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高中数学必修4同步练习与单元测试第二章 章末检测(B)

高中数学必修4同步练习与单元测试第二章 章末检测(B)

第二章 平面向量(B) 满分:150 分) (时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x 的值是( ) A.-6 B.6 C .9 D.12 2.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 C.若|a+b|=|a-b|,则 a· b=0 D.若 a 与 b 都是单位向量,则 a· b=1. 3.设向量 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若 a 与 b 的夹角大于 90° ,则实数 m 的 取值范围是( ) 4 A.(- ,2) 3 4 B.(-∞,- )∪(2,+∞) 3 4 C.(-2, ) 3 4 D.(-∞,2)∪( ,+∞) 3 → → → → 4.平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则AD· BD等于( ) A.8 B.6 C.-8 D.-6 5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与向量 b 的夹角是( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 6.关于平面向量 a,b,c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则存在 λ∈R,使得 b=λa; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ,μ 使得 c=λa+μb; ④若 a· b=a· c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.已知|a|=5,|b|=3,且 a· b=-12,则向量 a 在向量 b 上的投影等于( ) 12 12 A.-4 B.4 C.- D. 5 5 → → → 8.设 O,A,M,B 为平面上四点,OM=λOB+(1-λ)· OA,且 λ∈(1,2),则( ) A.点 M 在线段 AB 上 B.点 B 在线段 AM 上 C.点 A 在线段 BM 上 D.O,A,B,M 四点共线 → 1 → → 9.P 是△ABC 内的一点,AP= (AB+AC),则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) 3 3 A. B.2 C.3 D.6 2 → → → → → → → 10.在△ABC 中,AR=2RB,CP=2PR,若AP=mAB+nAC,则 m+n 等于( ) 2 7 8 A. B. C. D.1 3 9 9 11.已知 3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则 a· (b+c)等于( ) 4 3 3 A.- B.- C.0 D. 5 5 5 12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b =mq-np.下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. 14.a,b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 1 15.已知向量 a=(6,2),b=(-4, ),直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直,则直 2 线 l 的方程为________. → → → 16.已知向量OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为坐标原 → → 点),则MA· MB的最小值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) → → → 1→ → 1 → 17.(10 分)如图所示,以向量OA=a,OB=b 为边作?AOBD,又BM= BC,CN= CD,用 3 3 → → → a,b 表示OM、ON、MN. 18.(12 分)已知 a,b 的夹角为 120° ,且|a|=4,|b|=2, 求:(1)(a-2b)· (a+b); (2)|a+b|; (3)|3a-4b|. 1 3 19.(12 分)已知 a=( 3,-1),b=? , ?,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t2-3)b,y= 2 2 ? ? k+t2 -ka+tb,且 x⊥y,试求 的最小值. t → → → 20. (12 分)设OA=(2,5), OB=(3,1), OC=(6,3). 在线段 OC 上是否存在点 M, 使 MA⊥MB? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.(12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. → → 22.(12 分)已知线段 PQ 过△OAB 的重心 G,且 P、Q 分别在 OA、OB 上,设OA=a,OB= → → b,OP=ma,OQ=nb. 1 1 求证: + =3. m n 第二章 平面向量(B) 答案 1.B [∵a∥b,∴4× 3-2x=0,∴x=6.] 2.C [∵|a+b|2=a2+b2+2a· b |a-b|2=a2+b2-2a· b |a+b|=|a-b|.∴a· b=0.] 3.A [∵a 与 b 的夹角大于 90° ,∴a· b<0,∴(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,即 3m2- 4 2m-8<0,∴- <m<2.] 3 → → → → → → → 4.A [∵AD=BC=AC-AB=(-1,-1),∴BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,- 5), → → ∴A

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