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线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组_图文

线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组_图文

线 性 代 数

2019/2/17

线性代数课件

第三章
矩阵的初等变换与线性方程组

2019/2/17

线性代数课件

本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念, 并提出求秩的有效方法.再利用矩阵的秩反过来研究齐 次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方 程组有解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方 程组的方法.内容丰富,难度较大.

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一、消元法解线性方程组 分析:用消元法解下列方程组的过程. 引例 求解线性方程组

? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ?4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? ?3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9,

1

2
3 ?2

(1 )

4

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1? 2 3 ?2

(1 )

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? ?3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9,

1

2
3

( B1 )

4

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, 3 2? ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 0, ? 2 3 4 3 ?21 ? 4 ?31 ?? 5 x2 ? 5 x3 ? 3 x4 ? ?6, ? ? 3 x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? ?3,
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1

2
3

( B2 )

4

1 2 ? 2 3 ?52 4 ?3 2

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x ? x ? x ? 0, ? 2 3 4 ? 2 x4 ? ?6, ? ? x4 ? ?3, ?

1

2
3

( B3 )

4

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x ? x ? x ? 0, 3? 4 ? 2 3 4 ? 3 4 ?2 x 4 ? ? 3, ? ? 0 ? 0, ?
用“回代”的方法求出解:
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1

2
3

( B4 )

4

? x1 ? x 3 ? 4 ? 于是解得 ? x 2 ? x 3 ? 3 ? x ? ?3 ? 4

其中 x 为任意取值 . 3

或令 x ,方程组的解可记作 3 ?c
? x1 ? ? c ? 4 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? x?? ??? , x3 c ? ? ? ?3 ? ? ?x ? ? ? ? ? 4? ?

?1? ? ? ?1? 即 x ? c? ? ? 1 ? ?0? ? ? ?

? 4 ? ? ? ? 3 ? ? 0 ? ? ?? 3? ? ? ?

( 2)

其中 c为任意常数 .
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小结: 1.上述解方程组的方法称为消元法. 2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种 变换 (1)交换方程次序;



i与 j

相互替换)
i)

(2)以不等于0的数乘某个方程;

(以 (以
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i

?k 替换

(3)一个方程加上另一个方程的k倍.
i ?k j

替换

i)

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3.上述三种变换都是可逆的.

若( A) 若( A) 若( A)

j i?

( B ), 则( B) ( B ), 则( B) ( B ), 则( B)

j i?

( A); ( A);
( A ).

i

?k

i

?k

i ?k j

i ?k j

,由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.

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,因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算,未知量并未参与运算.

若记

?2 ?1 ?1 1 ? 1 ?1 1 ?2 B?(A b) ?? 4 ?6 2 ?2 ? ?3 6 ?9 7 ?

2? ? 4? 4? ? ? 9?

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1) 的增广矩阵)的变换.

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二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

? ? 1 对调两行(对调 i , j 两行 , 记作 r r ); i? j ? ?以数 2 k? 0乘以某一行的所 ;
(第 i 行乘 k , 记作 r ? k ) i

? ?把某一行所有元素的 3 k倍加到另一
对应的元素上去(第 j行的 k倍加到第 i行上 记作 r kr ) . i? j
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同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换 成“c”). 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变 换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同.

ri ?rj 逆变换

ri ? k

逆变换

r i ? kr j 逆变换
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r rj; i ? 1 r ( )或 r k ; i? i? k r ( ? k ) r r kr . i? j或 i? j

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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B , 就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A ~B .
等价关系的性质:

( 1 ) 反身性 ? A A ;
( 2 ) 对称性 若 ? A B , 则 B ? A;
( 3 )传递性 若 ? A B, B ? C, 则 ? A C.
具有上述三条性质的关系称为等价. 例如,两个线性方程组同解, 就称这两个线性方程组等价
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用矩阵的初等行变换 解方程组(1):

1 2? ? 2 ?1 ?1 ? ? 1 ?2 1 ? 4? ?1 B?? 4 ?6 2 ?2 4? ? ? ?3 ? 6 ? 9 7 9 ? ?

1 ?2 1 ?1 ? r ? r ?1 ?1 1 1 2 ?2 r3 ? 2 ? 2 ? 3 1 ?1 ? ?3 6 ?9 7 ?
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4? ? 2? ? B 1 ? 2 ? 9? ?

r2 ? ? r 31 ? r3 ? ? 22 r1 B1 ? ? 2 r 3 r 4? 1 ? ?3 ?

?1 ? ? 1 ?0 ?0 ? 3 ? ?0 ?6
?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

?1 2 ?2 1 ?5 1 ?3 9

?1 2 4?1 r 2 4 ?? r3 ? ? ?1 2 2? 2 r3 0 ?? 2 r1 ? B 2 ? ? 5 2 ?3 r ?6 ?1 3 r 4? 1 ? ? ? ?7 3 9? 4 ? 3 ? ?

r2 ? 2 r3 ? 5 r2
r r 4 ?3 2

1 ?2 1 4? ? 1 ?1 1 0? ? B3 ? 0 0 2 ?6 ? ? 0 0 1 ? 3?
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?1 ? r r 3? 0 ?4 B3 ? ? 0 r r 4 ?2 3 ? ?0 ?

11 ? ? 10 ? ? 00 ? ? 00 ?

12 ? 11 ? 00 00

?1 2 14? 4? ? ? r r ? 11 10? 0 3 4 ?? ? B 4 ? ? 16 ? 3 20 ? r ?2 r 4 3 ? ? ? ? 0 ? 03? 0? 1

r 1 ?r 2

r2 ? r3

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?
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? x1 ? x 3 ? 4 ? B5 对应的方程组为 ? x2 ? x3 ? 3 ? x ? ?3 ? 4

或令 x ,方程组的解可记作 3 ?c
? ? ? x?? ? ? ? x1 ? ? c ? 4 ? ?1? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? 1? ? 3 ? ? ?? ? c ? ? ?1? ? 0 ? x3 c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x4 ? ? ? 3 ? 0 ? 3 ? ? ? ?
其中 c为任意常数 .
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矩阵 B B . 4和 5 都称为行阶梯形矩阵
特点: (1)、可划出一 条阶梯线,线的下 方全为零; (2)、每个台 阶 只有一行,

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? 0 0 0 0? ?

台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个 元素为非零元,即非零行的第一个非零元.

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行阶梯形矩阵 B 还称为行最简形矩阵 即非 5 的其他元素都为零 .
变换把他变为行阶梯形 和行最简形 .
注意:行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行阶梯形 矩阵的行数也是由方程组唯一确定的. 行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标准形.

零行的第一个非零元为 1 ,且这些非零元所 列

对于任何矩阵 A 总可经过有限次初 m ? n,

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?1 ? 0 例如, B ? ? 5 ?0 ? ?0 ?
c c 3? 4 c ? c ? c 4 1 2

0 ?1 0 1 ?1 0 0 0

4? ? 3? 0 1 ? 3? ? ? 0 0 0?
0 1 0 0 0 0 1 0 0 ? 1 0 ?4 ? 4? ? ?? 0 ? 1 0 ?3 ? 3? ? F 000 ? 3? ?? 3? ? ? ? ? ? 0 0 0 ?0 ? 0? ?

?1 ? ?0 ?0 c ? 4 c ? 3 c ? 3 c ? 5 1 2 3 ?0 ?

矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
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特点: F 的左上角是一个单位矩 阵,其余元

为零 . m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形

O? ?E r F ?? ? ? O O?m?n 此标准形由 m ,n ,r三个数唯一确定,其 r就是

行阶梯形矩阵中非零行 的行数 . 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类,标准形 F 是这个等价类中最简 单的矩阵.
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三、小结
1.初等行(列)变换

? ? ? ? ? 1 r ? r c ? c ; i j i j ? ? ? ? ? ? 2 r ? k c ? k ; ? i i ? ? ? ? ? ? 3 r ? kr c ? kc . ? i j i j

初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同.

初等变换 B ? 2. A A ~ B .
3.矩阵等价具有的性质

? ? 1 反身性 ; ?? 2 对称性 ; ?? 3 传递性 .
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思考题
已知四元齐次方程组
四元齐次方程组 的通解为 ?II ?

?x 1 ?x 2 ?0 及另一 ?I?:? ?x 2 ?x 4 ?0

T T ? ? ? ? ? ? k 0 , 1 , 1 , 0 ? k ? 1 , 2 , 2 , 1 k , k ? R . 1 2 1 2

?? ? ? 问 I 与 II 是否有非零公共 ? 若有 , 求出来 ; 若没
有 , 说明理由 .

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思考题解答


? ? ? ? 将 II 的通解代入 I 得
?k k 2 k 0 ? 2? 1? 2? ? k ? ? k . 1 2 ? 2 k k 0 ?k 1? 2? 2?

? ? ? ? 故 II 与 I 的公共解为
? ? ? ? ? ? k 0 , 1 , 1 , 0 ? k ? 1 , 2 , 2 , 1 ? k ? 1 , 1 , 1 , 1 1
T 2 T 2 T

所有非零公共解为

? ?? ? k ? 1 , 1 , 1 , 1 k ? 0 .
T
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