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线代入门-心流学院-第七章 串讲1016

线代入门-心流学院-第七章 串讲1016


《线性代数入门》

第七章 知识串讲

7天一个周期,连续、滚动式、直播互动课程。
心流学院《7天掌握线性代数》

http://www.chuanke.com/s1836394.html

内 容
一、行列式 二、矩阵 三、向量 四、线性方程组 五、特征值与特征向量 六、二次型

本节课程目标
? ? 帮助大家整体地理解线性代数。 发现各章各节知识之间的联系。

5.我们手里有一章清晰的知识地图!

第一章 行列式
一 二 三 四 行列式的定义和性质 克莱姆法则 行列式按行按列展开 行列式计算

一 行列式的定义和性质

xn 一般地,我们把有n个未知量 x1,x2, 的 , m 个方程的方程组写成为 :

? a1n xn ? b1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? a x ?a x ? ? a2 n xn ? b2 ? 21 1 22 2 ? ?................................................. ? ? amn xn ? bm ? am1 x1 ? am 2 x2 ?
解该方程组需解决以下几大问题: 1. 什么条件下有解? 2. 若有解,有多少? 3. 怎么求出其全部解?

解决以上问题的最佳工具:行列式、矩阵、向量

?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2

(1) (2)

x1 ?
若记:
a D ? 11 a21

b1a22 ? b2 a12 a11a22 ? a12 a21

x2 ?

b2 a11 ? b1a21 a11a22 ? a12 a21

(a11a22 ? a12 a21 ? 0)

a12 ? a11a22 ? a12 a21 a22

则方程组的解为:

用常数列取代D的第一列

D1 ?

b1 b2
a11 a21

a12 ? b1a22 ? b2 a12 a22
用常数列取代D的第二列
b1 ? a11b2 ? a21b1 b2

D1 ? x1 ? ? ? D ( D ? 0) ? ? x2 ? D2 ? D ?

D2 ?

用消元法解三元线性方程组:
? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x 3 ? b2 ?a x ? a x ? a x ? b 32 2 33 3 3 ? 31 1

可得 xi 的分母为(若不为零):
三阶行列式的定义:

? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32
? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31

求解三元方程组的行列式方法

? a11x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 ?a x ? a x ? a x ? b 22 2 23 3 2 ? 21 1 ? ?a31x1 ? a32 x2 ? a33 x3 ? b3
b1 b2 b3
a11 a21 a31

由消元法可得
b1 b2 b3
a12 a22 a32

a11 当 a 21 a 31
a11 a21 a31
a11 a21 a31

a12 a 22 a 32
a12 a22 a32
a12 a22 a32

a13 a 23 ? 0时 a 33
b1 b2 b3
a13 a23 a33

x1 ?

a12 a22 a32
a12 a22 a32

a13 a23 a33
a13 a23 a33

x2 ?

a11 a21 a31
a11 a21 a31

a13 a23 a33
a13 a23 a33

x3 ?

D1 ? D

D2 ? D

D3 ? D

为了方便的求解3阶以上的N元线性方程组的问题, 即便可以发明出类似上述二三阶行列式的图示定义,那么这种定义也难于记忆和运用!
于是,我们 能否找到行列式的更方便的定义? 能否发现求解行列式的统一运算规则?

行列式的标准定义

分析二阶行列式的特点:

a11 a21

a12 ? a11a22 ? a12 a21 ? ? ( ?1)? a1 j a2 j a22 j j
1 1 2

2

分析三阶行列式的特点:

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

? a11a22 a33 ? a12 a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12 a21a33 ? a13a22 a31
?
j1 j2 j3 ? ( ? 1 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 ?

可以猜想 n 阶行列式为:

a11 a12 a21 a22 an1 an 2

a1n a2 n ann

?

j1 j2? jn

? ( ? 1 ) a1 j1 a 2 j2 ? a njn ?

问题:正负符号的规律?

定义1.2 逆序数

在n 阶(级)排列:

j1 j2

js

jt

jn

中,对于任意两个数码 js 和 jt :
大前小后叫逆序(反序) ( js ? jt ) 逆序数:一个排列中逆序的个数,记为,

? (i

1

i2

in )

(二) n 阶行列式定义(可以用方程组消元法验证定义的正确性)

a11 a21 a n1

a12 a22 ? an 2

? ? ? ?

a1n a2 n ann

?

j1 j2

?

( ?1)? ( j1 j2
jn

jn )

a1 j1 a2 j2

anjn

一般项

行列式的性质

性质1: 行列式与其转置行列式的值相等.
a11 a12 a21 a22 ? ? an1 an 2 ? ? ? ? a1n a 2n ? ann
a11 a21 a a22 ? 12 ? ? a1n a2 n ? ? ? ? an1 an 2 ? ann

性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号.
a11 ? ai1 ? a j1 ? a n1 a12 ? ai2 ? a j2 ? an2 ? ? ? ? ? ? ? a1n a11 ? ? a in a j1 ? ?? ? a jn ai1 ? ? a nn a n1 a12 ? a j2 ? ai 2 ? an 2 ? ? ? ? ? ? ? a1n ? a jn ? ain ? a nn

推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。

性质3: a11 a12 ? ? kai1 kai 2 ? ? an1 a n 2

? a1n a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? kain ? k ai1 ai 2 ? ain ? ? ? ? ? ? ? ann an1 a n 2 ? ann 行列式任一行的公因子可提到行列式之外. 或用常数 k 乘行列式任意一行的诸元素,等于用 k 乘这个行列式.

性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.
性质5:若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 则 D 等于下列两个行列式之和。
a11 a12 ? ? ai1 ? bi1 ai 2 ? bi 2 ? ? an1 a n2
a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ain ? bin ? a i1 ai 2 ? ? ? ? an1 a n 2 ? ann ? ? ? ? ?

a12 ? a1n ? ? ? ain ? bi1 bi 2 ? bin ? ? ? ? ? ann an1 a n 2 ? ann
a1n ?

a11 ?

性质6: 在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数 k , 再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变.

a11 ? ai1 ? a j1 ? a n1

a12 ? ai2 ? a j2 ? an2

? ? ? ? ? ? ?

a1n a11 a12 ? ? ? a in ai1 ai2 ?? ? ? a jn a j1 ? kai1 a j 2 ? kai 2 ? ? ? a nn an1 an 2

? a1n ? ? ? a in ? ? ? a jn ? kain ? ? ? ann

二 克莱姆法则

非齐次与齐次线性方程组的概念
设线性方程组 ? a11x 1 ? a12x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 ? ?a21x 1 ? a22x 2 ? ? ? a2n x n ? b2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an 1x 1 ? an 2x 2 ? ? ? ann x n ? bn 若常数项不全为0,则称方程组为非齐次线性方程组;若 常数项全为0,此时成方程组为齐次线性方程组。

克莱姆法则

如果线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ???????????? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn (1)

的系数行列式不等于零,即
a11 a12 ? a1 n a a 22 ? a 2 n ?0 D ? 21 ??????? a n1 a n 2 ? a nn

那么线性方程组(1) 有解,并且解是唯一的, 解可以表为 D D D D x1 ? 1 , x2 ? 2 , x3 ? 2 ,? , xn ? n . D D D D
其中 是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式,即
a11 ?a1 , j ?1 b1 a1 , j ?1 ?a1 n D j ? ??????????? an1 ?an , j ?1 bn an , j ?1 ?ann

重要定理

定理1

如果线性方程组(1)的系数行列式D≠ 0 ,则

(1) 一定有解,且解是唯一的. 逆否命题

定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1 n x n ? 0 ?a x ? a x ? ?? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ????????????? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? 0

?2 ?

定理

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ? 0 则齐次线性方程组(2)只有唯一零解.

逆否命题
定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行 列式必为零.即 D ? 0

三 行列式按行按列展开

行列式按行(列)展开法则

在n阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和第 j列划去后,留下来的n-1阶行列式 叫做元素aij 的余子式,记作Mij



Aij ? ? ?1?

i? j

叫做元素 aij 的代数余子式. M ij,

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和,即

det A ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ?

? ain Ain ?i ? 1,2, , n ?

范德蒙德行列式
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

(注意范德蒙德行列式的形式,及结论)

记忆口诀:大的欺负小的,全部欺负一遍。 (这里的大指的是序号大)

1 2 3 1 22 32 ?C ? 1 23 33 5 4 3

4 42 43 2

大家一起动笔算(等待2分钟)! 提示:范德蒙行列式!

1 2 3 1 22 32 ?C ? 1 23 33 5 4 3

4 42 43 2

分析:考生要对范德蒙行列式敏感,第一时间想 到要向范德蒙行列式转换。

1 2 3 1 22 32 ?C ? 1 23 33 5 4 3

4 42 43 2

第二步 行变换 第一步将 第四行元 素都变为 1

1 2 3 1 22 32 ?C ? 1 23 33 5 4 3
解:

4 42 43 2
4 42 43 1 1 4 42 43

1 2 3 1 22 32 D?6 1 23 33 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ? ?6 1 22 32 1 23 33

将第一行加至第四行,并 提取公因子。

从最后一行依次与前一行交 换,共交换三次

? ?6 ?1? 2 ? 3 ?1? 2 ?1 ? ?72

四 行列式计算

行列式计算小结:
基本思路: 化为上(下)三角行列式;降阶。

常用技巧: 1.某行(列)减去其他行(列); 2.所有行(列)加到某一行(列); 3.降阶(按行列展开)。

其它常见方法: 数学归纳法,递推法,范德蒙行列式,化爪法。

例1. 计算

1 1 ?1 2 ?1 ?1 ? 4 1 D? 2 4 ?6 1 1 2 4 2

解:法1 (化上三角形法)
r2 ? r1 1 1 ? 1 2 r ? 2r 1 1 ? 1 2 3 1 ? 1 ? 1 ? 4 1 r ? r 0 0 ? 5 3 r2 ? r4 4 1 D? D 0 2 ?4 ?3 2 4 ?6 1 0 1 5 0 1 2 4 2

?

1 0 0 0

1 ?1 2 1 5 0 2 ?4 ?3 0 ?5 3

1 r3 ? 2r2 0 ? 0 0

1 1 ?1 2 1 ?1 2 5 r4 ? r3 0 1 5 1 1 5 0 14 ? 0 0 ? 14 ? 3 ? 57 0 ? 14 ? 3 57 0 0 0 0 ?5 3 14

法2(降阶法)
r2 ? r1 r3 ? 2r1 1 1 ? 1 2 0 ?5 3 4 r4 ? r1 0 0 ? 5 3 ? ? a j1 A j1 ? 2 ? 4 ? 3 D 0 2 ?4 ?3 j ?1 1 5 0 0 1 5 0

可直接用对角线法则计算三阶行列式

第二章 矩阵
一 二 三 四 矩阵的定义和运算 逆矩阵 矩阵的分块 矩阵的初等变换

第三章 向量
一 向量的定义和运算 二 线性相关与线性表出

第四章 线性方程组
一 线性方程组解的判定 二 线性方程组解的结构和性质 三 线性方程组的求解

一 基本概念
n 个未知量 m 个方程的线性方程组可以表示为
? a11 x1 ? a12 x2 ? ? a x ?a x ? ? 21 1 22 2 ? ? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? a1n xn ? b1 ? a2 n xn ? b2 ? amn xn ? bm

(1)
系数矩阵



? a11 a12 ?a a22 21 ? A? ? ? ? am1 am 2

a1n ? a2 n ? ? ? ? amn ?

则线性方程组(1)可表示为

? ? Ax ? b

? x1 ? ? ? ? ? x2 ? x ?? ? ? ? ?x ? ? ? n?

? b1 ? ? ? ? ? b2 ? b ?? ? ? ? ?b ? ? ? m?
?? (2)

其中 m ? n 矩阵A称为线性方程组⑴的系数矩阵. ? m ? ( n ? 1) 矩阵 B ? ( A, b )

? a11 ? ? ? a 21 B ? ( A, b ) ? ? ? ? ?a ? m1

a12 a22 ? am2

? a1n b1 ? ? ? a2 n b2 ? ? ? ?? ? ? amn bm ? ?

称为线性方程组(1)的增广矩阵. 增广矩阵

将系数矩阵A ? a11 ?a A ? ? 21 ? ? ? am1

按列分块为 a12 a1n ? a22 a2 n ? ? ? ? ? ? ?? 1 , ? 2 ,?, ? n ? ? ? am 2 amn ?

则线性方程组(1)可表示为

? x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? b ? ? ?

?? (3)



? a11 ? ? a12 ? ? a1n ? ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? ? a22 ? ? a2 n ? ? b2 ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? ? xn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ? a ? ?b ? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ? ? m ?

n元非齐次线性方程组 ?

Ax ? 0 (1)当 R( A, b ) ? R( A) ,无解. ? (2)当 R( A, b ) ? R( A) ,有解. 若 R( A) ? n ,只有零解. R ( A ) ? r ? n 若 ,有唯一解. 若 R( A) ? r ? n ,有无穷多解. 若 R( A) ? n ,有非零解.
定理1.2 ?

? A ?x ? b

n元齐次线性方程组

Ax ? 0 有非零解的 充要条件是R( A, b ) ? R( A) ? n 充要条件是 R( A) ? n
推论1.1

? Ax ? b 有无穷多解的 ?

? 充要条件是 R( A, b ) ? R( A) ? n

? ? Ax ? b 有唯一解的

Ax ? 0 只有零解的 充要条件是 R( A) ? n

(1)当 R( A) ? n 时,方程组只有零解. (2)当 R( A) ? n 时,方程组有非零解. ? ? 定理1.3 齐次线性方程组 Ax ? 0 有非零解的充要条件是 R(A)<n. ? ? 齐次线性方程组 Ax ? 0 仅有零解的充要条件是

n元齐次线性方程组 Ax

?0

? ? 推论1.2 n个方程n个未知量的齐次线性方程组 Ax ? 0
只有零解的充要条件是 A ? 0 (即R( A) ? n) . n个方程n个未知量的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 A ? 0(即R( A) ? n) .

R(A)=n.

齐次线性方程组解的结构
如果?1 ,? 2 ,?,? t 为齐次线性方程组 Ax ? 0 的一组基础解系 , 那么, Ax ? 0 的通解可表示为 ?1? x ? k1?1 ? k2?2 ? ? ? kt?t

其中k1 , k 2 ,? , k t 是任意常数.

非齐次线性方程组解的结构
?2? x ? k1?1 ? ? ? kn? r? n? r ? ? ? . 其中 k1?1 ? ? ? kn? r? n? r 为对应齐次线性方程
组Ax=0的通解, ? ? 为非齐次线性方程组的任意 非齐次线性方程组Ax=b的通解为

一个特解.

非齐次方程组的求解

方法:由非齐次线性方程组解的结构可知,我
们需要先求出非齐次方程组一个特定的解,并
求得对应的齐次方程组的一个基础解系。

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? 例 求解方程组 ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 x4 ? 1, ? x ? x ? 2 x ? 3 x ? ?1 2. 2 3 4 ? 1
解 对增广矩阵B施行初等行变换: 0 ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? B ? ?1 ? 1 1 ? 3 1 ? ?1 ? 1 ? 2 3 ? 1 2? ? ? ? 1 ? 1 0 ? 1 1 2? ? ? ~ ? 0 0 1 ? 2 1 2 ?, ?0 0 0 0 ? 0 ? ?

可见R( A) ? R( B) ? 2, 故方程组有解, 并有

? x1 ? x2 ? x4 ? 1 2 , ? ? x 3 ? 2 x4 ? 1 2 . 1 取 x2 ? x4 ? 0, 则 x1 ? x 3 ? , 即得方程组的一个解 2 ?1 2? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?. 12 ? ? 0 ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? x4 , 在对应的齐次线性方程 组? 中, 取 2 x4 ? x3 ?

? x1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? x2 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 及? ? , 则? ? ? ? ?及? ?, ? x3 ? ? 0 ? ? 2 ? ? x4 ? ? 0 ? ? 1 ?
即得对应的齐次线性方程组的基础解系

? 1? ? ? 1? ? ? 1 ? ? ?, 0 ? ? 0? ? ? ?

? 1? ? ? 0? ? ? 2 ? ? ?, 2 ? ? 1? ? ? ?

于是所求通解为
? x1 ? ? 1? ? 1? ?1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0 ?, ( , ? R). ? x3 ? c1 ? 0 ? c2 ? 2 ? ? 1 2 ? c1 c2 ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? 1? ? ? ? 0 ? ? x ? 4? ? ? ? ? ? ?

第五章 特征值与特征向量
一 特征值与特征向量的定义 二 相似矩阵 三 实对称矩阵的特征值和特征向量

5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量 x,使得 Ax ? ? x,

则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值
λ的特征向量.
Ax ? ? x,

(? E ? A) x ? 0.

它有非零解的充分必要条件是系数行列式
? E ? A ? 0.

5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax ? ? x,

(? E ? A) x ? 0.

它有非零解的充分必要条件是系数行列式
? E ? A ? 0.
? ? a11
? ?a21 ?an1 ?a12 ? ? a22 ?an 2 ?a1n ?a2 n

? 0.

? ? ann

5.1 矩阵特征值与特征向量
总结
A kA ? E A ? kE A?1 1 A* A An P ?1 AP

? ?

k? ? 1

??k ?

?

? ?

? ?

?n ?

?
P ?1?

5.2 相似矩阵
定义1 设 A,B 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶可逆矩阵 P, 使得
P ?1 AP ? B,

则称矩阵A 与B 相似, 记作 A ∽ B.
P

相似变换矩阵.

5.2 相似矩阵
定理1 设为n阶矩阵 A与 B 相似, 则 (1) A 与 B 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值. (2) A 与B 有相同的行列式.

(3) A 与B 的秩相等.

5.2 相似矩阵
定理2 n 阶矩阵 A 与n 阶对角矩阵
??1 ? ?2 Λ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ?

相似的充分必要条件是矩阵 A有n个线性无关的特征向量.

5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
施密特(Schimidt)正交化方法:
[ ?1 ,? 2 ] ?1 , [ ?1 , ?1 ] [ ? ,? ] [ ? ,? ] ? 3 ? ?3 ? 1 3 ?1 ? 2 3 ? 2 , [?1 , ?1 ] [? 2 , ? 2 ] ……
?1 ? ?1 ,

? 2 ? ?2 ?

正 交 化

= ?
单位化: ? i ?
1

1 , 1 ,1

1 ?

2 , 2 ,2

2 ? ? ?

?1 , ?1 ,?1

?1

|| ? i ||

? i (i ? 1,2, , r ).

5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
正交矩阵 定义7 设Q是n阶实矩阵, 若
Q?Q ? E ,

则称为正交矩阵,简称正交阵. 正交矩阵具有下述性质: (1) 若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1,即 | Q |? ?1.
?1 (2) 若Q为正交矩阵, 则Q可逆, 且 Q ? Q?.

(3) 若P,Q 都是正交矩阵, 则 PQ 也是正交矩阵.

5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理1 设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是 其列(行)向量组是正交单位向量组. 定理2 设A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵Q, 使 Q ?1 AQ

为对角矩阵.

第六章 二次型
一 二 三 四 二次型的概念和表示方法 化二次型为标准形 惯性定理和二次型的规范形 二次型的正定性

6.1 二次型的概念和表示方法
定义6.1 n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2 ,? ,xn ) ? a11x12 ? 2a12 x1 x2 ? 2a13 x1 x3 ? ? ? 2a1n x1 xn
2 ? a22 x2 ? 2a23 x2 x3 ? ? ? 2a2 n x2 xn 2 ? ? ? ann xn

若系数 aij 是实数,则称为实二次型.

表示法

? a11x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ?a x ? a x ? ? ? a x ? 2n n ? f ? [ x1, x2 ,?, xn ]? 21 1 22 2 ? ? ? ? ? a x ? a x ? ? ? a x nn n ? ? n1 1 n 2 2

? a11 a12 ? a1n ? ? x1 ? ?a ??x ? a ? a 21 22 2 n ? ? 2 ? ? x T Ax ? [ x1 , x2 ,?, xn ]? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? a a ? a nn ? ? xn ? ? n1 n 2 二次型的矩阵表示 其中 x=(x1,x2,?,xn)T?Rn, A=(aij)n?n 是实对称矩阵,称为
二次型 f 对应的矩阵.(注意A的构成)

6.2 化二次型为标准形
标准形
定义:
n n

?? a x x
i ?1 j ?1 ij i

j

? x Ax ? y T CT ACy
T C ?0
2 2 ? d1 y12 ? d 2 y2 ? ? ? d n yn

x ?Cy

只含平方项不含交叉项的二次型,称为标准形.

化二次型为标准形共有两种方法:正交变换法和配方法。

一般地,将二次型化为标准形的过程:

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? x Ax ? y T C T ACy
T

x ?Cy

2 2 ? d1 y12 ? d 2 y2 ? ? ? d n yn

? d1 ? ? ? ( y , y ,?, y )? 1 2 n ? ? ?

d

2

?? y? ?? 1 ? ?? y ? ?? 2 ?, ? ?? ? ? ? ? dn? ?? yn ?

即寻找可逆矩阵C,使B =CTA C 为对角阵.
为此,引出合同矩阵的概念.

定义6.2 得 B= CTA C, B)。

对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ,使 就称矩阵A 相合(或合同)于B (记作A ?

矩阵的相合关系是一种等价关系,具有以下性质:

(1) 自反性, ? A ? Mn(F), A ? A;
(2) 对称性, ? A, B ?Mn(F), 若A ? B, 则 B ? A;

(3) 传递性, ? A, B, C ?Mn(F), 若A ? B, B ? C,则A ? C 。

例1

用正交变换化二次型

2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 5x2 ? 8 x 2 x3 ? 5 x3

为标准形.

解:

? 2 2 ? 2? ? A?? 2 5 ? 4 ? ? ? ?? 2 ? 4 5 ? ?
? ?2 ?2 2 ? I ? A ? ?2 ? ?5 4 2 4 ? ?5

? (? ?1)2 (? ?10) ? 0

??1 ? 1(二重) 得? ? ?2 ? 10

例1

2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 5x2 ? 8 x 2 x3 ? 5 x3

?1=1时,解齐次线性方程组 ?I ? A?x ? 0
得到线性无关的特征向量x1 =(?2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T

用Schmidt正交化方法(正交化,单位化)


T

γ1 ?

5 5

?? 2,

1, 0? ,
T

5 ?2, 4, 5? γ 2 ? 15

?2=10 时, 解齐次线性方程组 ?10 I ? A?x ? 0



T ? ? γ3 ? 1 1 , 2 , ? 2 3

取正交矩阵

则Q?1AQ

= diag(1, 1, 10)

??2 5 5 ? Q ? ?γ1, γ 2 , γ 3 ? ? ? 5 5 ? 0 ?

2 5 4 5 5

15 15

3

? ? 2 3? ?2 ? 3?
1 3

6.2.2 配方法
x Ax ?? y T CT ACy
T C ?0
2 2 ? d1 y12 ? d 2 y2 ? ? ? d n yn

x ?C y

在x=Cy 变换中,d i 一般不是特征值。
例3 用配方法把三元二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3x2 ? x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8x2 x3

化为标准形,并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换矩阵C。



先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方,即
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3x2 ? x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8x2 x3

? 2[ x12 ? 2 x1 ( x2 ? x3 ) ? ( x2 ? x3 ) 2 ] ? 2( x2 ? x3 )2 ? 3x22 ? x32 ? 8x2 x3
2 2 ? 2( x1 ? x2 ? x3 )2 ? x2 ? x3 ? 4 x2 x3

在上式中,再对 x22?4x2x3 配成完全平方

f(x1, x2, x3)=2(x1+ x2 ? x3)2+(x2 ? 2x3)2 ? 5x32
令 ? y1 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? y2 ? x2 ? 2 x3 ? y3 ? x3 ?

代入上式,得二次型的标准形

f(x1, x2, x3)=2y12+y22 ? 5y32

例3

2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3x2 ? x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8x2 x3

? y1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? y1 ? y2 ? 2 y3 ? ? 从 ? y2 ? x2 ? 2 x3 中解出 ? x2 ? y2 ? 2 y3 ? ? y ? x x3 ? y3 3 3 ? ?



? x1 ? ?1 ? 1 ? 2? ? y1 ? ? x ? ? ?0 1 ?? y ? 2 ? 2? ? ?? 2 ? ? 1? ? x3 ? ? ? ?0 0 ?? ? y3 ? ?

就是坐标变换 x=Cy ,式中的矩阵就是变换矩阵C。

6.3 惯性定理和二次型的规范形
定理6.3(惯性定理)n元二次型xTAx经坐标变换化为标准
形时,正平方项的个数p和负平方项的个数q是由A唯一确定的。

x T Ax =y TCT ACy
2 2 ? d1 y12 ? d 2 y2 ? ? ? d n yn

定义6.3

二次型xTAx

的标准形中,正平方项的个

数 p 和负平方项的个数 q=r? p 分别叫做二次型或A 的正、

负惯性指数。

对于二次型 xTAx ,存在坐标变换 x=Cy ,使得

xTAx =y12+?+ yp2 ? yp+12? ? ? yr2 (r= p+q)
上式右端称为 xTAx 的规范形。

6.3 二次型的正定性
定义6.4 如果n元实二次型 f(x1,x2,?,xn)=xTAx,
?x= (x1,x2,?,xn )?0 (x?Rn),恒有 xTAx >0, 就称 xTAx 为 正定二次型;称矩阵A为正定矩阵。 (1) n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,?,xn)= d1x12+d2x22+?+dnxn2

正定的充分必要条件是 di>0 (i=1,2,?, n)。
(2) 对二次型 f= xTAx 做坐标变换x=Cy(C为可逆矩阵), 化为 f = yT(CTAC) y,其正定性不变。

定理6.4 对于n阶实对称矩阵A,下列命题等价: (1) xT A x 是正定二次型(或A是正定矩阵); (2) A的正惯性指数为n ,即A ? I; (3) 存在可逆矩阵P,使得A =PTP; (4) A的n个特征值?1,? 2,?,?n都大于零。 定理6.5 若n元二次型 xTAx 正定,则

(1)A的主对角元aii >0 (i=1,2,…,n);
(2) A的行列式 detA>0。 定理6.6 n元二次型xTAx 正定的充分必要条件为A 的n个顺序主子式(左上角主子式)都大于零。

回顾我们学习线性代数的历程

一、行列式 二、矩阵 三、向量 四、线性方程组 五、特征值与特征向量 六、二次型
结束!


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