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江西省吉安一中2015-2016学年高二数学上学期第一次段考试题 理

江西省吉安一中2015-2016学年高二数学上学期第一次段考试题 理


江西省吉安一中 2015-2016 学年上学期高二年级第一次段考 数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1. 下列命题中正确的是( ) A. 两两相交的三条直线共面 B. 两条相交直线上的三个点可以确定一个平面 C. 梯形是平面图形 D. 一条直线和一个点可以确定一个平面 2. 已知直线 ax ? y ? 1 ? 0与(a ? 2) x ? 3 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 等于( A. -3 或 1 B. 1 或 3 C. -1 或-3 D. -1 或 3 )



3. 把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么球的体积扩大到原来的( A. 2 倍 B.

2倍

C. 2 2 倍

D.

3

2倍
2

4. 点 M( x 0 , y 0 )在圆 x 2 ? y 2 ? R2 外,则直线 x0 x ? y0 y ? R 与圆的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定



5. 如 图 , 空 间 四 边 形 ??? C 中 , ?? ?a , ?? ? b , ?C ? c , 点 ? 在 ?? 上 , 且

???? ?

??? ?

?

??? ?

?

???? ? 2 ???? ???? ? ?? ? ?? ,点 ? 为 ? C 中点,则 ?? 等于( 3



1? 2? 1? a? b? c 2 3 2 ? 1? 1 1? a? b? c C. 2 2 2
A.

2? 1? 1? a? b? c 3 2 2 ? 2? 2 1? a? b? c D. 3 3 2 ? ? 6. 设 a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? ”是“ | a ? b |? 1 ”的( ) 6 3
B. ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则

-1-

2 3 ? 的最小值为( a b
A. 10

) C. 5 ? 2 6 D. 4 6

B. 4 ? 2 6

? 3 ? ? 8. 已知点 ?1,?2 ? 和 ? ? 3 ,0 ? 在直线 l : ax ? y ? 1 ? 0?a ? 0? 的两侧,则直线 l 的倾斜角的取值范围 ? ?
是( A. ? ) B. ?

?? ? ? , ? ?4 3?

? 2? 5? ? , ? ? 3 6 ?

C. ? 0,

? ? ? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? 3? ? 4 ?

D. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos ? 的值为( A. )

95 10

B.

19 20

C.

1 2

D.

9 10

10. 如图 1, 已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、 N、 Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上。当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于( )

A.

1 2 a 2

B.

1 2 a 4

C.

2a 2 4

D.

3a 2 4

11. 如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,
-2-

SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结 论:(1)SG⊥平面 EFG;(2)SD⊥平面 EFG;(3)GF⊥平面 SEF;(4)EF⊥平面 GSD;(5) GD⊥平面 SEF. 正确的是( )

A. (1)和(3) C. (1)和(4)

B. (2)和(5) D. (2)和(4)

12. 已知 ?ABC 的三边长分别为 AB ? 5 , BC ? 4 , AC ? 3 , M 是 AB 边上的点, P 是平 面 ABC 外一点,给出下列四个命题: ①若 PA ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM ? 平面 ABC ,且 M 是 AB 边的中点,则有 PA ? PB ? PC ; ③若 PC ? 5 , PC ? 平面 ABC ,则 ?PCM 面积的最小值为

15 ; 2
125 2? 。 3

④若 PB ? 5 , PB ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为 其中正确命题的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置。) 13. 若直线 l 的方向向量 a ? (1,1,1) , 平面 ? 的一个法向量 n ? (2, ?1,1) , 则直线 l 与平面 ? 所 成角的正弦值等于_________。 14. 若圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A, B 两点,且 ?ACB ? 90? ,则实数 m 的 值为__________。 15. 已 知 单 位 向 量 i, j , k 两 两 的 夹 角 均 为 ? (0 ? ? ? ? , 且 ? ?

?

?

?? ?

?
2

),若空间向量 a 满足

?

? ? ? ? ? ,则有序实数组 ( x, y, z ) 称为向量 a 在“仿射”坐标系 O-xyz(O a ? xi ? y j? z ( k ,x ,y ? z ) R
为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作 a ? ( x, y, z)? 。有下列命题: ①已知 a ? (1,3, ?2)? , b ? (4,0,2)? ,则 a · b =0; ②已知 a ? ( x, y,0)? , b ? (0,0, z) ? 其中 xyz≠0,则当且仅当 x=y 时,向量 a , b 的夹角取得
3
3

?
?

?
?

?

?

?

?

?

最小值; ③已知 a ? ( x1, y1, z1 )? , b ? ( x2 , y2 , z2 )? , 则a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 )? ;

?

?

? ?

-3-

④已知 OA ? (1,0,0)? , OB ? (0,1,0) ? , OC ? (0,0,1) ? , 则三棱锥 O—ABC 的表面积 S ?
3 3 3

??? ?

??? ?

??? ?

2。

其中真命题有_________(写出所有真命题的序号)。
? 16. 三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中 , 底面边长和侧棱长都相等 , ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 . 则异面直

线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_____。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p : 2x2 ? 3x ? 1 ? 0 和命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 , 若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视 图,在直观图中,M 是 BD 的中点, AE ? 形,有关数据如图所示。

1 CD ,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角 2

(Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ)试问在边 CD 上是否存在点 N,使 MN ? 平面 BDE ? 若存在,确定点 N 的位置(不需 证明);若不存在,请说明理由。 19. (本小题满分 12 分)在正三棱锥 P ? ABC 中, E 、 F 分别为棱 PA 、 AB 的中点,且 EF ? CE 。

(1)求证:直线 PB // 平面 EFC ;

-4-

(2)求证:平面 PAC ? 平面 PAB 。 20. (本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A (3 3,2) 的入射光线 l1 被直线 l : y ? 切。

3 圆 C 过点 A 且与 l1 , l2 都相 x 反射. 反射光线 l 2 交 y 轴于 B 点, 3

(1)求 l 2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P, Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值及此时点 P 的坐标. 21. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,AB=BC =1,BB1=2,∠BCC1=60°。

(Ⅰ)求证:C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)设 CE ? ?CC 1 (0≤λ ≤1),且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试 求 λ 的值. 22. (本小题满分 12 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 交 x 轴于点 A, B (点 A 在 x 轴的负半轴上) , 点 M 为圆 O 上一动点,MA, MB 分别交直线 x ? 4 于 P, Q 两点。

??? ?

???? ?

-5-

(1)求 P, Q 两点纵坐标的乘积; (2)若点 C 的坐标为 (1, 0) ,连接 MC 交圆 O 于另一点 N . ①试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由; ②记 MA, NA 的斜率分别为 k1 , k2 ,试探究 k1k2 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是, 请说明理由.

-6-

参考答案 一、选择题(12×5=60 分) 1-6 二、填空题(4×5=20 分) 13. CACBBA 7-12 CCDBCC

2 3

14. -3 15. ②③ 16.

6 6

三、解答题(5×12+10=70 分) 17. 对于命题 p : 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,解得: x ?

1 或x ? 1 ; 2

对于命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,解得: x ? a或x ? a ? 1。 由 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q ? p 且

1 1 ? ? 1 ?a ? ?a ? 所以 ? 2 .解得 ? 2 ,即: 0 ? a ? 2 ? ? ?a ? 1 ? 1 ?a ? 0
所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ?

1 2

18. (Ⅰ)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB, 又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE ∴四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S= 6,∴ VB? ACDE ?

1 ? s ? h ? 4 , 即所求 3

几何体的体积为 4。 (Ⅱ)在边 CD 上存在点 N,使 MN⊥平面 BDE。理由如下:以 A 为原点,CA,AB AE 分别为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1, 1,2), DB ? (2,2,?4) , DE ? (2,0,?2) , DC ? (0,0,?4) , DM ? (1, 1,?2) ,

-7-

假 设 在 DC 边 上 存 在 点 N 满 足 题 意 , 设 DN ? ? DC ? (0,0,?4?), ? ? ?0,1,? , 则

? ??? ? ??? ? ??? NM ? DM ?DN ? (1,1,?2) ? (0,0,?4?) ? (1,1,?2 ? 4?),? MN ? 平面BDE ,
??? ? ? ? NM ? ? ??? ? ?NM ? ??? ? DB ? 0 ,即: ??? ? DE ? 0

?2 ? 2 ? 8 ? 16? ? 0 3 3 DC 时, ,解之得 ? ? ? ?0,1?. ∴边 DC 上存在点 N,满足 DN ? ? 4 4 ? 2 ? 4 ? 8? ? 0

NM ? 平面 BDE 。
19. 证明:(1)? E , F 分别为棱 PA 、 AB 的中点,? EF // PB

? EF ? 平面 EFC , PB ? 平面 EFC

? 直线 PB // 平面 EFC 。
(2)取棱 AC 的中点为 D ,连接 PD, BD

? 三棱锥 P ? ABC 是正三棱锥,? PA ? PC , BA ? BC
? PD ? AC, BD ? AC

? PD ? BD ? D ,? AC ? 平面 PDB ? PB ? 平面 PDB ,? AC ? PB 由(1)知 EF // PB ,? AC ? EF
? EF ? CE, CE ? AC ? C, AC ? 平面PAC, CE ? 平面PAC ,

? EF ? 平面PAC ? EF ? 平面PAB ,? 平面 PAC ? 平面 PAB 。
20. (1)直线 l1 :y=2, 设 l1 交 l 于点 D ,则 D 2 3, 2 ,∵ l 的倾斜角为 30°, ∴ l2 的倾斜角为 60? ,∴ k 2 ? 3 ∴反射光线 l2 所在直线的方程为 y ? 2 ? 3( x ? 2 3) 即 3x ? y ? 4 ? 0 已知圆 C 与 l1 相切于点 A ,设 C ? a, b? ∵圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,∴ b ? ? 3a ? 8 又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上, ∴ a ? 3 3 ① ②

?

?

-8-

由①②得 ?

?a ? 3 3 ,圆 C 的半径 r ? 3 ? b ? ?1

故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 (2)设点 B ? 0, ?4? 关于 l 的对称点 B ' ? x0 , y0 ? ,则 得 B ' ?2 3, 2

y0 ? 4 y0 ? 4 3 x0 ?? 3 ? ? ,且 x0 2 3 2

?

?

, 固定点 Q 可发现,当 B ', P, Q 共线时, PB ? PQ 最小,

故 PB ? PQ 最小值为 B ' C ? 3 ,

? y ?1 x?3 3 ? ? ?2 ?1 ? 2 3 ? 3 3 3 1 由? 解得 P( , ) ,∴ PB ? PQ 最小值为 B ' C ? 3 ? 2 21 ? 3 。 3 2 2 ? y? x ? 3 ?
21. (Ⅰ) 证明: 因为 AB ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ? BC1 。 在 ?CBC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ? 60? ,由余弦定理得:

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2BC ? CC1 ? cos ?BCC1
? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 60? ? 3 , 所以 BC1 ? 3 ,
故 BC ? BC1 ? CC1 , 所以 BC ? BC1 ,
2 2 2

又 BC ? AB ? B ,∴ C1B ? 平面 ABC 。 (Ⅱ) 解: 由 (Ⅰ) 可知,AB, BC, BC1 两两垂直.以 B 为原点,BC, BA, BC1 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. 则 B(0,0,0), A(0,1,0), C(1,0,0), C1 (0,0, 3) , B1 (?1,0, 3) 。 所以 CC1 ? (?1,0, 3) , 所以 CE ? (?? ,0, 3? ) , ∴ E(1 ? ? ,0, 3? ) , 则 AE ? (1 ? ? , ?1, 3? ) , AB1 ? (?1, ?1, 3) 。 设平面 AB1E 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

???? ?

??? ?

??? ?

????
?

? ??? ? ?(1 ? ? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? n ? AE ? ? 则 ? ? ???? , 得 ? , n ? AB ? x ? y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? 1

-9-

? 3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 , , 3) ,∵ AB ? 平面 BB1C1C , , y? 令 z ? 3 ,则 x ? ,∴ n ? ( 2?? 2?? 2?? 2??

??? ? BA ? (0,1,0) 是平面的一个法向量,

? ??? ? n ? BA ? ??? ? cos ? n, BA ? ? ? ??? ? ? n ? BA 3 2?? ? 3 2

1?

3 ? 3? 2 3 ( ) ?( ) 2 ? ( 3) 2 2?? 2??

.

两边平方并化简得 2? 2 ? 5? ? 3 ? 0 ,所以 ? ? 1 或 ? ?

3 (舍去)。 2

22. (1)由题意,得 A(?2, 0) , B(2, 0) ,设 M ( x0 , y0 ) ,

? 直线 AM 的方程为 y ?

y0 6 y0 6 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则 y ? ), ,? P(4, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

同理 Q(4,

2 y0 6 y0 2 y0 12 y0 2 ) ,? yP yQ ? ? ? ? ?12 。 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 2 ? 4

??? ? ??? ? 6 y0 2 y0 CP ? (3, ) CQ ? (3, ), C (1, 0) ? (2)① ,由(1)知 , x0 ? 2 x0 ? 2 ??? ? ??? ? 6 y0 2 y0 ? ? ? ?3 ,即 ?PCQ ? ,? 点 C 在圆内。 ? CP ? CQ ? 9 ? x0 ? 2 x0 ? 2 2
②设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, M (1, 3) , N (1, ? 3) ,此时

1 k1k2 ? ? , 3
当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆方程 x2 ? y 2 ? 4 ,整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) 2k 2 k2 ? 4 k k ? ? , ,又 , x x ? 1 2 1 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1? k 2 1? k 2

k 2 ? 4 2k 2 ? ?1 2 2 1 2 1? k 1 ? k ? k1k2 ? k 2 ?? 。 2 k ? 4 4k 3 ? ?4 2 2 1? k 1? k

- 10 -


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