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中南大学线性代数之逆矩阵

中南大学线性代数之逆矩阵


第二章

第三节 逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的求法 三、小结

定义
使得

对于 n 阶方阵 A,若存在一个 n 阶方阵 B

AB ? BA ? E ,

则称矩阵A是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.

A的逆矩阵记作 A?1 .


? 1 ? 1? ? 1 2 1 2? ?, B ? ? ?, 设 A?? ?1 1 ? ? ? 1 2 1 2?

? AB ? BA ? E ,

? B是A的一个逆矩阵 .

说明 若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵,则有
AB ? BA ? E , AC ? CA ? E ,

可得 B ? EB ? ?CA?B ? C ? AB ? ? CE ? C .

所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
B ? C ? A ?1 .

定理1

方阵 A 可逆的充要条件是 A ? 0 ,且 1 ? ?1 A ? A, A

? A11 ? ? A12 ? A ?? ? ? ?A ? 1n

A21 A22 ? A2 n

? An1 ? ? ? An 2 ? 称为矩阵 A ? ? ? 的伴随矩阵 ? ? Ann ? ?

其中Aij表示矩阵 A ? (aij )中元素aij的代数余子式 .

证明 若 A 可逆, 即有A?1使AA ?1 ? E .

故A? A

?1

? E ? 1, 所以 A ? 0.

当 A ? 0时,

? a11 a12 ? a1n ? ? A11 A21 ? An1 ? ? ?? ? a a22 ? a2 n ? ? A12 A22 ? An 2 ? ? ? 21 AA ? ? a A ? a A ? ? ?? a A? 11 ? 12 ? 12 ? ? 1n A 1n ? ? ? 11 ? ? ? ? ?a a ? a ? ?? ?A A ? A ? ? ? ? ?? 2 a A nn ? 1n nn ? a n1A n? ? a 2 nA ? A
n1 n1 n2 n2 nn nn

? A ? ? ?? ? ? ?

A

?A

? ? ? ?? ? A? ?

AE

? ? A A AA? ? A? A ? A E ? A ? A ? E , A A

按逆矩阵的定义得

A A ? . A
?1

?

证毕

当 A ? 0时, 方阵A称为奇异矩阵;
当 A ? 0时, 方阵A称为非奇异矩阵 .

方阵A可逆的充要条件是 A为非奇异矩阵 .

推论 若AB ? E ?或BA ? E ?, 则B ? A?1 . 证明
A ? B ? E ? 1,

故 A ? 0,

因而A?1存在, 于是
B ? EB ? ?A?1 A?B ? A?1 ? AB?
?1 ? A . ?A E

?1

证毕

说明:若要证B ? A?1,

即要证AB ? E.

逆矩阵的运算性质:

?1? 若A可逆, 则A 亦可逆, 且?A
?1

?1 ?1

?

? A.
?1

?2? 若A可逆, 数? ? 0, 则?A可逆, 且 ??A? ? A?1 .
?3? 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
?

1

? AB?
证明

?1

?B A

?1

?1

? AB??B?1 A?1 ? ? A?BB?1 ?A?1
? ? AB ? ? B ?1 A?1 .
?1

? AEA ?1 ? AA?1 ? E ,

推广

?1 ?1 ?1 ?A1 A2 ?Am??1 ? Am ? A2 A1 .

?4? 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 ?A
T

T ?1

? ? ?A ? .
?1 T

证明 ? A ?A
T

? ? ? ? ?A ? ? ?A ? .
?1 T ?1 T ?1 ?1 T

T ? E ? E, ? A A

T

另外, 当 A ? 0时, 定义 A ? E,
0

A

?k

? ?A

?1 k

? . ?k为正整数?
? A?? .

当 A ? 0, ? , ?为整数时, 有 A A ?A
? ? ? ??
?1

,

?A ?
?1

? ?

? 5? 若A可逆, 则有 A
证明

1 ? A

? AA ?1 ? E ? A A

? 1 因此 A

?1

1 ? A

? A1 ? ?6?设 A ? ? ? ? ? ?

A2

? ? ? , ? ? ? As ? ?
, s ? , 则 A ? A1 A2 As ? 0, 并有
0 ? ? 0 ? . ? ? ? ? ? As Bs ? ? ? ?

若 Ai ? 0 ? i ? 1, 2,
? A1 0 ? ? 0 A2 ? ? ?0 0

0 ?? B1 0 ?? 0 ?? 0 B2 ?? ?? As ?? 0 0

0? 0 ? A1 B1 ? ? 0? ? 0 A2 B2 ?? ? ? ? ? ? ? 0 Bs ? 0 ?

? A1?1 ? ? ? ?1 A2 ? ?1 ? A ?? . ? ? ? ? ? ? ?1 A ? s ?

例1

? 2 1? ? , 求A的逆阵. 设 A?? ? ? 1 0?

?a b? ? 是 A 的逆矩阵, 解 利用待定系数法 设 B?? ?c d? 则 ? 2 1 ?? a b ? ? 1 0 ?
? AB ? ? ?? ? ?? ? ? 1 0 ?? c d ? ? 0 1 ?

? 2a ? c 2b ? d ? ? 1 0 ? ?? ??? ? ? b ? ? 0 1? ? ?a
? 2a ? c ? 1, ? a ? 0, ? 2b ? d ? 0, ?b ? ?1, ? ? ?? ?? ? ? a ? 0, ? c ? 1, ? ? ? b ? 1, ? ? d ? 2.
? 0 ?1 ? ? A ?? ?. ?1 2 ?
?1

例2

? 1 2 3? ? ? 求方阵 A ? ? 2 2 1 ? 的逆矩阵. ? 3 4 3? ? ?
?1 ? A 存在. A ? 2 2 1 ? 2? 0,

1 2 3



3 4 3

A11 ?

2 1 4 3

? 2,

A12 ? ?

2 1 3 3

? ?3,

同理可得

A13 ? 2, A21 ? 6, A22 ? ?6, A23 ? 2,

A31 ? ?4, A32 ? 5, A33 ? ?2,




6 ? 4? ? 2 ? ? ? A ? ? ? 3 ? 6 5 ?, ? 2 ? 2 ? 2 ? ?

3 ? 2? 6 ? 4? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 1 A?1 ? A? ? ? ? 3 ? 6 5 ? ? ? ? 3 2 ? 3 5 2 ? . A 2? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2? ? ? 2

A, B是否可逆? 例3 下列矩阵
? 1 2 3? ? ? A ? ? 2 1 2 ?, ? 1 3 3? ? ?


? 2 3 ?1 ? ? ? B ? ??1 3 5 ?. ? 1 5 ? 11? ? ?

1 2 3 1 3 3 2 1 3

1 0

2 1 ?1

3 0

A ? 2 1 2 ? 0 ?3 ?4 ?

?3 ?4 1 0

? 4 ? 0,

所以A可逆 . 故B不可逆 .

由于 B ? ? 1 3

5 ? 0,

5 ? 11

例4

? 1 2 3? ? 1 3? ? ? ? ? ? 2 1? 设 A ? ? 2 2 1 ?, B ? ? ?, C ? ? 2 0 ?, ? 5 3? ? 3 4 3? ? 3 1? ? ? ? ? 1 2 3 3 4 3

求矩阵X使满足 AXB ? C .
解 ? A ? 2 2 1 ? 2 ? 0,

B?

2 1 5 3

? 1 ? 0,

? A?1 , B?1都存在. 3 ? 2? ? 1 ? ? ?1 且 A ? ? ? 3 2 ? 3 5 2 ?, ? 1 ? 1 ? 1 ? ?

? 3 ? 1? B ?? ?, ?? 5 2 ?
?1

又由 AXB ? C ? A?1 AXBB ?1 ? A?1CB ?1 E ? X ? A?1CB ?1 .
于是
X ? A?1CB ?1

3 ? 2 ?? 1 3 ? ? 1 ? ?? ?? 3 ? 1 ? ? ? ? 3 2 ? 3 5 2 ?? 2 0 ?? ? ?? 5 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ?? 3 1 ? ? 1 ? ?1 1 ? ? ?2 ? ?? 3 ? 1 ? ? ? ? ? 0 ? 2 ?? ? ? ? 10 ? 4 ? . ? 0 2 ?? ? 5 2 ? ? ? 10 4 ? ? ? ? ?

例5

设方阵A满足方程A2 ? A ? 2 E ? 0, 证明 :

A, A ? 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .

证明

由A2 ? A ? 2 E ? 0,
得A? A ? E ? ? 2 E

A

?1

A? E ?A ?E 2

A? E ? A ? 1 ? A ? 0, 2
故 A可逆 .

1 ? A ? ? A ? E ?. 2
?1

又由A ? A ? 2 E ? 0
2

? ? A ? 2 E ?? A ? 3 E ? ? 4 E ? 0
1 ? ? ? ? ? ? ? A ? 2 E ?? A ? 3 E ? ? E ? 4 ?

1 ? A ? 2 E ? ? A ? 3 E ? ? 1, 故A ? 2 E可逆 . 4 1 3E ? A ?1 且 ? A ? 2E ? ? ? ? A ? 3E ? ? . 4 4

? A ? 2E ?

?1

? B D? 例6 设 A ? ? ? , 其中B和C都是可逆方阵, ? 0 C? 证明A可逆, 并求A?1 .


?1

由B , C可逆, 有 A ? B C ? 0, 得A可逆.

?X 设 A ?? ?W

Z? ? B D ?? X ?, 则 ? ?? Y? ? 0 C ?? W

Z? ?E ??? Y? ?0

0? ?. E?

? X ? B ?1 , ? BX ? DW ? E , ? ? BZ ? DY ? O , ?1 ? ? Y ?C , ?? ?? ?1 ?1 CW ? O , Z ? ? B DC , ? ? ? ? CY ? E . W ? O. ? ?
因此
?1 ? B A ?1 ? ? ? O ?

? B ?1 DC ?1 ? ? . ? ?1 C ?

利用初等变换求逆矩阵:
初等变换对应初等矩阵.

变换 ri ? rj 的逆变换是其本身, 则 E ( i , j ) ?1 ? E ( i , j ) ;
1 变换 ri ? k 的逆变换为 ri ? , k 1 ?1 则 E ( i ( k )) ? E ( i ( )); k

变换 ri ? krj 的逆变换为 ri ? ( ? k )rj, 则 E ( ij ( k ))?1 ? E ( ij ( ? k )) .

显然初等变换不改变矩 阵的可逆性,

m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
? Er I ?? ?O
非零行的行数.
因此, 对于n阶可逆方阵A,它的标准形I 也可逆,

O? ? O ? m? n

此标准形由 m, n, r 三个数唯一确定,其中 r 就是阶梯形矩阵中

故I是n阶单位矩阵En;
反之若n阶方阵A的标准形I ? En,则A可逆.

定理:n阶方阵A可逆的充要条件是A的标准形为En

即A ~ En

定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵 P1 , P2 , , Pl , 使得A ? P1 P2 Pl . 证 必要性 ? A ~ E ,

故 E 经有限次初等变换可变为 A,
即存在有限个初等方阵P1 , P2 ,?, Pl , 使
P1 P2 ? Pr EPr ?1 ? Pl ? A


A ? P1 P2 ? Pl .

充分性 显然成立

推论 m ? n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ ? B.

利用初等变换求逆矩阵的方法:

当 A ? 0时,由 A ? P1 P2 ? Pl,有

Pl P ? P A ? E , 及
?
1 ?1 Pl ?1 Pl ? ? P ?1 1 ?A E?

?1

?1 l ?1

?1 1

1 ?1 ?1 Pl ?1 Pl ? ? P E ? A , ?1 1

1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ?Pl?1 Pl? ? P A P P ? P ?1 1 l l ?1 1 E?

? ?E

A

?1

?

即对 n ? 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 E 时,原来的 E 就变成 A?1 .

?1 ? 例1 设 A ? ? 2 ?3 ? ?1 ? 解 ?A E? ? ? 2 ?3 ?
?? ?

2 3? ? ?1 2 1 ?, 求 A . 4 3? ? 2 3 1 0 0? ? 2 1 0 1 0? 4 3 0 0 1? ?

3 ? 2? ?1 0 0 1 ? 3 5 ? ?3 ?0 1 0 ? ? 2 2 ? ? 1 ? 1? ?0 0 1 1

利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可用于求解 矩阵方程AX ? B ??? ? X ? A?1 B
A可逆

A?1 ( A B) ? ( E A?1 B)


( A B)
初等行变换

E A ?1 B
即对 矩阵 ( A B) 施行初等行变换, 当把 A 变成 E 时,原来的 B 就变成 A?1 B.

例2 求矩阵 X , 使 ?1 2 ? A ? ?2 2 ?3 4 ? 解

AX ? B,其中 3? ? 2 5? ? ? ? 1 ?, B ? ? 3 1 ?. ? 4 3? 3? ? ? ?

由 A 可逆,则 X ? A?1 B
? 1 2 3 2 5? ? ? ( A B) ? ? 2 2 1 3 1 ? ? 3 4 3 4 3? ? ?

3 2 5 ? 5 ? ?1 2 ?1 2 3 2 ? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9? ? ? 0 ?2 ?5 ?1 ?9 ? ? ? ? 0 0 ?1 ?1 ? 3? ? 0 ?2 ?6 ?2 ?12 ? ? ? ? ?
0 ?1 ? 4 ? ?1 0 0 3 2 ? ?1 2 ? ? ? ? ? ?0 ? 2 0 4 6 ? ? ? 0 ?2 0 4 6 ? ? 0 0 ?1 ?1 ? 3 ? ? 0 0 ?1 ?1 ?3 ? ? ? ? ?

?1 0 0 3 2 ? ? ? ? ? 0 1 0 ?2 ?3 ? ?0 0 1 1 3 ? ? ?

?

2 ? ? 3 ? ? X ? ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 ? 3 ? ?

? A? 若要求YA ? C , 则可对矩阵 ? ? 作初等列变换: ?C ? ? A ? ?1 ? E ? ? ? A ? ? ?1 ? ? C? ? CA ?

? A ? 初等列变换 ? ? ? ???? ? C?

? E ? ?1 即可得 Y ? CA . , ? ?1 ? ? CA ?
ATY T ? C T

也可改为对 ( AT , C T ) 作初等行变换:

由YA ? C作转置运算得

(A , C )

T

T

初等行变换 ???? ?

( E, Y

T

)

即可求得 Y ? ? Y

T

?

T

.

例3

?2 ? ?0 已知 n 阶方阵 A ? ? 0 ? ? ?0 ?

2 2 1 1 0 1 0 0
n

2? ? 1? 1?, ? ? 1? ?
i , j ?1

求 A 中所有元素的代数余子式之和
解: ? A ? 2 ? 0,

?A.
ij

? A 可逆. 且 A ? A A .
*

?1

?2 ? ?0 ?A E? ? ? 0 ? ?? ?0 ?

2 2 ? 2 1 0 0 ? 0? ? 1 1 ? 1 0 1 0 ? 0? 0 1 ? 1 0 0 1 ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 ? 1 0 0 0 ? 1? ?
0 1 ? 0 0 1 0 ? 0 ?1 2 0 ? 0 0 1 ? ? ? ? ? 1 0 0 0 ? 0 1 0 0 ? 0? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ? 0 1 ? ? 0 ?

?

? ?1 ? ?0 ?? ? ?0 ?0 ?

?1 ?1 ? ?2 0 1 ? ? A ?1 ? ? ? ? ? ?0 0 ?0 0 ?

? 0 ? 0? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ?, ? ? 1 ? 1? ? 0 1 ? ?

? A ? 2A ,
*

?1



1 Aij ? 2[ ? ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? 1. ? 2 i , j ?1

n

解法二:

?2 ? ?0 A ? ?0 ? ? ?0 ?

2 2 1 1 0 1 0 0

2? ? 1? 1? ? ? 1? ?
1 1 1 ?1 1

A11 ? A12 ?

1 1 1 0 1 1 A1n ? 0 0 1 0 0 0

2 2 2 A 21 ? A 22 ? A 2n 1 1 1 ? 0 0 1 0 0 0

2 1 1 ?0 1

2 2 2 0 1 1 A n1 ? A n2 ? A nn ? 0 0 1 1 1 1

2 1 1 ?0 1
n i , j ?1

故A 中所有元素的代数余子式之和 ? Aij ? 1

三、小结
逆矩阵 A?1 存在 ? A ? 0. 逆矩阵的计算方法: ? A 1.待定系数法 ; 2.利用公式A?1 ? ; A 3.利用初等变换求逆矩阵:
? A? ?1? 构造矩阵? A? E ?或? ?; ?E? ? 2 ? 对 ? A E ? 施行初等行变换, 将A化为单位矩阵E
? A? 后, 右边E 对应部分即为A (或对 ? ? 施行初等列 ?E? 变换, 将A化为单位阵E后, E 对应部分即为A?1 ).
?1

思考题
若A可逆, 那么矩阵方程AX ? B是否有唯一解 X ? A?1 B ? 矩阵方程 YA ? B 是否有唯一解 Y ? BA?1 ?

解:
是的. 这是由于A?1的唯一性决定的 .

1.



?1 ? ?0 已知A ? ? 0 ? ?0 ?0 ?
因 A ? 5! ? 0,
?1 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ?0 ? 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0? ? 2 0 0 0? ?1 ? 0 3 0 0 求A . ? 0 0 4 0? 0 0 0 5? ?
故A?1存在.
0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 ? ? 0 ? 0 ?. ? 0 ? 1 5? ?

A ?1

2.

设三阶矩阵A, B满足关系:

?1 2 ? ? ? ?1 A BA ? 6 A ? BA, 且A ? ? 14 ? 求B . ? ? 1 7 ? ?


A ?1 BA ? BA ? 6 A
? ?A
?1

? E ?BA ? 6 A ? ?A
?1 ?1

?1

? E ?B ? 6 E

? B ? 6?A ? E ? .

B ? 6? A ? E ?
?1

?1

?? 2 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ? 1 0 0? ? ? ? ?? ? ? ? ? 6 ? 0 4 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? 6? 0 3 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 6? 0 0 7 0 0 1 ? ? ? ? ?? ?? ? ?
?1

?1

?1

0 ? ? 6 0 0? ? 1 0 0? ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? 6? 0 3 0 ? ? 6? 0 1 3 0 ? ? ? 0 2 0 ? . ? 0 0 6? ? 0 0 1 6? ? 0 0 1? ? ? ? ? ? ?


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