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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一


1.2.1 第一课时 任意角的三角函数 三角函数的定义与公式一 预习课本 P11~15,思考并完成以下问题 (1)任意角的三角函数的定义是什么? (2)三角函数值的大小与其终边上的点 P 的位置是否有关? (3)如何求三角函数的定义域? (4)如何判断三角函数值在各象限内的符号? (5)诱导公式一是什么? [新知初探] 1.任意角的三角函数的定义 如图,设 α 是一个任意角, 前提 它的终边与单位圆交于点 P(x,y) 正弦 余弦 定义 正切 y 叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α=y x 叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α=x y y 叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0) x x 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 将 它们统称为三角函数 三角 函数 [点睛] 三角函数也是函数,都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为 函数值的函数;三角函数值只与角 α 的大小有关,即由角 α 的终边位置决定. 2.三角函数值的符号 如图所示: 正弦:一二象限正,三四象限负; 余弦:一四象限正,二三象限负; 正切:一三象限正,二四象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等. [点睛] 诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角 的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 α=β+720°,则 cos α=cos β.( (2)若 sin α=sin β,则 α=β.( ) ) ) (3)已知 α 是三角形的内角,则必有 sin α>0.( 答案:(1)√ (2)× (3)√ ) 2.若 sin α<0,tan α>0,则 α 在( A.第一象限 C.第三象限 答案:C 3.已知角 α 的终边与单位圆的交点 P A. C. 5 5 2 5 5 B.第二象限 D.第四象限 ? 5,-2 5?,则 sin α+cos α=( 5 ? ?5 5 5 ) B.- 2 5 D.- 5 答案:B π 3π 4.sin =________,cos =________. 3 4 答案: 3 2 - 2 2 三角函数的定义及应用 [典例] 设 a<0,角 α 的终边与单位圆的交点为 P(-3a,4a),那么 sin α+2cos α 的值等 于( ) A. C. 2 5 1 5 B.- 2 5 1 D.- 5 [解析] ∵点 P 在单位圆上,则|OP|=1. 1 即 ?-3a?2+?4a?2=1,解得 a=± . 5 1 ∵a<0,∴a=- . 5 3 4? ∴P 点的坐标为? ?5,-5?. 4 3 ∴sin α=- ,cos α= . 5 5 4 3 2 ∴sin α+2cos α=- +2× = . 5 5 5 [答案] A 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: 法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求 出相应三角函数值. y 法二:在 α 的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0).则 sin α=r ,cos α x = r .已知 α 的终边求 α 的三角函数值时,用

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