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2019版高中数学北师大版选修2-2学案:2.1 变化的快慢与变化率 Word版含解析

2019版高中数学北师大版选修2-2学案:2.1 变化的快慢与变化率 Word版含解析

2019 版数学精品资料(北师大版)

§1

变化的快慢与变化率

1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义,会求简单函数的平均变化 率.(重点) 2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率,知道变化率是描述函数变化快慢 的量.(重点、难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 函数的平均变化率

阅读教材 P25~P27“练习 1”以上部分,完成下列问题. 1.定义:对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 f(x2)-f(x1) . x2-x1

通常我们把自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作Δ x,函数值的 变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量,记作Δ y.这样,函数的平均变化率就可以 表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 Δ y f(x2)-f(x1) = . Δx x2-x1

2.作用:平均变化率用来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由Δ x=x2-x1,知Δ x 可以为 0.( )

(2)Δ y=f(x2)-f(x1)是Δ x=x2-x1 相应的改变量,Δ y 的值可正,可负,也可

为零,因此平均变化率可正,可负,可为零.(

)

Δ y y2-y1 (3)对山坡的上、下两点 A,B 中, = 可以近似刻画弯曲山路的陡峭 Δ x x2-x1 程度.( ) (1)× (2)√ (3)√

【答案】 教材整理 2

函数瞬时变化率

阅读教材 P27“练习 1”以下至 P30“练习 2”以上部分,完成下列问题. 1.定义:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δ x=x1-x0,Δ y=f(x1)-f(x0), 则函数的平均变化率是 f(x0+Δ x)-f(x0) . Δx 当Δ x 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率. 2.作用:瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢. Δ y f(x1)-f(x0) = = Δx x1-x0

一质点运动规律是 s=t2+3(s 的单位为 m,t 的单位为 s),则在 t=1 s 时的 瞬时速度估计是________m/s. 【解析】 Δs=s(1+Δt)-s(1)=(1+Δt)2+3-(12+3)=2Δt+(Δt)2,∴ Δs Δt =

2Δt+(Δt)2 Δs =2+Δt,当Δt 趋于 0 时, Δt 趋于 2. Δt 【答案】 2 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑:

[小组合作型] 求函数的平均变化率 (1)已知函数 y=f(x)=x2+1, 则在 x=2, Δ x=0.1 时, Δ y 的值为( A.0.40 C.0.43 B.0.41 D.0.44 )

1 (2)已知函数 f(x)=x+ ,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 x 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 【精彩点拨】 (1)由Δy=f(x+Δx)-f(x)

=f(2+0.1)-f(2)可得. Δy Δx

(2) 求Δx=x2-x1 → 求Δy=f(x2)-f(x1) → 计算

【自主解答】 【答案】 B

(1)Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.

(2)自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率为 f(2)-f(1) 2-1 1 2+2-(1+1) 1 1 =2;



自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 f(5)-f(3) 5-3 1? 1 ? 5+5-?3+3? ? ? 14 = =15. 2

1 14 1 因为2<15, 所以函数 f(x)=x+ x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.

1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1). 第三步,求平均变化率 Δy Δx = f(x2)-f(x1) . x2-x1

2.求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率,可用 f(x0+Δx)-f(x0) Δx 的形式.

[再练一题] 1.函数 y=x2+1 在[1,1+Δ x]上的平均变化率是( ) 【导学号:94210031】 A.2 C.2+Δ x 【解析】 B.2x D.2+(Δ x)2 ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+Δx2,

Δy 2Δx+Δx2 ∴ = =2+Δx,故选 C. Δx Δx 【答案】 C 平均变化率的实际应用 甲、乙两人走过的路程 s1(t),s2(t)与时间 t 的关系如图 211 所示, 试比较两人的速度哪个快?

图 211 【精彩点拨】 小即可得出结果. 比较相同的时间Δt 内,两人走过的路程的平均变化率的大

【自主解答】

在 t0 处,s1(t0)=s2(t0),

但 s1(t0-Δt)>s2(t0-Δt), 故 s1(t0)-s1(t0-Δt) s2(t0)-s2(t0-Δt) < . Δt Δt

所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快,因此, 在如题图所示的整个运动 过程中乙的速度比甲的速度快.

1.本题中比较两人的速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化 率,通过比较平均变化率的大小关系得出结论. 2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝 对值越大,函数在区间上的变化越快;平均变化率的绝对值越小,函数在区间上 的变化越慢.

[再练一题] 2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量 s(单位:个)与时间 t(单位: 天)的关系如图 212 所示,则接近 t0 天时,下列结论中正确的是( )

图 212 A.甲的日生产量大于乙的日生产量 B.甲的日生产量小于乙的日生产量 C.甲的日生产量等于乙的日生产量 D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小 【解析】 由平均变化率的几何意义可知,当接近于 t0 时,曲线乙割线的斜

率大于曲线甲割线的斜率,故乙的日产量大于甲的日产量. 【答案】 B [探究共研型] 瞬时变化率 探究 1 高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t 的函数关系 h(t)

65? ? =-4.9t2+6.5t+10,求运动员在?0,49?时间内的平均速度为多少? ? ? ?65? h?49?-h(0) 65 ? ? - ? ? 易知 h?49?=h(0), v = =0. 65 ? ? - 0 49

【提示】

探究 2

物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态? 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的

【提示】

过程中,平均速度为 0,而运动员一直处于运动状态. 探究 3 如何描述物体在某一时刻的运动状态? 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.

【提示】

要求物体在 t0 时刻的瞬时速度,设运动方程为 s=s(t),可先求物体在(t0,t0 +Δt)内的平均速度 刻的瞬时速度. 一辆汽车按规律 s=3t2+1 做直线运动,估计汽车在 t=3 s 时的瞬时 速度.(时间单位:s;位移单位:m) 【精彩点拨】 瞬时速度. 【自主解答】 当时间从 3 变到 3+Δt 时, 先求时间从 3 到 3+Δt 时的平均速度,再由Δt 趋于 0 求得 Δs Δt = s(t0+Δt)-s(t0) ,然后Δt 趋于 0,得到物体在 t0 时 Δt

2 2 - s(3+Δt)-s(3) 3(3+Δt) +1-(3×3 +1) v= = =3Δt+18, Δt Δt

- 当Δt 趋于 0 时, v 趋于常数 18. ∴这辆汽车在 t=3 s 时的瞬时速度为 18 m/s.

求函数 f(x)在点 x=x0 处的瞬时变化率的步骤: (1)求Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)计算 Δy ,并化简,直到当Δx=0 时有意义为止; Δx Δy Δx 即得瞬时变化率.

(3)将Δx=0 代入化简后的

[再练一题] 3.求函数 y=f(x)=3x2+x 在点 x=1 处的瞬时变化率. 【导学号:94210032】 【解】 Δy=f(1+Δx)-f(1)

=3(1+Δx)2+(1+Δx)-(3+1)=7Δx+3(Δx)2. Δy 7Δx+3(Δx)2 ∴ = =7+3Δx. Δx Δx ∴当Δx 趋于 0 时, Δy =7+3Δx 趋于 7+3×0=7. Δx

∴函数 y=3x2+x 在点 x=1 处的瞬时变化率为 7. [构建· 体系]

1.在曲线 y=x2+1 的图像上取一点(1, 2)及附近一点(1+Δ x, 2+Δ y), 则 为( ) A.Δ x+ 1 +2 Δx B.Δ x- 1 -2 Δx 1 Δx

Δy Δx

C.Δ x+2 Δy Δx C = (1+Δx)2+1-2 Δx

D.2+Δ x-

【解析】 【答案】

=2+Δx,故选 C.

2.一质点运动的方程为 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δ t]内相应的平均速 度为( ) B.-3Δ t+6 D.-3Δ t-6 Δs Δt D = 5-3(1+Δt)2-(5-3) Δt =-6-3Δt.

A.3Δ t+6 C.3Δ t-6 【解析】 【答案】

2 3.已知函数 y=x ,当 x 由 2 变为 1.5 时,函数的改变量Δ y=________. 【导学号:94210033】 【解析】 【答案】 2 2 1 Δy=1.5-2=3. 1 3

x2 4.设某产品的总成本函数为 C(x)=1 100+1 200,其中 x 为产量数,生产 900 个单位到 1 000 个单位时总成本的平均变化率为________. 【解析】 ΔC Δx 19 12 = C(1 000)-C(900) 19 =12. 1 000-900

【答案】

5.在 F1 赛车中, 赛车位移 s 与比赛时间 t 存在函数关系 s=10t+5t2(s 的单位 为 m,t 的单位为 s),求: (1)t=20,Δ t=0.1 时Δ s 与 (2)t=20 时的瞬时速度. 【解】 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20) Δs ; Δt

=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202 =1+20+5×0.01=21.05(m), Δs 21.05 = 0.1 =210.5(m/s). Δt Δs Δt

(2)∵



10(20+Δt)+5(20+Δt)2-10×20-5×202 Δt

=5Δt+210, 当Δt 趋于 0 时, Δs Δt 趋于 210,

所以在 t=20 时的瞬时速度为 210 m/s.

我还有这些不足: (1)

(2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=f(x)=3x 在 x 从 1 变到 3 时的平均变化率等于( A.12 C.2 【解析】 则 Δy Δx = 24 3-1 B.24 D.-12 Δy=f(3)-f(1)=33-31=24, =12.故选 A. )

【答案】

A )

2.函数 f(x)=x2-1 在区间[1, m]上的平均变化率为 3, 则实数 m 的值为( A.3 C.1 【解析】 B.2 D.4 m2-1-(12-1) 由已知得 =3, m-1

∴m+1=3,∴m=2. 【答案】 B

3.将半径为 R 的球加热,若球的半径增量为Δ R,则球的表面积增量Δ S 等 于( ) A.8πRΔ R B.8πRΔ R+4π(Δ R)2 C.4πRΔ R+4π(Δ R)2

D.4π(Δ R)2 【解析】 球的表面积 S=4πR2,则ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(Δ R)2. 【答案】 B )

4.函数 y=f(x)=3x+1 在点 x=2 处的瞬时变化率估计是( A.2 C.4 B.3 D.5

【解析】 Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx,则 Δy

Δy 3Δx = Δx Δx

=3,∴当Δx 趋于 0 时, 【答案】 B

趋于 3.故选 B. Δx

5.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那 么物体在 3 s 末的瞬时速度为( A.7 m/s C.5 m/s 【解析】 Δs Δt ) B.6 m/s D.8 m/s

1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32) = =Δt+5. Δt 当Δt 趋于 0 时, 【答案】 二、填空题 6. 物体的运动方程是 s(t) = 4t - 0.3t2 ,则从 t = 2 到 t = 4 的平均速度是 ________. 【导学号:94210034】 【解析】 由题意可得, Δt=4-2=2, Δs=(4×4-0.3×42)-(4×2-0.3×22) C Δs Δt 趋于 5,所以此物体在 3 s 末的瞬时速度为 5 m/s.

=11.2-6.8=4.4,∴平均速度为 【答案】 2.2

Δs

4.4 = 2 =2.2. Δt

9 7.已知函数 f(x)=x2-2x+3,且 y=f(x)在[2,a]上的平均变化率为4,则 a= ______. 【解析】 Δy Δx = f(a)-f(2) a-2 a2-2a 9 = =a=4. a-2



a2-2a+3-(22-2×2+3) a-2 9 4

【答案】

8.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图像如图 213 所示.在时间段[t0, t1], - ,v - ,v - ,其三者的大小关系是________. [t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v 1 2 3

图 213 【解析】 - =s(t1)-s(t0)=k , ∵v 1 MA t1-t0

- =s(t2)-s(t1)=k , v 2 AB t2-t1 s(t3)-s(t2) - = v =kBC, 3 t3-t2 由图像可知:kMA<kAB<kBC, - >v - >v - . ∴v 3 2 1 【答案】 三、解答题 - >v - >v v 3 2 1

9.比较 y=x3 与 y=x2 在 x=2 附近平均变化率的大小. 【解】 当自变量 x 从 x=2 变化到 x=2+Δx 时,y=x3 的平均变化率 k1=

(2+Δx)3-23 =(Δx)2+6Δx+12, Δx (2+Δx)2-22 y=x 的平均变化率 k2= =Δx+4. Δx
2

5?2 7 ? ∵k1-k2=(Δx)2+5Δx+8=?Δx+2? +4>0, ? ? ∴k1>k2. ∴在 x=2 附近 y=x3 的平均变化率较大. 10.已知质点 M 按规律 s=3t2+2 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s). (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求 Δs ; Δt

(2)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度. 【解】 Δs Δt = s(t+Δt)-s(t) Δt



3(t+Δt)2+2-(3t2+2) Δt

=6t+3Δt. (1)当 t=2,Δt=0.01 时, Δs Δt =6×2+3×0.01=12.03 cm/s.

(2)当Δt 趋于 0 时,6t+3Δt 趋于 6t, ∴质点 M 在 t=2 时的瞬时速度为 12 cm/s. [能力提升] 1 1.以初速度为 v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体,t 秒时的高度为 s(t)=v0t-2

gt2,则物体在 t0 秒到 t0+Δ t 秒间的平均速度为( 1 A.v0-gt0-2gΔ t 1 C.v0-2gΔ t B.v0-gt0 1 D.gt0-2gΔ t

)

1 1 2 1 【解析】 ∵Δs=v0(t0+Δt)-2g(t0+Δt)2-v0t0+2gt0 =(v0-gt0)Δt-2g(Δt)2, Δs 1 ∴ =v0-gt0-2gΔt, Δt 1 ∴物体在 t0 秒到 t0+Δt 秒间的平均速度为 v0-gt0-2gΔt. 【答案】 A

1 2.一物体的运动方程是 s=2at2(a 为常数),则该物体在 t=t0 时的瞬时速度是 ( ) 【导学号:94210035】 A.at0 1 C.2at0 【解析】 ∵ 【答案】 A Δs B.-at0 D.2at0 Δs 1 1 1 =2a(t0+Δt)2-2at2 趋于 at0. 0= aΔt+at0,∴Δt 趋于 0 时, 2 Δt Δt

3.(2016· 临沂高二检测)设 c 是成本,q 是产量,成本与产量的函数关系式为 c = c(q) ,当产量为 q0 时,产量的变化 Δ q 对成本的影响可用增量比 Δc = Δq

c(q0+Δ q)-c(q0) Δc 刻画,如果Δ q 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 A, Δq Δq 经济学上称 A 为边际成本,它表明当产量为 q0 时,增加单位产量需付出的成本 为 A, 它是实际付出成本的一个近似值.若某一产品的成本 c 与产量 q 满足函数关 系 c=3q2+1,则当产量 q=30 时的边际成本是________. 【解析】 ∵Δc=3(30+Δq)2+1-(3×302+1)

=180Δq+3(Δq)2,

∴ = Δq

Δc

180Δq+3(Δq)2 Δq Δc Δq

=180+3Δq.

当Δq 趋于 0 时,

趋于 180,

∴当产量 q=30 时的边际成本为 180. 【答案】 180

4.(2016· 南充高二检测)某一运动物体,在 x(s)时离开出发点的距离(单位: 2 m)是 f(x)=3x3+x2+2x. (1)求在第 1 s 内的平均速度; (2)求在 1 s 末的瞬时速度; (3)经过多少时间该物体的运动速度达到 14 m/s? 【解】 (1)物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 m/s. (2) Δy = Δx f(1+Δx)-f(1) Δx f(1)-f(0) 1-0 11 =3



2 11 3 2 3(1+Δx) +(1+Δx) +2(1+Δx)- 3 Δx

2 =6+3Δx+3(Δx)2. 当Δx 趋于 0 时, Δy 趋于 6, Δx

所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6 m/s. (3) Δy = Δx f(x+Δx)-f(x) Δx =

2 ?2 3 2 ? 3 2 ?3x +x +2x? ( x +Δ x ) +( x +Δ x ) + 2 ( x +Δ x )- 3 ? ? Δx 2 =2x2+2x+2+3(Δx)2+2x· Δx+Δx. 当Δx 趋于 0 时, Δy 趋于 2x2+2x+2, Δx

令 2x2+2x+2=14, 解得 x=2, 即经过 2 s 该物体的运动速度达到 14 m/s.


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