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2013版高中数学全程学习方略配套课件:3.2.1几类不同增长的函数模型(人教A版必修1)

2013版高中数学全程学习方略配套课件:3.2.1几类不同增长的函数模型(人教A版必修1)


3.2.1 几类不同增长的函数模型

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1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模 型的性质的比较.

3.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并能体会其增长的
快慢以及应用.

1.本课重点是几类不同函数模型增长的含义及差异. 2.本课难点是怎样选择数学模型分析解决实际问题.

1.三种函数模型的性质

(1)指数函数
y=ax(a>1) ; ①解析式:___________ 增函数 ; ②单调性:在(0,+∞)上的增减性:_______ y 轴平行. ③图象的变化:随x增大逐渐与___

(2)对数函数 y=logax(a>1) ; ①解析式:______________ 增函数 ; ②单调性:在(0,+∞)上的增减性:________ x 轴平行. ③图象的变化:随x增大逐渐与___

(3)幂函数

y=xn(n>0) ; ①解析式:___________
增函数 ; ②单调性:在(0,+∞)上的增减性:_______ n 值不同而不同. ③图象的变化:随___

2.三种函数的增长速度的比较

函数y=ax(a>1)、y=logax(a>1)、y=xn(n>0)在区间(0,+∞)
上: 增 函数; (1)单调性:____ 越来越 (2)增长速度:y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度_______ 快 ,会远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增 ___

越来越慢 ; 长速度_________
ax>xn>logax (3)存在一个x0,当x>x0时,有___________.

1.函数y=x2与y=2x在(4,+∞)上哪一个增长得更快些?

提示:由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.
y y=x2 16

12
8 4 2 O 2 4 8 y=2x

x

2.在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有logax<xn<

ax成立?
提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,

logax<xn<ax成立.

3.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是___

__________________.
【解析】由各函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.

答案:y=3x

1.三类函数模型的增长差异

(1)对于幂函数y=xn,当x>0,n>0时,y=xn才是增函数,当n
越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又它们的图象关 于y=x对称,从而可知,当a 越大,y=ax增长越快;当a越小, y=logax增长越快,一般来说,ax>logax(x>0,a>1).

(3)指数函数与幂函数,当x>0,n>0,a>1时,可能开始时有 xn>ax,但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定 值x0后,就一定有ax>xn. 2.三种函数模型的表达形式及其增长特点

(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,
a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量 x的增大,

函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.

(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为 常数,m>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶

段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化的越来越
慢,常称之为“蜗牛式增长”.

(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα +b(a,b,α 为常数,
a≠0,α ≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α 的取值确 定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

函数模型的增长差异
【技法点拨】 函数模型增长差异问题的处理技巧 (1)处理的关键是确定变量间的关系,不能仅仅根据自变量较 大时对应的函数值比较,还要看函数值的变化趋势. (2)对数函数模型适合描述先快后慢,增长速度比较平缓的变 化规律,指数函数模型适合描述先慢后快,增长速度急剧上升

的变化规律,依据其规律可帮助快速的选择函数模型.

【典例训练】
1.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则 四年后的价格与原来的价格相比,变化的情况是( (A)增长了7.84% (B)减少了7.84% (C)减少了9.5% (D)不增不减 )

2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在[0,+∞)上的增长
情况.

【解析】1.选B.设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+ 0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a, 所以a-0.921 6a=0.078 4a=7.84%a ,

故变化的情况是减少了7.84%.
2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象 (如图),从图象

上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)的
图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足 0.5e x -2
0

=x02-1,当x>x0时,ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2.

y= 0.5e x -2 y

y= x2-1

y= ln(x+1)
O x

【思考】处理函数模型增长差异问题的关键是什么?

提示:处理函数模型增长差异问题的关键是确定变量间的关系 .

图象信息迁移题

【技法点拨】
图象信息题的解答策略 (1)明确横轴、纵轴的意义,分析题中的具体含义. (2)从图象形状上判定函数模型. (3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、 最低点(最小值点)及折线的拐角点等. (4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.

【典例训练】
1.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相

交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线
右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则 y=f(x)的图象大致为四个选项中的( )

2.如图所示,折线是某电信局规定打长

途电话所需要付的电话费y(元)与通话
时间t(分钟)之间的函数关系图象,根 据图象填空: (1)通话2分钟,需付电话费_____元; (2)通话5分钟,需付电话费_____元; (3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系式为_______.

【解析】1.选C.设AB=a,则y= 1 a 2- 1 x 2=- 1 x 2+ 1 a 2,其图象
2 2 2 2

为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.故选C. 2.(1)由图象可知,当t≤3时,电话费都是3.6元. (2)由图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元.

(3)当t≥3时,y关于t的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和
(5,6)两点,故设函数关系式为y=kt+b,

则 ?

?3k ? b ? 3.6, ?5k ? b ? 6,

解得 ?

?k ? 1.2, ?b ? 0.

故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 y=1.2t(t≥3). 答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)

【思考】解决本题1,2的关键是什么?

提示:(1)解决本题1的关键是根据条件建立面积y关于x的关系
式;

(2)解决本题2的关键是读懂题目所给函数图象,借助图象处理
问题.

两种方案的选择 【技法点拨】 “四步走”解函数应用题 第一步:阅读、理解题意,认真审题. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景 中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联

想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.

第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据 已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识 建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的 数学化,即所谓建立数学模型.

第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)解
答,求得结果.

第四步:再转译成具体问题作出解答.

【典例训练】 1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整 后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函

数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用
( (A)一次函数 (C)指数型函数 (B)二次函数 (D)对数型函数 )

2.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为 25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水 排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准

备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方
米污水所用原料费2 元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;

方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米
污水需付14元的排污费.问:

(1)工厂每月生产3 000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,

又节约资金的前提下应选择哪种方案? 通过计算加以说明;
(2)若工厂每月生产6 000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢? 【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次 函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数型函数是“爆炸式” 增长,不符合“增长越来越慢”,因此,只有对数型函数最符 合题意,先快速增长,后来越来越慢.

2.解题流程.
设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利 润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知 y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000, y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (2)当x=6 000时, (1)当x=3 000时, y1=42 000, y2=54 000, y1=114 000, y2=108 000, ∵y1>y2 ∵y1<y2 应选择方案 二处理污水

构造函数

求值判断

下结论

应选择方案 一处理污水

【想一想】(1)解决题1的关键点是什么? (2)解决题2时的方法是什么? 提示:(1)解决题1的关键点是了解到此函数增长的情况初期增 长迅速,后来越来越慢.

(2)解决题2时的方法是先把每种方案都列出来,然后进行比较,
最后作出选择.

【规范解答】巧用函数图象比较大小
【典例】(12分)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下 作出它们的图象,结合图象比较f(8),g(8),f(2 012),g(2 012)的大小. 【解题指导】

【规范解答】列表

x

?

-1
1 2

0

1

2

3

?

f(x)
g(x)

?
?

1
0

2
1

4
8

8
27

?
?

-1

???????????????????????? 2分

描点、连线,得如图所示图象:

?????????? 4分

则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3
对应的图象为C1①. ?????????????????????? 6分

≧g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, ?f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), ?1<x1<2,9<x2<10,?x1<8<x2<2 012②.

?????????????????? 8分

从图象上知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x);

当x>x2时,f(x)>g(x), ???????????? 10分
且g(x)在(0,+≦)上是增函数,

?f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)③. ?????? 12分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示及解
题启示总结如下:(注:此处的①②③见规范解答过程)

在解答过程中若在①处把函数的对应图象找错,直接 ① 影响后面的函数值大小的判断,在考试中最多给 2分, 是考试中常出现的失分点.
失 分 警 示 在解答过程中,虽①处解答正确,但却没能由特殊值 的函数值的大小,总结出两函数图象交点 x1,x2的范 围,即②处的 ② 1<x1<2,9<x2<10,?x1<8<x2<2 012,则此种情 况会导致后面的函数值的大小比较失误,在考试中最 多给6~8分.

失 在解答过程中若漏掉③处,虽然①②处正确,但本题 分 ③ 没有给出结论性的答案,属于解题步骤不完整,在考 警 试中最多得10分. 示 (1)要熟记基本函数图象的特点,并把握好指数函数、对 解 题 启 示 数函数、幂函数图象的增长特点. (2) 结合图象分析图中曲线的特点与区别,联想对应的函 数解析式. (3)解答题目要步骤完整,需要下总结性结论的,最后一 定要点明,规范步骤.

【规范训练】(12分)已知0<x<20,利用图象说明

x

1 2

和log2x

的大小关系.

【规范答题】作出f(x)= y 4 2

x

1 2

和g(x)=log2x的图象,如图所示:

f(x)= x

1 2

g(x)=log2x 5

O

10

15

20

x

??????????????????????? 4分

由图象可知:在(0,4)内, x >log2x;
1 2

1 2

?????? 6分

x=4或x=16时, x =log2x;???????????? 8分
在(4,16)内 x <log2x;
1 2 1 2

???????????? 10分

在(16,20)内 x >log2x. ???????????? 12分

1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是(

)

(A)y=32x
(C)y=x32

(B)y=log32x
(D)y=32x

【解析】选D.由几类不同增长的函数特性可知,y=32x呈指数
“爆炸式”增长,速度最快.

2.某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比上一年多造林

20%,则第四年造林(
(A)14 400亩

)
(B)172 800亩

(C)17 280亩

(D)20 736亩

【解析】选C.10 000×(1+20%)3=17 280.

3.某商品降价20%,由于原材料上涨,欲恢复原价,问需提价 ( (A)10% (C)20% (B)15% (D)25% )

【解析】选D.设该商品原价为a,需提价x,依题意得

a(1-0.2)(1+x)=a,
? 4 + 4 x =1,
5 5 1 得x= =25%,故选D. 4

4.某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图所示, 则有:

①前3年年产量增长速度越来越快; ②前3年年产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产; ④第3年后,这种产品年产量保持不变.

以上说法中正确的是_________.
【解析】观察图中单位时间内产品年产量y变化量快慢可知①

④正确.
答案:①④

5.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,此种溶液的杂质含量

不能超过0.1%.若初始杂质含量为2%,每过滤一次可使杂质含
量减少
1 ,则至少应该过滤多少次才能达到市场要求(参考数 3

据:lg2≈0.301,lg3≈0.477 1)?

【解析】过滤n次后杂质含量y≈2%(1令2%(11 n ) ≤ 0.1%, 3

1 n ) , 3

两边取常用对数,
1 整理得n≥ 20 ? ?lg2 ? 1 ? ?1.301 ≈7.4, 2 lg2 ? lg3 ?0.176 1 lg 3 lg

所以至少经过8次过滤才能使产品达到市场要求.


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