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线性代数电子课件

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西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

第十三讲 矩阵的秩
? ? ? ? ? 矩阵秩的定义 初等变换与矩阵的秩 再论矩阵的等价标准形 等价标准形应用举例 小结

一、矩阵秩的定义
任何矩阵 Am ? n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形,行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩

定义1 在 m ? n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k ? m , k ? n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改
2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m ? n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm ? Cn 个.

定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D,且所有 r ? 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m ? n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
子式的最高阶数.

对于 AT, 显有 R( AT ) ? R( A).

由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论: (1)若A是m行n列矩阵,则 (2)若A是n阶方阵,则

R (A) ? min{m, n}; R (A) ? n ? detA ? 0,

或R (A) ? n ? detA ? 0; R (A) ? r; (3)若A有一个r阶子式不为零,则
(4)若A的所有r+1阶子式全为零,则

R (A) ? r;

定理2.4 R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不 为零,而所有r+1阶子式(如果有的话)全为零。

例1

?1 2 3 ? ? ? 求矩阵 A ? ? 2 3 ? 5 ? 的秩. ?4 7 1 ? ? ?



1 2 在 A 中, ? 0. 2 3

又 ? A的 3 阶子式只有一个 A,且 A ? 0,
? R( A) ? 2.

3 ? 2? ?2 ?1 0 ? ? 3 1 ?2 5? ?0 的秩. 例2 求矩阵 B ? ? ? 0 0 0 4 ?3 ? ? ?0 ? 0 0 0 0 ? ?

其非零行有3行, 解 ? B是一个行阶梯形矩阵,
? B 的所有 4 阶子式全为零.

2 ?1 而0 0 3 0

3 ? 2 ? 0, 4
? R( B ) ? 3.

? 1 ? 例3 已知 A ? ? 0 ?? 2 ? 1 3 ? 2 ? 0, 解 ? 0 2 1 3 ?2

3 ? 2 2? ? 2 ? 1 3 ?,求该矩阵的秩. ? 0 1 5?
计算A的3阶子式,

1 3 2 3 ?2 2 1 ?2 2 ?2 0, ? 1 3 ? , ? 1 3 ? 0, ? 00 , 2 3? 0 0 2 ?1? ?0 ?2 0 1 ?2 0 5 0 1 5 ?2 1 5
? 0.
? R? A? ? 2.

? 1 3 ? 2 2? ? ? 另解 对矩阵 A ? ? 0 2 ? 1 3 ? 做初等变换, ? ? 2 0 1 5? ? ? ? 1 3 ? 2 2? ? 1 3 ? 2 2? ? ? ? ? ? ? 0 2 ? 1 3 ? ~ ? 0 2 ? 1 3 ?, ? ? 2 0 1 5? ? 0 0 0 0? ? ? ? ?
显然,非零行的行数为2,
? R? A? ? 2.

此方法简单!

二、初等变换与矩阵的秩
因为对于任何矩阵Am?n , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题:经过变换矩阵的秩变吗?

定理 1 若 A ~ B, 则 R? A? ? R? B ?.
证 先证明:若A经一次初等行变换变为B, 则R( A) ? R( B ).

设 R( A) ? r,且 A 的某个 r 阶子式 Dr ? 0.

当A ?? ?? B或 A ??? ? B 时,

ri ? r j

ri ?k

在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,. 由于 Dr ? Dr 或 Dr ? ? Dr 或 Dr ? kDr ,

因此 Dr ? 0,从而 R( B) ? r .

当A ?? ?? B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第i行; (2)Dr中同时含第i行和第j行; (3)Dr中含第i行但不含第j行;

ri ? krj

对 (1), ( 2) 两种情形,显然B 中与 Dr 对应的 子式 D r ? Dr ? 0, 故 R( B ) ? r .
对情形 ( 3),

?

?

?

?r, D r ? ri ? krj ? ri ? k rj ? Dr ? kD ? ? ? ? r ? 0, 若D

? r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式,
? R( B ) ? r .

? r ? 0, 若D

则 Dr ? Dr ? 0, 也有 R( B) ? r .

若A经一次初等行变换变为B,则 R( A) ? R( B ). 又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A,

故也有 R( B ) ? R( A). 因此 R( A) ? R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.

设A经初等列变换变为B, 也有R( A) ? R( B).

设 A 经初等列变换变为B,

则 AT 经初等行变换变为BT , ? R( AT ) ? R( BT ), 且 R( A) ? R( AT ), R( B) ? R( BT ),
? R( A) ? R( B ).

综上, 若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B ), 则 R( A) ? R( B ).
推论 设A是一个m行n列矩阵,P是一个m 阶可逆矩阵,Q是一个n阶可逆矩阵,则 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A) 证毕

初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A ? ? ? 2 0 1 5 ?3 ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ? 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
阶梯形矩阵: 解 对A作初等行变换,变成行

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?
r1 ? r4

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 ?2 0 1 5 ? 3? ? ? ?3 2 ? 0 5 0 ? ?

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?

r1 ? r4 r2 ? r4

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?2 0 1 5 ? 3? ? ? ?3 2 ? 0 5 0 ? ?

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?

r1 ? r4 r2 ? r4 r3 ? 2r1 r4 ? 3r1

6 ? 4 ?1 4 ? ?1 ? ? 3 1 ?1 ? ?0 ? 4 ? 0 ? 12 9 7 ? 11 ? ? ? 0 ? 16 12 8 ? 12 ? ? ? ?

r3 ? 3r2
r4 ? 4r2

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?0 0 0 4 ? 8? ? ? ?0 0 ? 0 4 ? 8? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?0 0 0 4 ? 8? ? ? ?0 0 ? 0 0 0 ? ?

r4 ? r3

由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) ? 3.

求 A 的一个最高阶子式. ? R( A) ? 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 ? C5 ? 40 个 .

考察A的行阶梯形矩阵, 记A ? (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵B ? (a1 , a2 , a4 )的行

阶梯形矩阵为

? 1 6 ? 1? ? ? ?0 ? 4 1 ? ?0 0 4 ? ? ? ?0 0 ? 0 ? ?

? R( B ) ? 3,

故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个.
计算B的前三行构成的子式

3

2

5

3 2

5

2 0 5 ?2 0 5 3 ? 2 6 6 0 11

? ?2

2

5

6 11

? 16 ? 0.

则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.

设 n 阶可逆矩阵 A,

?

A ? 0, ? A 的最高阶非零子式为 A ,

R( A) ? n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.

可逆矩阵的秩等于阶数 ,故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .

? 1 ? 2 2 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 2 ?4 8 0 ? 2? ? ? 例5 设 A ? ? ? 2 4 ? 2 3 ?, b ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 6 0 ? 6? ? ? 4? ? ? ? ? ?

求矩阵A及矩阵B ? ( A b)的秩.

~ ~ ~ 解 分析: 设 B 的行阶梯形矩阵为B ? ( A, b ), ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵, ~ ~ ~ 故从 B ? ( A, b ) 中可同时看出R( A) 及 R( B).

? 1 ? 2 2 ?1 ? 0 ? 2 ?4 8 B?? ?2 4 ?2 3 ? ? 3 ?6 0 ?6 ?

1? ? 2? 3? ? 4? ? 1? ? 0? 5? ? 1? ?

r2 ? 2r1 r3 ? 2r1
r4 ? 3r1

?1 ? 2 2 ?1 ? 4 2 ?0 0 ?0 0 2 1 ? ?0 0 ? 6 ? 3 ?

r2 ? 2 r3 ? r2
r4 ? 3r2

?1 ? 2 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ? ?1 ? 2 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ?

2 ? 1 1? ? 2 1 0? 0 0 5? ? 0 0 1? ? 2 ? 1 1? ? 2 1 0? 0 0 1? ? ? 0 0 0?

r3 ? 5 r4 ? r3

? R( A) ? 2,

R( B ) ? 3.

三、再论矩阵的等价标准形 一个矩阵A总可经过一系列初等变换化为 等价标准形 其中数r就是矩阵A的秩。

? Er ? ?O ?

O? ? O? ? m?n

r由A唯一确定,它是一个关于初等变换的不变量。 定理2.6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩 相等。 推论 两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同 的等价标准形。 定理2.7 设A是m行n列矩阵,其秩R(A)=r,则必存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使

? Er PAQ ? ? ?O ?

O? ? , 其中E r是r阶单位阵 ? O ?m?n

矩阵的等价关系为我们提供了研究矩阵的一种方法:把 所有的m行n列矩阵按等价类分类,即把彼此等价的 (即秩相同)归成一类,称为等价类,每一类都有一个 标准形。 秩为r的矩阵可以表示成下列形式

? Er O ? P AQ ? ? ? O O? ? , ? ? m? n 其中E r是r阶单位阵, P、Q为可逆阵。

四、等价标准形应用举例

定理2.8 R (AB) ? R (A), R (AB) ? R (B). 证 设R(A)=r,则A可表示成

Or? O ? ? Er ? E ? ? R(AB) AB ? P ?? (P? Q?B Q ? B) ?R ? ? ? O O O O ? ? ? ? 注意到P可逆,有 ? Er O ? ? Er O ? R (P? ? O O? ?Q ? B) ? R(? ? O O? ?QB) ? ? ? ? ? C1 C 2 ? 将QB适当分块 QB ? ? ?C C ? ?其中C1为r阶方阵。 4? ? 3
求秩

? Er O ? A ? P? ? O O? ? Q, ? ? m? n 其中E r是r阶单位阵, P、Q为可逆阵。

? C1 C2 ? ? ?O O? ? 最多只有r个非零行,其秩不超过r。于是 ? ? ? C1 C2 ? R (AB) ? R[? ?O O? ?] ? r ? R (A). ? ?
同理可证

? Er ? ?O ?

O? ? Er ? QB ? ? ? ?O O? ?

O ?? C1 C2 ? ? C1 ? ? ? ?? ? ? ? O ?? C3 C4 ? ? ?O

C2 ? ? O? ?

R (AB) ? R (B).

定理2.9 设A是m行n列矩阵,若R(A)<n,则n 元其次线 性方程组AX=0必有非零解。 证 由于R(A)=r<n,所以A的等价标准形

? Er ? ?O ?

O? 并且可表示成 ? 中,必有零列, O? ? ? Er O ? A ? P? ? O O? ? Q, ? ? m? n

其中E r是r阶单位阵, P、Q为可逆阵。
右乘Q的逆阵

? Er O ? AQ ? P? ? O O? ? ? ? 令α是前r个分量为0,后n-r个分量为1的n维列矩阵, ? O ?
?1

并且记为如下分块形式 ? ?? ?I ? ?, ? n ?r ?

上式两边右乘α ,可得

? Er AQ ? ? P? ?O ?
?1

O ?? O ? 0 ? ? ? ? ? ? ? P? ? PQ ? O ? ? ? ? ? O ?? I n ?r ? ? 0?

如取X ? Q?1? , 注意到Q?1可逆,故有 X ? 0, 使AX ? 0.

三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法

(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).


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