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2019-学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章1.2 椭圆的简单性质(二) 教育精品.ppt_图文

2019-学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章1.2 椭圆的简单性质(二) 教育精品.ppt_图文

第三章

圆锥曲线与方程

1.2

椭圆的简单性质(二)

第三章

圆锥曲线与方程

学习导航
1.理解直线与椭圆的位置关系.(重点)

学习 2.掌握解决与椭圆有关的简单综合问题的方法.(难 目标 点) 1.用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系,

学法 将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题. 指导 2.体会转化思想、数形结合思想的应用.

1. 点与椭圆的位置关系 x2 y2 点 P(x0 , y0 )与椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)的位置关系: a b 2 x2 y 0 0 点 P 在椭圆上? 2+ 2= 1; a b 2 x2 y 0 0 点 P 在椭圆内部? 2+ 2<1; a b 2 2 x0 y0 点 P 在椭圆外部? 2 + 2 >1. a b

2. 直线与椭圆的位置关系 2 2 x y 直线 y= kx+m 与椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)的位置关系判断方法: a b ?y= kx+m,

? 2 2 联立?x y ? ?a2+b2= 1.

消 y 得一个一元二次方程

位置关系
相交 相切 相离

解的个数
两 _________ 解 一 ________ 解 无 解 _______

Δ的取值
> Δ_____0 Δ______0 = Δ______0 <

3. 弦长公式 x y 设直线方程为 y= kx+m(k≠ 0),椭圆方程为 2+ 2 = 1(a>b>0) a b 2 2 y x 或 2 + 2= 1(a>b>0), 直线与椭圆的两个交点为 A(x1,y1 ),B(x2, a b y2 ), 则 |AB|= ( x1- x2 )2+( y1- y2) 2, ∴ |AB|= ( x1- x2 ) +( kx1- kx2) = 1+ k · ( x1- x2 )
2 2 2 2 2 2

= 1+ k2· ( x1+ x2 )2- 4x1 x2 ,

或 |AB|= = =

2 1 1 ? y1- y2 ? +( y - y ) 2 1 2 ?k k ?

1 1+ 2 · ( y1- y2) 2 k 1 2 1+ 2 × ( y1+ y2) - 4y1 y2 . k

其中, x1+ x2, x1 x2 或 y1+ y2, y1 y2 的值,可通过由直线方程与 椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得 到.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在椭圆上的所有点中,长轴的端点到椭圆中心的距离最大, 短轴的端点到椭圆中心的距离最小(√ ) (2)在椭圆上的所有点中,长轴的端点到近焦点的距离最小,到 远焦点的距离最大( √ )

(3)在椭圆的焦点弦中,当弦与长轴垂直时,弦最短,长轴最长
(√ ) (4)设A是椭圆内一点,以A为中点的弦是唯一的( × )

x2 2.已知直线 l: x+ y- 1= 0,椭圆 + y2= 1,则直线与椭圆的 4 位置关系是 ( A ) A.相交 C.相离 B.相切 D.相切或相交

解析:法一:画出简图(图略 )易知选 A. x+ y- 1= 0 ? ?2 8 2 法二:由?x 消 y 得 5x - 8x= 0,∴ x= 0 或 x= ,故 2 5 ? ?4 +y =1 选 A.

x y 3.过椭圆 + = 1 的一个焦点 F 作垂直于长轴的椭圆的弦, 4 3 则此弦长为 ( B ) 3 A. 4 C. 2 3

2

2

B. 3 8 3 D. 3

x2 y2 解析:不妨设 F(1,0),P(1,y0)为一个交点,代入 + = 1 得 4 3 2 1 y0 3 + = 1, y0= ± . 4 3 2 ∴弦长为 3,选 B.

4.(2014· 天津市五区县高二检测 )已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 x2 y2 2 + 2 = 1( a>b>0) 的左焦点和上 顶点,则该椭圆的 离心率为 a b 2 ________ . 2 b 解析:由题意知 1= ,∴ b= c, c
2 2 c c 1 2 2 ∴ e = 2= 2 . 2= ,∴ e= a b +c 2 2

直线与椭圆的位置关系
k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
[解]
? ?y= kx+ 2, 2 2 由? 2 得 2 x + 3( kx + 2) = 6, 2 ?2x + 3y = 6, ?

即 (2+ 3k2 )x2+ 12kx+ 6= 0,

Δ = 144k2- 24(2+ 3k2 )= 72k2- 48. 6 6 当 Δ= 72k - 48>0,即 k> 或 k<- 时,直线和曲线有两个 3 3
2

公共点; 6 6 当 Δ= 72k - 48= 0,即 k= 或 k=- 时,直线和曲线有一 3 3
2

个公共点; 当 Δ= 72k2- 48<0,即- 6 6 <k< 时,直线和曲线没有公共点. 3 3

方法归纳 (1) 解析法:转化为判断方程组解的个数或消去 x( 或 y) 转化为 关于y(或x)的一元二次方程,利用判别式求解. (2)几何法:对于过定点的直线,若定点在椭圆上,直线与椭 圆有公共点 ( 相交或相切 ) ;若定点在椭圆内,直线与椭圆必 相交.

1.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.当直线和椭圆有公共
点时,求实数m的取值范围.
2 2 ? 4 x + y = 1, ? 解:由? 得 5x2+ 2mx+m 2- 1= 0. ? ?y= x+m,

∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ = 4m - 20(m - 1)≥ 0,解得-
2 2

5 5 ≤m≤ . 2 2

椭圆弦长问题
x y (2014· 汝阳高二检测 )椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)的离心率为 a b 3 ,椭圆与直线 x+ 2y+ 8= 0 相交于点 P, Q,且 |PQ|= 10, 2 求椭圆的方程.
2 2

[解]

设点 P,Q 的坐标分别为(x1, y1 ),(x2, y2 ).

c 3 3 由 e= = ,得 c= a. a 2 2 由 c = a - b ,得 a = 4b .
2 2 2 2 2

x y ? ? 2+ 2 = 1, 由?4b b 消去 x,

2

2

? ?x+ 2y+ 8= 0,
2

得 2y + 8y+ 16- b = 0. 由根与系数的关系,得 y1+ y2=- 4, 16- b y1 y2 = . 2 |PQ| = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) = 5(y1 - y2 ) = 5[(y1 + y2 ) - 4y1 y2]= 10,即 5[16- 2(16- b2)]= 10,解得 b2= 9,则 a2= 36. x2 y2 所以椭圆的方程为 + = 1. 36 9
2 2 2 2 2 2

2

方法归纳 (1)求交点坐标,再用两点距离公式.

(2)利用弦长公式.结合根与系数的关系整体代入.

x2 2. 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 + y2= 1 的右焦点,交椭圆于 4 8

5 A、 B 两点,则 |AB|= ________ .
解析:∵ a2= 4, b2= 1,∴ c= a2 - b2 = 3, ∴右焦点 F( 3, 0),∴直线 l 方程 y= x- 3. y= x- 3, ? ? 2 由?x2 消去 y 并整理,得 5 x - 8 3x+ 8= 0. 2 ? ? 4 + y = 1,

设直线 l 与椭圆的交点 A(x1, y1), B(x2, y2 ), 8 3 8 则 x1+ x2= , x1 x2 = , 5 5 ∴ |AB|= ( x1- x2 ) +( y1- y2)
2 2 2 2

= ( x1- x2 ) +( x1- 3- x2+ 3)

= 2( x1- x2 )2= 2[( x1+ x2) 2- 4x1 x2 ] = 8 3 2 8 8 8 2[( ) - 4× ]= ,即弦 AB 的长为 . 5 5 5 5

椭圆中的对称与中点弦问题
x2 y2 已知椭圆 + = 1,试确定 m 的取值范围,使得对于 4 3 直线 y= 4x+m,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
[解] 法一:设椭圆 C 上关于直线 l 对称的两点为 P (x1, y1 ), 1 Q(x2, y2 ),其所在直线方程为 y=- x+ b,代入椭圆方程,得 4 13x2 - 8bx+ 16b2 - 48= 0. ∵ x1≠ x2 ,∴Δ =- 192(4b2- 13)>0, 13 13 解得- <b< .① 2 2

x1 + x2 4b y1 + y2 1 x1 + x2 12 又 = , =- · + b= b, 2 13 2 4 2 13

?x1 + x2 ,y1 + y2? 而点? 又在直线 y= 4x+m 上, ? 2 2
y1 + y2 x1 + x2 4b ∴m= - 4· =- .② 2 2 13 2 13 2 13 把①代入②,得 m 的取值范围是- <m < , 13 13 2 13 2 13 ? ? 即 m∈ - ? 13 , 13 ? .

法二:设 P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2 )为椭圆上关于直线 y= 4x+m 的 对称两点, P(x, y)为弦 P1 P 2 的中点,则 3x1 + 4y1 = 12, 3x2+ 4y 2= 12,
2 2 2 两式相减得, 3(x2 - x ) + 4( y - y 1 2 1 2 ) = 0, 2 2 2 2

即 3(x1+ x2)(x1- x2 )+ 4(y1+ y2)(y1- y2)= 0. y1 - y2 1 ∵ x1+ x2 = 2x, y1 + y2= 2y, =- , x1 - x2 4 ∴ y= 3x,这就是弦 P1 P 2 中点 P 的轨迹方程.

它与直线 y= 4x+m 的交点必须在椭圆内,
? ? ?x=-m, ?y= 3x, 联立? 解得? ?y=- 3m, ? ? ?y= 4x+m,

3 2 则必须满足: y <3- x , 4
2

3 2 13 2 13 即 (3m)2 <3- m 2,解得- <m < . 4 13 13

方法归纳 轴对称问题:一是把对称点所在直线代入椭圆方程,再利用判 别式和根与系数的关系求解. 二是弦中点问题的常用方法 ——“点差法”. 三是求点 P (x1, y1 )关于直线 y= kx+ b 的对称点 P′(x0, y0 ).可

? 用解方程组法,即? y +y x +x ? 2 = k· 2 + b.
y0 - y1 1 =- , k x0 - x1
0 1 0 1

数学思想

函数思想在椭圆最值(或范围) 问题 中的应用

4 中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆上有 M(1, 2), 3 3 N(- 2, 2)两点. 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)在椭圆上是否存在点 P (x, y)到定点 A(a, 0)(其中 0<a<3)的 距离的最小值为 1?若存在,求 P 点的坐标;若不存在,请说 明理由.

[解]

(1)设椭圆的方程为

mx2+ny2= 1(m >0, n>0,m≠ n). 32 1 m+ n = 1 m= , 9 9 ∵椭圆过 M, N 两点,∴ ? 9 1 m+ 2n= 1 n= , 2 4

? ? ?

? ? ?

x y ∴椭圆方程为 + = 1. 9 4

2

2

(2)假设存在点 P(x, y)满足题设条件, ∴ |AP | = (x- a) + y . 2 2 2 x y x 又∵ + = 1,∴ y2= 4(1- ), 9 4 9 2 x 2 2 ∴ |AP | = (x- a) + 4(1- ) 9 5 9 2 4 2 = (x- a) + 4- a . 9 5 5 9 ∵ |x|≤ 3, 0<a<3,若 a≤ 3, 5 5 4 2 2 即当 0<a≤ 时, |AP | 的最小值为 4- a . 3 5
2 2 2

4 2 15 5 由题意得 4- a = 1? a= ± ? (0, ]; 5 2 3 9 5 若 a>3,即 <a<3,当 x= 3 时,|AP|2 取得最小值为 (3- a)2,依 5 3 题意 (3- a)2= 1,解得 a= 4 或 a= 2, 5 5 ∵ 4? ( , 3), 2∈( , 3),∴ a= 2. 3 3 此时 P 点的坐标是 (3, 0), 故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点坐标为 (3, 0).

[感悟提高 ] 思路:

椭圆的最值、范围问题密切相关,有两种基本

(1)通过分析几何性质或特征,数形结合解决; (2) 化为函数求最值 (值域 ) 或解不等式问题加以解决,但都必 须注意椭圆变量的范围.

规范解答

椭圆中的定值问题

(本题满分 12 分 )(2014· 天津市五区县高二检测 )已知椭 x2 y2 圆 C 的方程为 2+ 2 = 1(a>b>0),其右顶点 A(2, 0),离心率 e a b = 3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l: y= kx+m(k≠ 0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N → → (M, N 不与左、右顶点重合 ),且MA ·NA= 0.求证:直线 l 过 定点,并求出定点的坐标.

[解]

? ? c 3 (1)由题意可知:?e= = , 2 分 a 2 ? ?a = b + c ,
a= 2,
2 2 2

解得: a= 2, b= 1, c= 3. 2 x 2 所以椭圆的方程为: + y = 1.① 4 分 4 2 x ? ? + y2= 1 2 2 2 (2)证明: 由方程组? 4 得 (1+ 4k )x + 8kmx+ 4m - 4= 0,

? ? y= kx+m
2 2

5分 Δ = (8km) - 4(1+ 4k )(4m - 4)>0, 整理得 4k -m + 1>0.②6 分
2 2 2

设 M(x1, y1 ), N(x2 , y2 ), 8km 4m 2- 4 则 x1+ x2=- 2, x1 x2= 2 ,7 分 1+ 4k 1+ 4k y1 y2 =(kx1+m )(kx2+m )= k2 x1 x2+ km(x1+ x2 )+m2, 由已知, AM⊥ AN 且椭圆的右顶点为 A(2, 0), ∴ (x1- 2)(x2 - 2)+ y1 y2= 0, 8 分 即 (1+ k2 )x1 x2 +(km- 2)(x1+ x2 )+m2+ 4= 0,
2 4 m -4 - 8km 2 2 2 也即 (1+ k )· + ( km - 2)· + m + 4 = 0 , 整理得: 5 m 1+ 4k2 1+ 4k2

+ 16mk+ 12k2= 0, 10 分

6k 2 2 解得 m=- 2k 或 m=- 均满足 4k -m + 1>0.③ 5 当 m=- 2k 时,直线 l 的方程为 y= kx- 2k,过定点 (2,0)与题 意矛盾舍去; 11 分 6k 6 6 当 m=- 时,直线 l 的方程为 y= k(x- ),过定点 ( ,0).④ 5 5 5 6 故直线 l 过定点,且定点的坐标为( , 0).12 分 5

[规范与警示]

①待定系数法求椭圆方程.

②联立方程组,利用判别式、根与系数的关系求得 x1 + x2 , x1x2,y1y2的表达式代入垂直条件,求解新的方程. ③检验判别式易忽略是失分点; ④检验题意要求易丢掉造成失分.


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