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18版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修5

18版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修5


习题课 正弦定理和余弦定理 [学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、 余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、 余 弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、 余弦定理解决一些和三角函数、 向量有关的综合问 题. 知识点一 正弦定理及其变形 1. = = =2R. sin A sin B sin C a b c 2.a=2Rsin__A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C.(化角为边) 3.sin A= ,sin B= ,sin C= .(化边为角) 2R 2R 2R 知识点二 余弦定理及其推论 a b c b2+c2-a2 1.a =b +c -2bccos__A,cos A= .(边角互化) 2bc 2 2 2 2.在△ABC 中,c =a +b ?C 为直角,c >a +b ?C 为钝角;c <a +b ?C 为锐角. 知识点三 解三角形的几类问题和解法 已知条件 一边和两角(如 a,B,C) 应用定理 正弦定理 弦定理求出 b 与 c 由余弦定理求第三边 c,再由正弦 两边及其夹角(如 a,b,C) 余弦定理和正弦定理 定理求出第二个角,再由 A+B+C =180°,求出第三个角 两边和其中一边所对的角 正弦定理 (如 a,b,B) 三边 a,b,c 知识点四 三角形内的角的函数关系 在△ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,则有 (1)sin(A+B)=sin__C,cos(A+B)=-cos__C,tan(A+B)=-tan__C, (2)sin 余弦定理 再由三角形内角和定理求第三个角 180°求 C,最后由正弦定理求 c 先由余弦定理的推论求出两个角, 由正弦定理求 A,再由 A+B+C= 一般解法 由 A+B+C=180°,求 A,再由正 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A+B =cos ,cos 2 2 C A+B =sin . 2 2 C 1 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值 4 π 例 1 在△ABC 中,AC=6,cos B= ,C= . 5 4 (1)求 AB 的长; ? π? (2)cos?A- ?的值. 6? ? 4 解 (1)由 cos B= , 5 3 2 则 sin B= 1-cos B= , 5 π 又∵C= ,AC=6,由正弦定理, 4 得 AC sin B = AB sin π 4 , 6 AB 即 = ? AB=5 2. 3 2 5 2 3 4 2 (2)由(1)得:sin B= ,cos B= ,sin C=cos C= , 5 5 2 7 2 则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= , 10 cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=- π 7 2- 6 sin Asin = . 6 20 反思与感悟 应用正弦、 余弦定理解三角形时, 要注意结合题目中的条件, 选择适当的定理. 在 进行求值运算时,要合理运用三角恒等变换的公式进行转化. 跟踪训练 1 如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC = 2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 3 2 π ? π? ,则 cos?A- ?=cos Acos + 6? 10 6 ? 答案 2 2 解析 ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD= , 3 2 2 2 2 2 ∴在

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