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新课标人教A版高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质_图文

新课标人教A版高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.2.2  椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质_图文

2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 如何将一个长、宽分别为10cm,8cm的矩形 纸板制作成一个最大的椭圆呢? 长方形 8cm 10cm 1.熟悉椭圆的几何性质(范围,对称性,顶点, 离心率).(重点) 2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.(重点) 3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质,进一步体会数形结合的思想.(难点) 探究点1 椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程是什么? A1 x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) F1 2 a b 2 x y2 1.范围: 由 2 ? 1, 2 ? 1,得: b a 2 2 y B2 b a F2 o c B1 A2 x -a≤x≤a, -b≤y≤b 故椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中. 2.椭圆的对称性: x 2 x -x y 换成 -y -x, 在方程中,把 x 方程不变,说明: 椭圆关于 y 轴对称; 椭圆关于 x 轴对称; 椭圆关于 (0,0)点对称; 坐标轴是椭圆的对称轴, y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b y Q(-x,y) o N(-x,-y) P(x,y) x M(x,-y) 原点是椭圆的对称中心,又叫做椭圆的中心. 想一想:椭圆的对称轴一定是x轴和y轴吗?对称中 心一定是原点吗? y F1 o F2 x 说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变. 3.顶点与长短轴: 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为: A1(-a,0),A2(a,0), A1 (-a, 0) x y (a >b >0 ) ? 2 =1 2 a b y B2(0,b) 2 2 B1(0,-b),B2(0,b). 回顾: 焦点坐标(±c,0) o B1(0,-b) A2 (a, 0) x 长轴:线段A1A2; 短轴:线段B1B2; 注意 长轴长 短轴长 焦 距 |A1A2|=2a. |B1B2|=2b. |F1F2|=2c. B2(0,b) y ①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长; A1 (-a, 0) F1 b a o c F 2 A2 (a, 0) x ②a2=b2+c2,|B2F2|=a; ③焦点必在长轴上. B1(0,-b) 4.离心率: c 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用e a c y 表示,即 e ? . 因为a>c>0, 所以0 < e <1. c 当 e ? ? 1, c ? a , a a ? c ? 0, 椭圆 ? 扁 c 当 e ? ? 0, c ? 0, a 2 2 a b b? O c ● x a b? a 2 ? c 2 ? a , 椭圆 ? 圆 当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重 合,图形变为圆. 离心率越大,椭圆越扁 离心率越小,椭圆越圆 【提升总结】焦点在y轴上的椭圆的几何性质又如何呢? B2 y A2 F2 B2 y 图 形 A1 F1 O B1 F2 A2 x B1 O F1 A1 x 方 程 范 围 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ?a ? b ? 0 ? y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b |x|? a |y|? b |x|? b |y|? a 对称性 焦 点 关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a) 顶 点 离心率 (?a,0)、(0,?b) c e= ( 0 < e < 1 ) a 例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标. 解:把已知方程化成标准方程 x2 y2 ? 2 ? 1, 2 5 4 于是 a ? 5 , b ? 4 , c ? 25 ? 16 ? 3 . 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10, 2b ? 8, 离心率 e? c 3 ? , a 5 两个焦点坐标分别为 F1 ? ?3,0 ? , F2 ? 3,0 ? , 四个顶点坐标分别为 A1 (?5,0), A 2 (5,0), B1 (0, ?4), B2 (0, 4). 【提升总结】 基本量:a,b,c,e(共四个量). 基本点:四个顶点、两个焦点(共六个点). 我们的新课讲到这里,前面提出的问题就可以 解决了! x 2 y2 ? ?1 25 16 y 4 3 2 1 O -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 x 8cm 10cm 1.(2013·上海高考)设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在? 上,且 ?CBA ? ? 4 .若 AB=4,BC= 2 ,则 ? 的两个焦 . 点之间的距离为 4 6 3 x2 y2 2.(2012·江西高考)椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 a b 左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若 5 F1 F2 , AF1 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为____. 5 3.求下列各椭圆的长轴长和短轴长,离心率,焦点 坐标,顶点坐标. x ? 4y ? 16. (1) (2) 9x 2 ? y 2 ? 81. x2 y2 【解析】 (1)已知方程化为标准方程为 + = 1, 2 2 故可得长轴长为8,短轴长为4,离心率为 3 , 焦点坐标为( ? 2 3 , 0) ,顶点坐标(〒4,0),(0,〒2). 2 2 为18,短轴长为6,离心率为 2 3 2 , 16 4 2 y x ? ? 1, 故可得长轴长 (2)已知方程化为标准方程为 81 9 焦点坐标为(0, ? 6 2),顶点坐标(0,〒9),(〒3,0). 1.(2014

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