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概率论与数理统计答案(1)

概率论与数理统计答案(1)

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概率论与数理统计习题及答案

习题 一
1 .见教材习题参考答案. 2.设 A,B,C 为三个事件,试用 A,B,C (1) A 发生,B,C 都不发生; (2) A 与 B 发生,C (3) A,B,C 都发生; (4) A,B,C (5) A,B,C 都不发生; (6) A,B,C (7) A,B,C 至多有 2 个发生; (8) A,B,C 至少有 2 个发生. 【解】 (1) A BC (2) AB C (3) ABC (4) A∪B∪C= AB C∪ A B C ∪A BC ∪ A BC∪A B C∪AB C ∪ABC= ABC (5) ABC = A

B C

(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C ∪ AB C∪A BC ∪ A B C ∪ ABC = ABC = A ∪ B ∪ C (8) AB∪BC∪CA=AB C ∪A B C∪ A BC∪ABC 3. .

4.设 A,B 为随机事件,且 P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求 P( AB ). 【解】 P( AB )=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设 A,B 是两事件,且 P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1) 在什么条件下 P(AB (2) 在什么条件下 P(AB

【解】 (1) 当 AB=A 时,P(AB)取到最大值为 0.6. (2) 当 A∪B=Ω 时,P(AB)取到最小值为 0.3. 6.设 A,B,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/12,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率.
---

-

【解】

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) =

1 1 1 1 3 + + ? = 4 4 3 12 4

7.

52 张扑克牌中任意取出 13 张,问有 5 张黑桃,3 张红心,3 张方块,2 张梅花的概率 是多少?
5 3 3 2 p= C13 C13 C13 C13 / C13 52

【解】 8.

(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】 (1) 设 A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故 P(A1)=

1 1 =( )5 5 7 7

(亦可用独立性求解,下同)

(2) 设 A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为 65,故 P(A2)=

65 6 5 =( ) 75 7
1 5 ) 7

(3) 设 A3={五个人的生日不都在星期日} P(A3)=1?P(A1)=1?(

9. .见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件,其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件(n<N).试求其中恰有 m 件(m ≤M)正品(记为 A)的概率. (1) n 件是同时取出的; (2) n (3) n 件是有放回逐件取出的.
n ?m n 【解】 (1) P(A)= Cm M CN ? M / CN n (2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有 PN 种,n 次抽取中有 m

次为正品的组合数为 Cm n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从 M 件正
m n?m 品中取 m 件的排列数有 PM 种,从 N?M 件次品中取 n?m 件的排列数为 PN ? M 种,


m n?m Cm n PM PN ? M P(A)= n PN

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 P(A)=
n ?m Cm M CN ?M Cn N

可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有 N 种取法,故所有可能的取法总数为 Nn 种,n
---

-

次抽取中有 m 次为正品的组合数为 Cm 对于固定的一种正、 次品的抽取次序, n 种, m 次取得正品,都有 M 种取法,共有 Mm 种取法,n?m 次取得次品,每次都有 N?M 种取法,共有(N?M)n?m 种取法,故
m n ?m P( A) ? Cm / Nn n M (N ? M )

此题也可用贝努里概型,共做了 n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为 m 件正品的概率为

M ,则取得 N

?M ? ? M ? P( A) ? C ? ? ?1 ? ? N? ?N? ?
m n

m

n ?m

11. 12.

.见教材习题参考答案. 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 个铆钉强度太弱.每个部件用 3 只铆 钉.若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少? 【解】设 A={发生一个部件强度太弱}
3 3 P( A) ? C1 10 C3 / C50 ?

1 1960

13.

7 个球,其中 4 个是白球,3 个是黑球,从中一次抽取 3 个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 Ai={恰有 i 个白球}(i=2,3) ,显然 A2 与 A3 互斥.

P( A2 ) ?
故 14.

1 C2 18 4 C3 ? , 3 C7 35

P( A3 ) ?

C3 4 4 ? 3 C7 35
22 35

P( A2

A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

0.8 和 0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:

(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设 Ai={第 i 批种子中的一粒发芽}, (i=1,2) (1) P( A 1A 2 ) ? P( A 1 ) P( A2 ) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.56 (2) P( A 1 (3) P( A 1 A2 15.

A2 ) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.94

A1 A2 ) ? 0.8 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.38

3 次正面才停止. (1) 问正好在第 6 次停止的概率; (2) 问正好在第 6 次停止的情况下,第 5 次也是出现正面的概率.
2 5

1 2 1 31 5 ? 【解】 (1) p1 ? C ( ) ( ) 2 2 2 32
---

1 1 31 C1 4 ( )( ) 2 2 4?2 (2) p2 ? 5 / 32 5

-

16.

0.7 及 0.6,每人各投了 3 次,求二人进球

数相等的概率. 【解】 设 Ai={甲进 i 球},i=0,1,2,3,Bi={乙进 i 球},i=0,1,2,3,则

P(

3 i ?0

2 1 2 Ai Bi 3 ) ? (0.3)3 (0.4)3 ? C1 3 0.7 ? (0.3) C 3 0.6 ? (0.4) ?

2 2 C3 (0.7)2 ? 0.3C3 (0.6)2 0.4+(0.7)3 (0.6)3

17 【解】 18.

=0.32076 5 双不同的鞋子中任取 4 只,求这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

p ? 1?

4 1 1 1 1 C5 C 2C C 2 C 2 2 13 ? 4 C10 21

0.3,下雨的概率为 0.5,既下雪又下雨的概率为 0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率; (2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设 A={下雨},B={下雪}. (1) p( B A) ?

P( AB) 0.1 ? ? 0.2 P( A) 0.5

(2) p( A 19.

B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.7

3 个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女是等可能的). 【解】 设 A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为 23=8,故

P( B A) ?

P( AB) 6 / 8 6 ? ? P( A) 7 / 8 7
6 7

或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为 7.

P ( B A) ?
20.

5%的男人和 0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是 男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设 A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式

P( A B ) ?
?
21.

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)

0.5 ? 0.05 20 ? 0.5 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.0025 21

9∶00~10∶00 在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.

---

-

题 21 图 题 22 图 【解】 设两人到达时刻为 x,y,则 0≤x,y≤60.事件 “一人要等另一人半小时以上” 等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示.

302 1 P? 2 ? 60 4
22. 0,1)中随机地取两个数,求:

6 的概率; 5 1 (2) 两个数之积小于 的概率. 4
(1) 两个数之和小于 【解】 设两数为 x,y,则 0<x,y<1. (1) x+y<

6 . 5

1 4 4 17 p1 ? 1 ? 2 5 5 ? ? 0.68 1 25 1 (2) xy=< . 4
1 ? 1 ? 1 1 p2 ? 1 ? ? ?1 dx ? 1 dy ? ? ? ln 2 4x ? 4 ? 4 2

23. 【解】

P( A )=0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5,求 P(B|A∪ B )

P( B A B ) ?

P( AB ) P A ( ? ) P AB ( ) ? P( A B) P( A) ? P( B) ? P( AB)

---

-

?
24.

0.7 ? 0.5 1 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 4

15 个乒乓球,其中有 9 个新球,在第一次比赛中任意取出 3 个球,比 赛后放回原盒中; 第二次比赛同样任意取出 3 个球, 求第二次取出的 3 个球均为新球的 概率. 【解】 设 Ai={第一次取出的 3 个球中有 i 个新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的 3 球均为新 球} 由全概率公式,有

P( B) ? ? P( B Ai ) P( Ai )
i ?0

3

?

2 3 2 1 C3 C3 C1 C8 C9 C6 C3 C3 C3 6 9 9 C6 7 9 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15

? 0.089
25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有 90%的可能考试及格,不努力学习的学 生有 90%的可能考试不及格.据调查,学生中有 80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设 A={被调查学生是努力学习的},则 A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知 P (A)=0.8,P( A )=0.2,又设 B={被调查学生考试及格}.由题意知 P(B|A)=0.9,P ( B | A )=0.9,故由贝叶斯公式知 (1) P( A B) ?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)
? 0.2 ? 0.1 1 ? ? 0.02702 0.8 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.1 37

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% (2)

P( A B) ?
?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)
0.8 ? 0.1 4 ? ? 0.3077 0.8 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.9 13

即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作 B 的概率为 0.02,而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是 A,试问原发信息是 A 的概率是多少? 【解】 设 A={原发信息是 A},则={原发信息是 B} C={收到信息是 A},则={收到信息是 B} 由贝叶斯公式,得

---

-

P( A C ) ?
?
27.

P( A) P(C A) P( A) P(C A) ? P( A) P(C A)

2 / 3 ? 0.98 ? 0.99492 2 / 3 ? 0.98 ? 1/ 3 ? 0.01

【解】设 Ai={箱中原有 i 个白球}(i=0,1,2) ,由题设条件知 P(Ai)= 出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1 ,i=0,1,2.又设 B={抽 3

P( A1 B) ?

P( B A1 ) P( A1 ) P( A1B) ? 2 P( B) ? P( B Ai ) P( Ai )
i ?0

?
28.

2 / 3 ?1/ 3 1 ? 1/ 3 ?1/ 3 ? 2 / 3 ?1/ 3 ? 1?1/ 3 3

96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率 为 0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05, 求在被检查后认为是合格品产品确 是合格品的概率. 【解】 设 A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得

P( A B ) ?
?
29.

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)

0.96 ? 0.98 ? 0.998 0.96 ? 0.98 ? 0.04 ? 0.05

.统计资料表明,上 述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30;如果“谨慎的”被保险人 占 20%, “一般的”占 50%, “冒失的”占 30%,现知某被保险人在一年内出了事故, 则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】 设 A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”}, C={该客户是“冒失的”},D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P ( A | D) ?
?
30.

P( AD) P( A) P( D | A) ? P ( D) P( A) P( D | A) ? P( B) P( D | B) ? P(C ) P( D | C )

0.2 ? 0.05 ? 0.057 0.2 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.15 ? 0.3 ? 0.3

0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设 Ai={第 i 道工序出次品}(i=1,2,3,4).

P( Ai ) ? 1 ? P( A1 A2 A3 A4 )
i ?1

4

? 1 ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
---

-

? 1 ? 0.98 ? 0.97 ? 0.95 ? 0.97 ? 0.124
31. 0.2, 问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于 0.9? 【解】设必须进行 n 次独立射击.

1 ? (0.8)n ? 0.9
即为 故 至少必须进行 11 次独立射击. 32. 【证】

(0.8)n ? 0.1
n≥11

P(A|B)=P(A| B ),则 A,B 相互独立. 即 P( A | B) ? P( A | B )

P( AB) P( AB) ? P( B) P( B)

亦即

P( AB) P( B) ? P( AB) P( B)
P( AB)[1 ? P( B)] ? [ P( A) ? P( AB)]P( B)

因此 故 A 与 B 相互独立. 33.

P( AB) ? P( A) P( B)
1 1 1 , , ,求将此密码破译出 5 3 4

的概率. 【解】 设 Ai={第 i 人能破译}(i=1,2,3) ,则

P ( Ai ) ? 1 ? P ( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
i ?1

3

4 2 3 ? 1 ? ? ? ? 0.6 5 3 4
34. 0.4,0.5,0.7,若只有一人 击中,则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为 0.6;若三人 都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设 A={飞机被击落},Bi={恰有 i 人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得

P( A) ? ? P( A | Bi )P( Bi )
i ?0

3

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35. 25%, 为试验一种新药是否有效, 把它给 10 个病人服用, 且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到 35%,但通过试验被否定的概率.
---

-

(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】 (1) p1 ?

?C
k ?0 k 10

3

k 10

(0.35)k (0.65)10?k ? 0.5138

(2) p2 ? 36.

?C
k ?4

10

(0.25)k (0.75)10?k ? 0.2241

6 位乘客, 并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率: (1) A=“某指定的一层有两位乘客离开” ; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开” ; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开,故所有可能结果为 106 种. (1) P( A) ?
2 4 C6 9 ,也可由 6 重贝努里模型: 106
2 1 2 9 4 P ( A) ? C6 ( ) ( ) 10 10

(2) 6 个人在十层中任意六层离开,故
6 P10 P( B) ? 6 10

(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有 C1 10 种可能结果,再从
2 六人中选二人在该层离开, 有 C6 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情

况,因此可包含以下三种离开方式:①4 人中有 3 个人在同一层离开,另一人在其余
3 1 1 8 层中任一层离开,共有 C1 9C4C8 种可能结果;②4 人同时离开,有 C9 种可能结果;

③4 个人都不在同一层离开,有 P94 种可能结果,故
2 1 3 1 1 4 6 P(C) ? C1 10C6 (C9C4C8 ? C9 ? P 9 ) /10

(4) D= B .故

P( D) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

6 P10 106

37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率; (3) 如果 n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) p1 ?

1 n ?1

---

-

(2) p2 ? (3) p1? ?

3!(n ? 3)! ,n ? 3 (n ? 1)!
(n ? 1)! 1 ? 3!( n ? 2)! ? ; p2 ? ,n ? 3 n! n n!

38. [0,a] 【解】 设这三段长分别为 x,y,a?x?y.则基本事件集为由 0<x<a,0<y<a,0<a?x?y<a 所构成的图形,有利事件集为由

?x ? y ? a ? x ? y ? x ? (a ? x ? y ) ? y ? ? y ? (a ? x ? y ) ? x ?
构成的图形,即

a ? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? a ? 2 ?a ? ? x? y ?a ?2 ?
如图阴影部分所示,故所求概率为 p ?

1 . 4

39. 某人有 n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的). 证明试开 k 次(k=1,2,…,n)才能把门打开的概率与 k 无关. 【证】

Pnk??11 1 p ? k ? , k ?1 , 2 , n , Pn n

40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出 一个,试求它有 i 面涂有颜色的概率 P(Ai) (i=0,1,2,3). 【解】 设 Ai={小立方体有 i 面涂有颜色},i=0,1,2,3. 在 1 千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的 小立方体共有 8 个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂 色的,这样的小立方体共有 12×8=96 个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小 立方体是一面涂色的,共有 8×8×6=384 个.其余 1000?(8+96+384)=512 个内部的 小立方体是无色的,故所求概率为

512 384 ? 0.512, P ( A1 ) ? ? 0.384 , 1000 1000 96 8 P( A2 ) ? ? 0.096, P( A4 ) ? ? 0.008 . 1000 1000 P( A0 ) ?
41.对任意的随机事件 A,B,C P(AB)+P(AC)?P(BC)≤P(A). 【证】

P( A) ? P[ A( B C )] ? P( AB

AC)

? P( AB) ? P( AC) ? P( ABC)
---

-

? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC )
42. 3 个球随机地放入 4 个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率.

【解】 设 Ai ={杯中球的最大个数为 i},i=1,2,3. 将 3 个球随机放入 4 个杯子中,全部可能放法有 43 种,杯中球的最大个数为 1 时, 每个杯中最多放一球,故

P( A1 ) ?

C3 3 4 3! ? 3 4 8

而杯中球的最大个数为 3,即三个球全放入一个杯中,故

P( A3 ) ?
因此

C1 1 4 ? 3 4 16

3 1 9 P( A2 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? 1 ? ? ? 8 16 16



P( A2 ) ?

2 1 C1 9 4 C3 C3 ? 3 4 16

43. 2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷 2n 次硬币,可能出现:A={正面次数多于反面次数},B={正面次数少于反面次数}, C={正面次数等于反面次数},A,B,C 两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故 P(A)=P(B).所以

P( A) ?

1 ? P(C ) 2

由 2n 重贝努里试验中正面出现 n 次的概率为
n 1 n 1 n P(C ) ? C2 n( ) ( ) 2 2 1 1 P( A) ? [1 ? Cn 2n 2n ] 2 2



44. n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设 A={出现正面次数多于反面次数},B={出现反面次数多于正面次数},由对称性知 P(A)=P(B) (1) 当 n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由 P(A)+P(B)=1 得 P(A)=P(B) =0.5 (2) 当 n 为偶数时,由上题知
n 1 1 2 P( A) ? [1 ? Cn ( )n ] 2 2

45. n+1 次,乙掷 n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数. 乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有 =(甲正≤乙正)=(n+1?甲反≤n?乙反) (甲正 >乙正)
---

-

=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反) 由对称性知 P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反) 因此 P(甲正>乙正)= 46.

1 2
Sure?thing) :若 P(A|C)≥P(B|C),P(A| C )≥P(B| C ),则 P(A)

≥P(B). 【证】由 P(A|C)≥P(B|C),得

P( AC ) P( BC ) ? , P(C ) P(C )
即有 同理由 得 故

P( AC ) ? P( BC )

P( A | C) ? P(B | C), P( AC) ? P(BC), P( A) ? P( AC) ? P( AC) ? P(BC) ? P(BC) ? P(B)

47.一列火车共有 n 节车厢, 有 k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率. 【解】 设 Ai={第 i 节车厢是空的}, (i=1,…,n),则

(n ? 1) k 1 P ( Ai ) ? ? (1 ? ) k k n n 2 P ( Ai A j ) ? (1 ? ) k n P ( Ai1 Ai2 Ain?1 ) ? (1 ? n ?1 k ) n

其中 i1,i2,…,in?1 是 1,2,…,n 中的任 n?1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零,于是
n 1 1 k S1 ? ? P ( Ai ) ? n(1 ? ) k ? C1 n (1 ? ) n n i ?1 2 2 S 2 ? ? P ( Ai A j ) ?C n (1 ? ) k n 1?i ? j ? n

S n ?1 ? Sn ? 0

1?i1 ?i2 ? in?1 ? n

?

P ( Ai1 Ai2

n ?1 Ain?1 ) ?C n (1 ?

n ?1 k ) n

P ( Ai ) ? S1 ? S 2 ? S3 ?
i ?1

n

? (?1) n ?1 S n

---

-

1 k 2 k 2 ? C1 n (1 ? ) ? C n (1 ? ) ? n n
故所求概率为
n 1 k 2 i 2 1 ? P( Ai ) ? 1 ? C1 n (1 ? ) ? C n (1 ? ) ? i ?1 n n

?1 ? (?1) n Cn n (1 ?

n ?1 k ) n

?1 ? ( ?1) n ?1 C n n (1 ?

n ?1 k ) n

48.设随机试验中,某一事件 A 出现的概率为ε >0.试证明:不论ε >0 如何小,只要不断地独 立地重复做此试验,则 A 迟早会出现的概率为 1. 【证】 在前 n 次试验中,A 至少出现一次的概率为

1 ? (1 ? ? )n ? 1(n ? ?)
49.袋中装有 m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只, 将它投掷 r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设 A={投掷硬币 r 次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知

P( B) ?

m n , P( B) ? m?n m?n 1 P( A | B) ? r , P( A | B) ? 1 2

则由贝叶斯公式知

P( B | A) ?

P( AB) P( B) P( A | B) ? P( A) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B )

m 1 m m ? n 2r ? ? m 1 n m ? 2r n ? 1 m ? n 2r m ? n
50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有 N 根火柴,每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有 r 根的概率又 【解】以 B1、B2 记火柴取自不同两盒的事件,则有 P( B1 ) ? P ( B2 ) ?

1 .(1)发现一盒已空, 2

另一盒恰剩 r 根,说明已取了 2n?r 次,设 n 次取自 B1 盒(已空) ,n?r 次取自 B2 盒, 第 2n?r+1 次拿起 B1,发现已空。把取 2n?r 次火柴视作 2n?r 重贝努里试验,则所求 概率为

1 n 1 n?r 1 1 n p1 ? 2C2 ? Cn n?r ( ) ( ) n?r 2r ?r 2 2 2 2
式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性(即也可以是 B2 盒先取空). (2) 前 2n?r?1 次取火柴,有 n?1 次取自 B1 盒,n?r 次取自 B2 盒,第 2n?r 次取自 B1 盒,故概率为

1 n ?1 1 n ? r 1 1 2 n ? r ?1 n ?1 ?1 p2 ? 2C2 ( ) ? Cn n ? r ?1 ( ) 2 n ? r ?1 ( ) 2 2 2 2
51.
---

n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.

-

【解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由
0 n 1 n?1 2 n ?2 (q ? p)n ? C0 ? C2 ? n p q ? Cn pq np q 0 n 1 n?1 2 2 n ?2 (q ? p)n ? C0 ? Cn pq ? n p q ? Cn pq n 0 ? Cn n p q ?1 n n 0 ? (?1)n Cn pq

以上两式相减得所求概率为
n?1 3 n?3 p1 ? C1 ? C3 ? n pq np q

1 ? [1 ? (q ? p) n ] 2 1 ? [1 ? (1 ? 2 p ) n ] 2
若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得

1 p2 ? [1 ? (1 ? 2 p) n ] . 2
52.设 A,B 是任意两个随机事件,求 P{( A +B) (A+B) (A+B ) (A+ B )}的值. 【解】因为(A∪B)∩( A ∪ B )=A B ∪ A B ( A ∪B)∩(A∪ B )=AB∪ AB 所求

( A ? B)( A ? B)( A ? B)( A ? B) ? [( AB
??

AB) ( AB ? AB)]

故所求值为 0. 53.设两两相互独立的三事件,A,B 和 C ABC=?,P(A)=P(B)=P(C)< 1/2,且 P(A∪B∪C)=9/16,求 P(A). 【解】由 P( A

B C) ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )
? 3P( A) ? 3[ P( A)]2 ? 9 16

故 P( A) ?

1 3 1 1 或 ,按题设 P(A)< ,故 P(A)= . 4 4 2 4

54.设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9, A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,求 P(A). 【解】

P( A B)? P( A

B ) ? 1 ?

P( A

1 B ? ) 9

① ②

P( AB) ? P( AB)
故 故
---

P( A) ? P( AB) ? P( B) ? P( AB) P( A) ? P( B)


-

由 A,B 的独立性,及①、③式有

1 ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) 9

? 1 ? 2P( A) ? [ P( A)]2 ? [1 ? P( A)]2
故 故 即 P(A)=

1 ? P ( A) ? ? P( A) ?

1 3

2 4 或 P( A) ? (舍去) 3 3

2 . 3

55.随机地向半圆 0<y<

2ax ? x2 (a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与
1 π a2.阴影部分面积为 2 π 2 1 2 a ? a 4 2

区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于π /4 【解】利用几何概率来求,图中半圆面积为

故所求概率为

π 2 1 2 a ? a 2 ?1?1 p? 4 1 2 2 π πa 2
56. 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格 品,求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设 A={两件中至少有一件是不合格品},B={另一件也是不合格品}

C2 4 2 C10 P( AB) 1 P( B | A) ? ? ? 2 C P( A) 5 1- 26 C10
57.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q. 【解】设 Ai={报名表是取自第 i 区的考生},i=1,2,3. Bj={第 j 次取出的是女生表},j=1,2. 则

1 P ( Ai ) ? , i ? 1, 2,3 3 3 7 5 P( B1 | A1 ) ? , P( B1 | A2 ) ? , P( B1 | A3 ) ? 10 15 25

---

-

(1) p ? P( B1 ) ?

? P( B | A ) ? 3 (10 ? 15 ? 25) ? 90
i ?1 1 i

3

1 3

7

5

29

(2) q ? P( B1 | B2 ) ?

P( B1 B2 ) P( B2 )
3



P( B 2 ) ? ? P( B 2 | Ai ) P( Ai )
i ?1

1 7 8 20 61 ? ( ? ? )? 3 10 15 25 90

P( B1 B2 ) ? ? P( B1 B 2 | Ai ) P( Ai )
i ?1

3



1 3 7 7 8 5 20 2 ? ( ? ? ? ? ? )? 3 10 9 15 14 25 24 9 2 P( B1 B 2 ) 9 20 q? ? ? 61 61 P( B2 ) 90

58. 设 A,B 为随机事件,且 P(B)>0,P(A|B)=1,试比较 P(A∪B)与 P(A)的大小. (2006 研考) 解:因为

P( A B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)

P( AB) ? P(B) ? P( A B) ? P(B)
所以

P( A B) ? P( A) ? P( B) ? P( B) ? P( A) .

---


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