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高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中》课件

高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中》课件


1.2

应用举例

第1课时 正、余弦定理在实际问题中的应用
【课标要求】 1.熟练掌握正、余弦定理. 2.能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题. 【核心扫描】 1.求解距离、高度和角度问题.(重点) 2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形).(难点)

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自学导引
测量中的常用角 (1)仰角和俯角 上方 的角称为仰 在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线_____ 下方 的角称为俯角.如下图①. 角,视线在水平线_____ (2)方位角 顺时针 转到目标方向线所成的水平角.如方位 指从正北方向按_______ 角是45°,指北偏东45°,即东北方向.

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(3)方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西60,即 以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.如下图② 所示.

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:如图所示,OA,OB的方位角各 是多少?如何表示OA,OB的方向角? 提示:OA的方位角为60°,OB的方位 角为330°,OA的方向角为北偏东60°, OB的方向角为北偏西30°.

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名师点睛
1. 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清 量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中的单 位、近似计算要求. 这一思路可描述如下:

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解三角形应用题常见的两种情况 2. (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在 一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够 条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时 需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出 所要求的解.

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题型一

测量距离问题

【例1】 在某次军事演习中,红方为了准确 3a 分析战场形势,在两个相距为 的军事 2 基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别 在A处和B处,且∠ADB=30°, ∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如 图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离. [思路探索] 可将AB放在△ABC中来求,为此应先求 出AC和BC,再用余弦定理求AB.
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解 ∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° , 又∠DCA=60° ,∴∠DAC=60° . 3 ∴AD=CD=AC= a. 2 在△BCD 中,∠DBC=45° , BC CD ∴ = , sin 30° sin 45° 6 ∴BC= a. 4

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在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 45° 3 2 3 2 3 6 2 3 2 = a + a -2× a× a× = a . 4 8 2 4 2 8 6 ∴AB= a. 4 6 ∴蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 4

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解三角形应用问题的一般步骤: (1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解 应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角 形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解.

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【变式1】 如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在
货轮的北偏东 75° , 距离为 12 6 n mile, 在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° , 距离为 8 3 n mile,货轮由 A 处向正北 航行到 D 处时,再看灯塔 B 在货轮的南 偏东 60° .

求:(1)A处与D处的距离; (2)灯塔C与D处的距离. 解 (1)在△ABD中,∠ADB=60°,B= 45°,由正弦定理得

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2 12 6× 2 ABsin B AD= = =24 (n mile). sin∠ADB 3 2 所以 A 处与 D 处的距离为 24 n mile. (2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD· ACcos 30° , 解得 CD=8 3 n mile.即灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 n mile.

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题型二

测量高度问题

【例2】 如图所示,A、B是水平面上的两个 点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰 角为45°,∠BAD=120°,又在B点测 得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平 面的垂足,求山高CD. [思路探索] 由仰角为45°可知CD=AD, 再在△ABD中应用正弦定理求解AD即可. 解 由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可, 在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,

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AB AD 由 = , sin 15° sin 45° 2 800× 2 AB· sin 45° 得 AD= = =800( 3+1) (m). sin 15° 6- 2 4 即山的高度为 800( 3+1) m.

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依题意画图是解决三角形应用题的关键. 在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和 俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角.同 时空间图形和平面图形要区分开,然后通过解三角 形求解.

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儋州高二检测)如图,测 【变式2】 (2011· 量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点C和D.现 测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s, 并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔 高AB. 解 在△BCD中,∠BCD=α, ∠BDC=β, ∴∠CBD=180°-(α+β),

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BC s BC s ∴ = ,即 = . sin β sin[180° sin β -?α+β?] sin?α+β? sin β ∴BC= · s. sin?α+β? AB 在△ABC 中,由于∠ABC=90° ,∴ =tan θ, BC sin β· tan θ ∴AB=BC· tan θ= · s. sin?α+β?

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题型三

测量角度问题

【例3】 某海上养殖基地A接到气象部 门预报,位于基地南偏东60°距 离20( 3+1)海里的海面上有一台 风中心,影响半径为20 2 海里, 正以每小时10海里的速度沿某一 方向匀速直线前进,预计台风中 心将从基地东北方向刮过且( 3+1)小时后开始影响基地 持续2小时.求台风移动的方向. 审题指导

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[规范解答] 如题图所示,设预报时台风中心为B,开始影 响基地时台风中心为C,则B,C,D在同一直线上,且AD =20海里,AC=20海里.(2分)
由题意知, AB=20( 3+1) 海里, DC=2×10 2=20 2 海 里,BC=( 3+1)×10 2 海里.(4 分) 在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90° ,∠ADC=45° .(6 分) 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+AB2-BC2 3 cos∠BAC= = ,(8 分) 2AC· AB 2

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∴∠BAC=30° , 又∵B 位于 A 的南偏东 60° ,且 60° +30° +90° =180° ,(10 分) ∴D 位于 A 的正北方向,又∵∠ADC=45° , → ∴台风移动的方向为CD的方向,即北偏西 45° 方向. 所以台风向北偏西 45° 方向移动.(12 分)
【题后反思】 在充分理解题意的基础上画出大致图形, 由问题中的有关量得出三角形中的元素,用余弦定理、勾 股定理解三角形.

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【变式3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时 3 a海里,问 甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?

解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇,则 在△ABC 中,BC=at 海里,AC= 3at 海里,B=90° +30° =120° , BC AC 由 = 得: sin B sin∠CAB BCsin B sin∠CAB= AC
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3 at· sin 120° 2 1 = = = . 3at 3 2

∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°. ∴∠DAC=60°-30°=30°. 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船 相遇.

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方法技巧

分类讨论思想在解三角形中的应用

在解决问题时由于条件的变化,问题的结果有多种情 况,不能用同一种标准或同一种方法去解决,这就需要对 条件分情况讨论,这就是分类讨论思想,也叫做分类与整 合思想.在本节中,由于三角形解的个数的不确定性,解 三角形时需讨论在不同的三角形中解的情况. 【示例】在一次反恐演习中,某特警在一条笔直的公路上追 击前方20公里的一恐怖分子,此时恐怖分子正跳下公路沿 与前方公路成60°角的方向以每小时8公里的速度逃跑, 已知特警在公路上的速度为每小时10公里.特警决定在公 路上离恐怖分子最近时将其击毙,问再过多少小时,特警 向恐怖分子射击.

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[思路分析] 根据人物的不同位置,分情况列出相距的表达 式,利用二次函数求最值的方式即可求所需时间. 解 设开始时特警在B地,恐怖分子在A地,t小时后两人 分别到达Q,P两地,特警到达A地需2小时,分别画出示 意图. (1)当0≤t≤2时,如图1, 在△APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,

∴PQ= AQ2+AP2-2AP· AQcos 120° =
? 1? 2 2 ?20-10t? +?8t? -2?20-10t?8t?- ? ? 2?

图1

= 84t2-240t+400 =2 21t2-60t+100.
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(2)当 t>2 时,如图 2, 在△APQ 中,AP=8t,AQ=10t-20, ∴PQ= AQ2+AP2-2AQ· APcos 60° =2 21t2-60t+100, 综合(1)(2)可知 PQ=2 21t2-60t+100(t≥0), 30 10 ∴当 t= = 时,PQ 最小. 21 7 10 所以再过 小时,特警向恐怖分子射击. 7

图2

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方法点评 本题根据两种不同的位置关系,利用分类讨论 思想,相距最近时特警可能还没到达恐怖分子跳下公路的 地点,也可能超过恐怖分子跳下公路的地点.特警位置、 恐怖分子位置、恐怖分子跳下公路的位置会构成两个不同 的三角形.

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