x+4,x∈[-3,-1]; (3)f(x)=2x2-4x-1,x∈(-1,3); 1 x2-x-1,x∈[-4,0]. (4)f(x)=-— 2 解析:(1)f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5, 在区间[-4,-3]上单调递减,则 y∈[-4,-1]. (2)f(x)=-2x 2 ? 1?2 33 -x+4=-2?x+4? + 8 , ? ? f(x)在区间 x∈[-3,-1]上单调递增,则 y∈[-11,3]. (3)f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, x∈(-1,3),当 x=1 时,f(x)取最小值-3, 又 f(-1)=f(3)=5, 则 y∈[-3,5). 1 2 1 1 2 (4)f(x)=-2x -x-1=-2(x+1) -2, 1 x∈[-4,0],当 x=-1 时,f(x)取最大值-2. 又 f(-4)=-5,f(0)=-1, 则 ? 1? y∈?-5,-2?. ? ? 求二次函数在某个区间的最值,最容易出现的错 误就是直接代两头(将两端点代入),当然这样做,有时答案也对, 那是因为在该区间函数刚好单调,这纯属巧合.求二次函数在某 个区间的最值,应该配方,找到对称轴和顶点,结合图形求解. 【互动探究】 1.若函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值为3,最 小值为2,则m的取值范围是________ . [1,2] 解析:y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其 最小值为2的抛物线,又∵f(0)=3, 结合图象易得,2≥m≥1,∴m的取值范围是[1,2]. 考点2 含参数问题的讨论 a 1 例 2:已知函数 y=-sin x+asinx-4+2的最大值为 2,求 a 2 的值. 解析:令 t=sinx,则 t∈[-1,1]. ? a?2 1 2 ∴y=-?t-2? +4(a -a+2),对称轴为 ? ? a t=2, a (1)当-1≤2≤1,即-2≤a≤2 时, 1 2 ymax=4(a -a+2)=2,解得 a=-2 或 a=3(舍去). a (2)当2>1,即 a>2 时, ? a?2 1 2 ? 函数 y=- t-2? +4(a -a+2)在[-1,1]单调递增, ? ? 1 3 10 由 ymax=-2+4a=2,解得 a= 3 . a (3)当2<-1,即 a<-2 时, ? a?2 1 2 函数 y=-?t-2? +4

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