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2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理第2课时自我小测新人教A版选修

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理第2课时自我小测新人教A版选修

2019-2020 年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理第 2 课时自我小测
新人教 A 版选修
1.如图,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列: 1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前 n 项和为 S(n),则 S(16)等于( )

A.144

B.146

C.164

D.461

2.若???x3+x12???n(n∈N*)的展开式中只有第 6 项系数最大,则该展开式中的常数项为(

)

A.210

B.252

C.462

D.10

3.若(x+3y)n 展开式的系数和等于(7a+b)10 展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为

()

A.5

B.8

C.10

D.15

4.(x-1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是( )

A.-2 048

B.-1 023

C.1 024

D.-1 024

5.在(a-b)20 的二项展开式中,与第 6 项二项式系数相同的项是( )

A.第 15 项

B.第 16 项

C.第 17 项

D.第 18 项

6.若???x2+x13???n 展开式的各项系数之和为 32,则其展开式中的常数项是________.

7.若(1-2x)2

014=a0+a1x+a2x2+…+a2

x2
014

014(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)

+…+(a0+a2 014)=________.(用数字作答)

8.对于二项式(1-x)10.

(1)求展开式的中间项是第几项?写出这一项;

(2)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和;

(3)写出展开式中系数最大的项.

9.在??? x-x22???8 的展开式中,

(1)系数的绝对值最大的项是第几项? (2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项. (4)求系数最小的项.

参考答案 1.解析:由题图知,数列中的首项是 C22,第 2 项是 C12,第 3 项是 C23,第 4 项是 C13,…, 第 15 项是 C29,第 16 项是 C19. ∴S(16)=C12+C22+C13+C23+…+C19+C29 =(C12+C13+…+C19)+(C22+C23+…+C29) =(C22+C12+C13+…+C19-C22)+(C33+C23+…+C29) =C210+C310-1

=164.

答案:C

2.解析:由于展开式中只有第 6 项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展

开式项数为 11,从而 n=10,于是得其常数项为 C610=210.

答案:A 3.解析:(7a+b)10 展开式的二项式系数之和为 210,令 x=1,y=1,则由题意知,4n

=210,解得 n=5.

答案:A

4.解析:(x-1)11=C011x11+C111x10·(-1)+C211x9·(-1)2+…+(-1)11, 偶次项系数为负数,其和为-210=-1 024.

答案:D

5.解析:第 6 项的二项式系数为 C520,与它相等的为倒数第 6 项,即第 16 项.

答案:B

6.解析:展开式中各项系数之和为

S=C0n+C1n+…+Cnn=2n=32,∴n=5.

? ?1 r 2 5-r

r

r 10-2r-3r

r 10-5r

?? ?? T x x x x =C ( ) =C =C , r+1

5

3

5

5

令 10-5r=0,得 r=2,

∴展开式中的常数项为 T3=C25=10.

答案:10

7.解析:在(1-2x)2

014=a0+a1x+a2x2+…+a2

x2
014

014

中,令

x=0,则

a0=1,

令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+…+a2 014=(-1)2 014=1,

故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2 ) 014

=2 013a0+a0+a1+a2+a3+…+a2 014=2 014.

答案:2 014

8.解:(1)由题意可知,r=0,1,2,…,11,展开式共 11 项,

所以中间项为第 6 项,T6=C510(-x)5=-252x5.

(2)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=0, 令 x=0,得 a0=1,∴a1+a2+…+a10=-1. (3)∵中间项 T6 的系数为负, ∴系数最大的项为 T5 和 T7,T5=C410x4=210x4,T7=C610x6=210x6. 9.解:(1)Tr+1=Cr8·( x)8-r???-x22???r=(-1)r·Cr8·2r·. 设第 r+1 项系数的绝对值最大, 则?????CCr8r8· ·22rr≥ ≥CCrr88+ -11· ·22rr+ -11,.
??8-1 r≥r+2 1, ∴???2r≥9-1 r.
∴5≤r≤6.∵r∈{0,1,2,…,8}, ∴r=5 或 r=6. ∴系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项. (2)二项式系数最大的项为中间项,即为第 5 项. ∴T5=C48×24·=1 120x-6. (3)由(1)知,展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大,而第 6 项的系数为负,第 7 项的系数为正. 则系数最大的项为 T7=C68×26·x-11=1 792x-11. (4)系数最小的项为 T6=(-1)5C58×25.


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