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2018-2019版高中数学苏教版必修五课件:1.2 余弦定理(二)

2018-2019版高中数学苏教版必修五课件:1.2 余弦定理(二)


第1章 解三角形 §1.2 余弦定理(二) 学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解决简单的实际问题. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证 明及形状判断等问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形 思考 在△ABC 中,若 B=30° ,AB=2 3,AC=2,可以先用正弦定 3 b c 理sin B=sin C求出 sin C= 2 .那么能不能用余弦定理解此三角 形?如果能,怎么解? 答案 能 .在余弦定理 b2 = a2 + c2 - 2accos B中,已知三个量 AC= b , AB=c,cos B,代入后得到关于a的一元二次方程,解此方程 即可. 梳理 已知两边及其一边的对角,既可先用正弦定理,也可先用余 弦定理,满足条件的三角形个数为0,1,2,具体判断方法如下: a b 设在△ABC 中,已知 a,b 及 A 的值.由正弦定理sin A=sin B,可求得 bsin A sin B= a . (1)当A为钝角时,则B必为锐角,三角形的解唯一; (2)当A为直角且a>b时,三角形的解唯一; (3)当A为锐角时,如图,以点C为圆心,以a为半 径作圆, 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系: ①当a<CD时,无解; ②当a=CD时,一解; ③当CD<a<b时,则圆与射线AB有两个交点,此时B为锐角或钝角, 此时B的值有两个. ④当a≥b时,一解. (4)如果a>b,则有A>B,所以B为锐角,此时B的值唯一. 知识点二 判定三角形的形状 思考1 三角形的形状类别很多,按边可分为等腰三角形,等边三角形, 其他;按角可分为钝角三角形,直角三角形,锐角三角形 . 在 判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定? 答案 不需要 . 如果所知条件方便求角,只需判断最大的角是钝角, 直角,锐角;如果方便求边,假设最大边为c,可用a2+b2-c2 来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然,不需 多说. 思考2 △ABC中,sin 2A=sin 2B,则A,B一定相等吗? 答案 梳理 判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角; 其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价. 知识点三 证明三角形中的恒等式 思考 前面我们用正弦定理化简过acos B=bcos A,当时是把边化成 了角;现在我们学了余弦定理,你能不能用余弦定理把角化 成边? 答案 a +c -b b +c -a 由余弦定理得 a 2ac =b 2bc ,去分母得 a2+c2-b2 2 2 2 2 2 2 =b2+c2-a2,化简得 a=b. 梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化 减小等式两边的差异. 题型探究 类型一 例1 用余弦定理解决实际问题 一商船行至某海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号 . 正 在该海域执行护航任务的海军舰艇在A处获悉后,即测出该商船在北偏 东45°,距离10海里的C处,并沿方位角为105°的方向,以9海里/时 的速度航行,舰艇立即以 21海里 / 时的速度前去营救 .求舰艇靠近商船 所需要的最短时间及所经过的路程. 解答 反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意,正确做出图形,把 实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角, 通过建立数学模型来求解. 跟踪训练1

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