自贡市2012-2013学年高一年级下学期期末考试数学试题参考答案及评分标准

2012—2013 学年高一年级下学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（50 分） BBAAC 二、填空题（25 分）

DCBDD

11、 （-3，-4，-5） 12、x-2y-3=0

13、

?

1 7

14、45 15、2 7

三、解答题（75 分） 16、如图所示， North 北 AB ? 10 ， ?BAC ? 15? ，----------------2 分 75° ?ABC ? 150 ? ，所以 ?BAC ? 15? ，----4 分 所以 BC ? AB ? 10 。------------------------6 分 A 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， 在 Rt?BDC 中， ?CBD ? 30? ，-----------8 分 所以 CD ?

C

60° B D East 东

1 BC ? 5 ，----------------10 分 2

因为 5 ? 4.8 ，所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险。---------12 分

17、 (1)设 C(x，y)，由 AC 的中点 M 在 y 轴上得 x＋5 2 ＝0，解得 x＝－5.----------------------------------------------2 分 3＋y 由 BC 中点 N 在 x 轴上，得 2 ＝0，∴y＝－3，-------------4 分 ∴C(－5，－3)---------------------------------------------------------6 分 5 (2)由 A、C 两点坐标得 M(0，－2)．-----------------------------8 分 由 B、C 两点坐标得 N(1,0)．--------------------------------------10 分 y ∴直线 MN 的方程为 x＋ 5＝1. －2 即 5x－2y－5＝0.--------------------------------------------------12 分
3? ? ， ? ? ? ? ? ? 0 ，-------------------1 分 2 4 3 12 又 sin(? ? ? ) ? ? ， cos(? ? ? ) ? ， 5 13 4 所以 cos(? ? ? ) ? ? --------------------------------------2 分 5
18、解： （1） ? ? ? ? ? ?
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sin(? ? ? ) ? ?

5 ，----------------------3 分 13

sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? )

3 12 4 5 16 ? (? ) ? ? (? ) ? (? ) ? ? ，-----------------5 分 5 13 5 13 65
cos 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )

4 12 3 5 33 ? (? ) ? ? (? ) ? (? ) ? ? 。---------------7 分 5 13 5 13 65 3 5 1 3 5 32 （2） sin(? ? ? ) ? ? 和 sin(? ? ? ) ? ? 得 sin ? cos ? = ( - )= ? ----9 分 65 5 13 2 5 13 1 3 5 7 cos ? sin ? = ( - + )= ? ----11 分 65 2 5 13
所以 tan ? cot ? =

sin ?cos? 32 ---------------------------------------12 分 ? cos? sin ? 7
2
n ?1

19、(1)知 b1 , b3 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两根, 而 bn ?1 ? bn ? b1 ? 1, b3 ? 4 . q ? 2 ? bn ? 2 -------------------------3 分

? an ? n ? 2 , a n?1 ? a n ? 1
故数列 ?a n ? 是等差数列………………6 分 （2)由(1)知

a12 ? a2 ? a3 ? ? ? am ? 9 ?
即9?

? a2 ? am ?? m ? 1? ? 48 42
2

………………9 分

? 4 ? m ? 2 ?? m ? 1? ? 48 ? m2 ? 5m ? 84 ? 0 ? ?12 ? m ? 7 2
2

? m 2 ? 5m ? 72 ? 0
所以 (m) max ? 6 ………------12 分
2 2

20、解：① 圆 C 的方程化标 准方程为: ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9 于是圆心 C ?3,2? ,半径 r ? 3 ．若设直线 l1 的斜率为 k 则:

k??

1 k PC

??

1 ? ?2 ．-------------------------------------------------------2 分 1 2
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∴ 直线 l1 的方程为: y ? 3 ? ?2?x ? 5? ② ∵圆的半径 r ? 3 ∴ b?5 ?3 2

即 2x ?

y ? 13 ? 0 ．---------------4 分
3? 2?b 2 ? 3 ------------6 分

∴要使直线 l 2 与圆 C 相交则须有: 于是 b 的取值范围是: -3

2-5 ? b ? 3 2 ? 5 ．---------8 分

③ 设直线 l 2 被圆 C 解得的弦的中点为 M ?x? , y? ? ,则直线 l 2 与 CM 垂直,于是有:

y? ? 2 ? 1 ,整理可得: x? ? y? ? 1 ? 0 ．-----------------------------9 分 x? ? 3
又∵点 M ?x? , y? ? 在直线 l 2 上 ∴ x? ? y? ? b ? 0 ------------10 分

∴由 ?

? x? ? y ? ? 1 ? 0 ? x? ? y ? ? b ? 0

1? b ? ? x? ? 2 ? 解得: ? ?y ? ?1? b ? ? 2 ?

-------------------------11 分

代入直线 l1 的方程得:

1? b ?

25 1? b ? (?3 ? 13 ? 0 于是 b ? ? 2 3

2 ? 5,3 2 ? 5) ，-----------12 分

故存在满足条件的常数 b ? ?

25 ．---------------------------------------------------13 分 3

21.(1) s 4 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 4a1 ? 16 d ? 14

(a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 6d )

d ?0

? a1 ? 2

d ?1

an ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 -----------------------------------4 分
（2） An ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (n ? 1)2 -----①
2 3 4 n

2 An ?

2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? 4 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ? (n ? 1)2 n?1 -----②
2 3 4 n n ?1

①-②得： ? An ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (n ? 1)2

? An ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 ?

2(1 ? 2 n ) 1? 2
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? An ? n.2 n?1 ------------------------------------------8 分
（3） Tn ?

1 1 1 1 ? ? ?? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1) ? (n ? 2)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 ? ? -------------------------------------10 分 2 n?2 1 1 Tn ? ?a n ? 2 恒成立 即 ? ? ? (n ? 3) 恒成立 2 n?2

?

n 即? ? 2(n ? 2)( n ? 3)
设 f(n) ? n ?

?

1 6 2( n ? ? 5) n

恒成立------------------------12 分

6 ?5（n ? N*) n

易知 n ? (O, 6 ) f(n)单减 ， n ? ( 6 , ?) f(n)单增------------------13 分 而n? N 即
*

f (2) ? f (3) ? 10 ? f (n) min ? 10

??

1 20

? ?min ?

1 ----------------------------------------------------14 分 20

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