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高中数学北师大版必修四课件:第2章 §2 从位移的合成到向量的加法

高中数学北师大版必修四课件:第2章 §2 从位移的合成到向量的加法


阶 段 一

§2

从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法 向量的减法

阶 段 三

阶 段 二

2.2

学 业 分 层 测 评

1.掌握向量的加法、减法运算.(重点) 2.理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系.(难点)

[基础· 初探] 教材整理1 向量加法 阅读教材P76-P77“例2”以上部分,完成下列问题.

向量求和法则及运算律
类别 图示 几何意义 已知向量 a,b,在平面内任取一 向量求 和的法 则 → → 点 A,作AB=a,BC=b,再作向 三角形 法则 → ,则向量AC → 叫作 a 与 b 量AC → 的 和, 记作 a+b , 即 a+b=AB → =AC → +BC

→ → 已知向量 a,b,作AB=a,AD= 向量求 和的法 则 平行四 边形法 则 → 的BC → =b,连接 b,再作平行AD DC, 则四边形 ABCD 为平行四边 → 叫作向量 a 与 b 的和 , 形, 向量AC

→ =a+b 表示为 AC
向量加 法的运 算律 交换律 a+b= b+a 结合律 (a+b)+c= a+(b+c)

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两向量的和,可能是一个数量.( (2)两向量相加,就是两向量的模相加.( → +DE → =CE → .( (3)CD ) ) ) )

→ → → (4)矩形ABCD中,BA+BC=BD.(

【解析】 (1)两向量之和,仍是向量,(1)错;(2)不共线两向量相加,遵循 平行四边形法则;由向量加法的三角形法则可知(3)正确;由向量的平行四边形法 则可知(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√

教材整理2 向量减法 阅读教材P79~P80“练习”以上部分,完成下列问题. 1.相反向量
定义 把与a长度 相等 、方向 相反 的向量,叫作a的相反向量,记作-a (1)零向量的相反向量仍是 零向量 ,于是-(-0)=0; 性质 (2)互为相反向量的两个向量的和为 0 ,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a= -b ,b=____ -a

2.向量减法
定义 向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+

(-b) ,求两个向量差的运算,叫作向量的减法

几何 意义 → =a,OB → =b,则BA → =a-b,即a-b表示为 如图,设OA 从向量b的终点指向向量a的终点的向量

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量.( → =OA → -OB → .( (2)BA ) ) )

(3)a-b的相反向量是b-a.( (4)|a-b|<|b+a|.( )

【解析】 (1)正确.两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量,是向 量. → =OA → -OB →. (2)正确.根据向量减法的几何意义可知BA (3)正确.(a-b)+(b-a)=0. (4)错误.|a+b|与|a-b|的大小关系不确定.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]

向量的加法、减法运算

→ +CB → -DC → 等于( (1)在平行四边形ABCD中,AB → A.BC → C.DA → B.AC → D.BD

)

→ → → → → (2)化简:AB+DA+BD-BC-CA=________.

(3)如图2-2-1,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.

图2-2-1 【精彩点拨】 利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解.
→ =DC → ,CB → =DA →, 【自主解答】 (1)在?ABCD中,AB → → → → → → → ∴AB+CB-DC=(AB-DC)+CB=DA. → +BD → +DA → -(BC → +CA →) (2)法一:原式=AB → → =0-BA=AB.

法二:在平面内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,则 → → → → → → → → → → 原式=(OB-OA)+(OA-OD)+(OD-OB)-(OC-OB)-(OA-OC) → -OA → +OA → -OD → +OD → -OB → -OC → +OB → -OA → +OC → =OB → -OA → =AB →. =OB

【答案】 (3)作法:

→ (1)C (2)AB

→ → ①作OA=a,AB=b;

→ =c; ②作OC ③连接CB, → =a+b-c. 则CB

1.求解这类问题,要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形 法则,并注意向量的起点和终点,当向量首尾相连且为和时,用加法;运用向量 减法的三角形法则时,两向量起点一定相同. 2.运用向量减法法则时,常考虑方法:(1)通过相反向量,把向量减法转化 为加法;(2)引入点O,将向量起点统一. 3.运用向量加法、减法运算法则作图时,应注意是“首尾相连”还是“首 首相连”等.

[再练一题] 1.(1)如图2-2-2,已知?ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等 分点,求作:

→ +AC →; ①AO → +BA →. ②DE
图2-2-2 (2)如图2-2-3,已知向量a,b,c,求作a+b+c.

图2-2-3

【解】

→ 即为所求. (1)①延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量AF

1 → 即为所求. ②在AB上取点G,使AG=3AB,则向量BG

→ → → (2)在平面内任取一点O,作向量 OA =a,再作 AB =c,则 OB =a+c,然后再 → =b,连接OC,于是向量OC → =a+b+c即为所求(如图所示). 作BC

利用已知向量表示其它向量
→ =a, AE → =b, BC → =c, ED → =d,用a,b, 在五边形ABCDE中,设 AB → c,d表示CD.
【精彩点拨】 → → 先表示出向量AD,然后用向量加法表示出CD.

→ =AE → +ED → ,AD → =AB → +BC → +CD →, 【自主解答】 因为AD → → → → → 所以AE+ED=AB+BC+CD, →, 即b+d=a+c+CD → 所以CD=b+d-a-c.

1.用已知向量表示其他向量时,关键是利用向量加法的三角形法则及向量 减法的几何意义. 2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为: ①观察待表示的向量位置;②寻找相应的平行四边形或三角形;③运用法则 找关系,化简得结果.

[再练一题] → → 2.如图2-2-4所示,已知O为平行四边形ABCD内的一点, OA =a, OB =b, → =c,则OD → 可以用a,b,c表示为________. OC

图2-2-4

→ = DC → ,所以 OB → - OA →= 【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形,所以 AB → → → → → → OC-OD,所以OD=OA-OB+OC=a-b+c. 【答案】 a-b+c

[探究共研型]

向量加法、减法的综合应用
探究1 向量减法的实质是什么? 【提示】 加法的逆运算. 探究2 |a-b|与|a|,|b|之间的大小关系如何?
【提示】 当a与b不共线时,有
? ? ? ? |a|-|b|? ?

<|a-b|<|a+b|;当a与b同向且

|a|≥|b|时,有|a-b|=|a|-|b|;当a与b同向且|a|≤|b|时,有|a-b|=|b|-|a|.

→ → 已知?ABCD中,∠ABC=60° ,设 AB =a, AD =b,若|a|=|a+b|= 2,求|a-b|的值.
【精彩点拨】 根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解.

→ |=|a+b|=2,如图所示. 【自主解答】 依题意,|AC → 而|AB|=|a|=2.
因为∠ABC=60° , 所以△ABC是等边三角形, 所以BC=AB. 所以?ABCD为菱形,AC⊥BD,

所以|a|

2

?1 ? ?1 ? 2 =?2|a+b|? +?2|a-b|?2, ? ? ? ?

|a-b|2 即4=1+ 4 , 所以|a-b|=2 3.

本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义,一般地,若a,b是两个不 → → 共线的向量,在平面内任取一点A作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作? → → ABCD,那么AC=a+b,DB=a-b.恰当地构造平行四边形,寻找|a|,|b|,|a± b|的 关系,灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键.

[再练一题] 3.已知非零向量a,b满足|a|= 7 +1,|b|= 7 -1,且|a-b|=4,求|a+b|的 值. 【导学号:66470041】
→ =a,OB → =b, 【解】 如图,设OA

→ |=|a-b|. 则|BA 以OA与OB为邻边作平行四边形OACB, → |=|a+b|. 则|OC

由于( 7+1)2+( 7-1)2=42, → → → 即|OA|2+|OB|2=|BA|2, 所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形, 从而OA⊥OB, 所以?OACB是矩形. → → 根据矩形的对角线相等有|OC|=|BA|=4, 即|a+b|=4.

[构建· 体系]

1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式成立的是( → → → A.EF=OF+OE → =FO → +OE → C.EF
【解析】

)

→ → → B.EF=OF+EO → =FO → +EO → D.EF

→ → → 由向量三角形法则知EF=EO+OF.

【答案】 B

→ +AD → |为( 2.正方形ABCD的边长为1,则|AB A.1 C.3
【解析】

)

B. 2 D.2 2
→ → → → → → ∵AB+AD=AC,∴|AB+AD|=|AC|= 2,故选B.

【答案】 B
3.设a表示向东走4 km,b表示向南走3 km,则|a+b|=________km. 【导学号:66470042】

【解析】 |a+b|= |a|2+|b|2=5.
【答案】 5

4.化简: → → → (1)PB+OP-OB=________; → -OA → -OC → -CO → =________. (2)OB

→ +OP → -OB → =PB → +(OP → -OB → )=PB → +BP → =0. 【解析】 (1)PB → → → → → → → → (2)OB-OA-OC-CO=(OB-OA)-(OC+CO) → -0=AB →. =AB
【答案】 0 → AB

→ + AB → , DE →+ 5.如图2-2-5,D,E,F分别为△ABC三边的中点,试画出 BC → ,BC → +EF →. DF

【解】

图2-2-5 → +AB → =AB → +BC → =AC →, 如图,BC

→ → → DE+DF=DA, → +EF → =BC → +CD → =BD →. BC

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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