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北京市东城区二十二中高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

北京市东城区二十二中高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

北京 22 中 2017—2018 学年度第一学期期中试卷

高三年级数学学科(理科)

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选

项中,只有一项是符合要求的.选出符合要求的一项填在答题卡上.)

1. 已知集合



,则

( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意,

,故选 B。

2. 下列函数为奇函数的是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】A、B 不具有对称性,C 为偶函数,D 为奇函数,故选 D。

3. 设





.若 ,则实数 的值等于( ).

A.

B.

C. D.

【答案】A 【解析】由已知得

,因为 ,则

,因此



解得

,故选 A.

考点:平面向量数量积.

4. 若 , 满足

,则 的最大值为( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

如图,过点 , 有最大值 4,故选 B。

5. 若, 是两个非零的平面向量,则“

”是“

”的( ).

A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

,得

,所以是充要条件,故选 C。

6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ).

A.

B.

C.

【答案】A

【解析】由图象可知,

D. ,故选 A。

7. 已知函数

A.

B.

【答案】A

,若, ,, 是互不相同的正数,且

,则 的取值范围是( ).

C.

D.

【解析】

由题意可知, ,

,所以



,所以取值范围是



故选 A。

点睛:本题考查函数与方程的关系、不等式的性质。本题中,先将函数图象画出,得到如图

图象,由图象交点特性,可知 ,

,得

,所以得到取值范围。

8. 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确,第五次输入密码正确,手机解锁,

事后发现前四次输入的密码中,每次都有两个数字正确,但它们各自的位置均不正确.已知

前四次输入密码分别为 , , , ,则正确的密码中一定含有数字( ).

A. , B. , C. , D. ,

【答案】D

【解析】首先考虑题目要求:位置不对,那么:第一位只能是 0、2、4、5、8、9,

第二位只能是 0、2、5、7、8、9,第三位只能是 1、2、4、5、8、9,第四位只

能是 1、2、4、5、8、9。那么四位数可选的数字排除后是 0、1、2、4、5、6、7、

8、9.

其次考虑题目中有两位数字正确,那么:

(1)可选的数字中 2、5、8、9 即可排除,四位可选数字为 0、1、4、6、7,第

一位可选 0、4、7,第二位可选 4、6、7,第三位可选 1、4,第四位可选 1、4。

(2)根据出现频次,可排除 0、6。即四位可选数字为 1、4、7、8,第一位可选

7、8,第二位可选 4、7,第三位可选 1,第四位可选 8。故密码中一定含有数字

1、7,应选答案 D.

点睛:本题的求解过程即是推理的过程,求解时先依据题设条件将符合题设的数

字一一列举出来,然后再进行分析筛选,确定出可选的数字和可能出现的数字,

最后确定一定出现出数字从而使得问题获解。

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

9. 已知抛物线的方程

,则其焦点到准线的距离为___________.

【答案】2

【解析】由题意, ,所以交点到准线的距离为 。

10. 若



,则

__________.

【答案】

【解析】由题意,为第二象限角,所以

,所以

11. 设



, ,则, ,的大小关系是___________.(从小到大用“ ”连

接)

【答案】

【解析】

,所以



12. 如图,在矩形

中,



,点 为 的中点,点 在边 上,若





的值是__________.

【答案】 【解析】



睛:本题考查平面向量的综合应用。本题中利用平面向量的线性表示,得到

,展开得到

,由数量积的几何意义可知,

,所以解得答案。学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科

¥网...学¥科¥网...

13. 已知数列 的前 项和为 , ,

,则 ___________.

【答案】

【解析】由题意,

,所以

, ,所以



14. 设函数



( )如果

,那么实数 ____________.

( )如果函数

有且仅有两个零点,那么实数的取值范围是___________.

【答案】 (1). 或 4 (2).

【解析】试题分析:由题意

,解得 或 ;

第二问如图:

的图象是由两条以 为顶点的射线组成,当 在 A,B 之间(包括 不包括 )时,

函数

和 有两个交点,即

有两个零点.所以的取值范围为 .

考点:1.分段函数值;2.函数的零点.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

15. 已知函数

的部分图象如图所示.

( )求函数 的解析式. ( )求函数 在区间 上的最大值和最小值.

【答案】( )

;( )



【解析】试题分析:(1)由图可知



,得 ,所以

;(2)当





试题解析:

( )由图可知

,∴

时, ,

,利用原始图象,可知



,,





,∴ .



,∴ .





( )当

时,





,即

时,





时, 时,



16. 在锐角

中,、 、分别为角 、 、 所对的边,且



( )确定角 的大小.

( )若 ,且

的面积为 ,求

的值.

【答案】( ) ;( )

【解析】试题分析:(1)由正弦定理可知,

,所以

;(2)由题意, ,

,得到



试题解析:

()

,∴





,∴



()

,,







17. 已知等差数列

( )求 及 .

满足:

( )若





. 的前 项和为 .

,求数列 的前 项和 .

【答案】( )



;( )

【解析】试题分析:(Ⅰ)设出首项 a1 和公差 d ,利用等差数列通项公式,就可求出 ,再

利用等差数列前项求和公式就可求出 (; Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,再利用

,



),

就可求出 ,再利用错位相减法就可求出 .

试题解析:(Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d

∵,



解得



,

(Ⅱ)∵

,









= (1- + - +…+ - )

= (1- ) =

所以数列 的前 项和 =

.

考点:1.等差数列的通项公式; 2. 等差数列的前 n 项和公式; 3.裂项法求数列的前 n 项和公式

18. 在如图所示的几何体中,四边形

是等腰梯形,



, 平面







( )求证: 平面 .

( )求二面角

的余弦值.

( )在线段 (含端点)上,是否存在一点 ,使得 平面 ,若存在,求出 的值;

若不存在,请说明理由.

【答案】( )见解析;( ) ;( )存在,

【解析】试题分析:(1)由题意,证明



,证明 面 ;(2)建立空

间直角坐标系,求平面 和平面 的法向量,解得余弦值为 ;(3)得



,所以



点.

试题解析:

( )∵



,∴





,∴

,∴







,且





面 ,∴

面.

( )知

,∴



∵面

, , , 两两垂直,以 为坐标原点,

以 , , 为 , ,轴建系.



,则











,所以存在 为 中







设 的一个法向量为





,取 ,则



由于 则

是面 的法向量, .

∵二面角

为锐二面角,∴余弦值为 .

( )存在点











,,,







∵ 面,



若 面 ,∴







∴ ,∴

,∴存在 为 中点.

19. 已知函数



( )当 时,求此函数对应的曲线在

处的切线方程.

( )求函数 的单调区间.

( )对

,不等式

恒成立,求的取值范围.

【答案】( ) ;( )见解析;( )当 时, ,当 时

【解析】试题分析:(1)利用导数的意义,求得切线方程为 ;(2)求导得

,通过

, , 分类讨论,得到单调区间;(3)分离参数

法,得到

,通过求导,得





试题解析:

( )当 时,









,∴切线方程 .

()





,则

或,



时, 在 ,

上为增函数.

在 上为减函数,

当 时, 在

上为增函数,

当 时, 在 ,

上为单调递增,

在 上单调递减.

( )当 时, ,

当 时,由



,对

恒成立.



,则





得 或,

极小

,∴





点睛:本题考查导数在函数综合题型中的应用。含参的函数单调性讨论,考查学生的分类讨

论能力,本题中,结合导函数的形式,分类讨论;含参的恒成立问题,一般采取分离参数法,

解决恒成立。 20. 已知集合


,集合





且满足: 恰有一个成立.对于 定义

( )若 , ( )取 ,



,,

,求 的值及 的最大值.

, , 中任意删去两个数,即剩下的 个数的和为 ,求证:



( )对于满足

素,, ,使得

【答案】( )



【解析】试题分析:(1)

的每一个集合 ,集合 中是否都存在三个不同的元 恒成立,并说明理由.
;( )见解析;( )存在. ;(2)

,设删去的两个数为 , ,则







试题解析:

( )∵ ,





,∴



()

可知 , , ,




,∴

,故









,所以

;(3)

中存在最大数,不妨记为 ,所以

, .

. 设删去的两个数为 , ,









,且其中只有一个不等式中等号成立,不妨让



,∴







时,





( )对

的每一个集合 ,集合 中都存在三个不同元素,, ,使

恒成立,

任取集合 ,由

可知 , ,

中存在最大数,不妨记为 .



,存在 ,使

,即





可设集合



则 中一定在元素 ,使得



否则

,与 最大数矛盾,












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