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圆锥综合练习(1)含答案``

圆锥综合练习(1)含答案``


圆锥曲线(1)分享 1、 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点, 点 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离和的 最小值是 2、已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a 2 b2
.

M , N 两点,O 为坐标原点.若 OM ? ON , 则双曲线的离心率为
3、若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1( a2 ? b2 ? 0 )的

焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点; ③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ;
2 2 2 2



a1 b1 ? ; a2 b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . .

其中,所有正确结论的序号是

4、设抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PA ? l ,A 为垂足,如果直 线 AF 的斜率为 3 ,那么 PF ? . .

x2 y 2 5、双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为 a b

6、已知点 A(1, 2) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 与直线 l : y ? k ( x ? 1) 的一个交点,则抛物线 C 的 焦点到直线 l 的距离是 7、 设抛物线 y 2 ? px 的焦点与椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合, p 的值为 则 6 2

.

8、已知点 A(?1, 0), B (1, 0) 及抛物线 y 2 ? 2 x ,若抛物线上点 P 满足 PA ? m PB ,则 m 的 最大值为
2

.

9、已知抛物线的方程是 y ? 8x ,双曲线的右焦点是抛物线的焦点,离心率为 2,则双曲线 的标准方程是 ,其渐近线方程是 . 10、已知△ABC 的顶点 A(1,4) ,若点 B 在 y 轴上,点 C 在直线 y=x 上,则△ABC 的周长的最 小值是 . 11、已知圆 C 过三点 O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) ,则与圆 C 相切且与坐标轴上截距相等 的切线方程是 . 12、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c, a2 b2
-1-

则 ?PF F2 的内切圆的圆心横坐标为 1



13、已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 1) ,离心率为 .过点 B(3, 0) 的直 2 a b 2

线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 BM ? BN 的取值范围; (Ⅲ)设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 k AM 和 k AN ,求证: k AM ? k AN 为定值.

???? ??? ? ?

14、已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦点 F (? 3,0) ,且离心率 e ? 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N( M , N 不是左、 右顶点) , 且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

15、在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大

1 4

1 ,设 4

动点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l : y ? kx ? 1 交曲线 C 于 A, B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)证明:曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅲ)若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,求 k 的取值范围.

-2-

圆锥曲线 1 参考答案 1、 2 2、

1? 5 、 ①③④ 4、 3、 8 2

5、 2

6、 2
7 2

7、 8

8、 3

9、x ?
2

y2 ?1 3

y ? ? 3x 10、 34

11、 3x ? 4 y ? 0 或 x + y =

5 2 12、 ? a 2

?4 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? x2 y 2 ? 13、 (Ⅰ) 解: 由题意得 ? a 2 ? b 2 ? c 2 , 解得 a ? 6 , ? 3 . 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. b 6 3 ? ?c ? 2 . ?a 2 ?
(Ⅱ)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 3) ,

? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ?12k x ? 18k ? 6 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?6
因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , 所以 ? ? 144k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 . 设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 2 18k 2 ? 6 , x1 x2 ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 BM ? BN ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2

???? ??? ? ?

? (1 ? k )[ x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9]
2

3 ? 3k 2 ? 1 ? 2k 2

?

3 3 ? . 2 2(1 ? 2k 2 ) 3 3 ? ≤3 . 2 2(1 ? 2k 2 )

因为 ?1 ? k ? 1 ,所以 2 ?

故 BM ? BN 的取值范围为 (2, 3] . (Ⅲ)由(Ⅱ)得 k AM ? k AN ?

???? ??? ? ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2

?

(kx1 ? 3k ? 1)( x2 ? 2) ? (kx2 ? 3k ? 1)( x1 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
-3-

?

2kx1 x2 ? (5k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 12k ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

2k (18k 2 ? 6) ? (5k ? 1) ?12k 2 ? (12k ? 4)(1 ? 2k 2 ) 18k 2 ? 6 ? 24k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )
?4k 2 ? 4 ? ?2 . 2k 2 ? 2

?

所以 k AM ? k AN 为定值 ?2 . 14、

?c ? 3 ? c 3 ? 解: (Ⅰ)由题意可知: ?e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 1

所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

? x2 ? ? y2 ? 1 (II)证明:由方程组 ? 4 ? y ? kx ? m ?

得( ? 4k 2 ) x 2 ? 8k m x 4m 2 ? 4 ? 0 ….4 分 1 ?

? ? (8km) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0
整理得 4k ? m ? 1 ? 0
2 2

设 M ( x1 , x2 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0)

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

-4-

也即 (1 ? k )) ?
2

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

整理得: 5m ? 16mk ? 12k ? 0
2

解得 m ? ?2k或m ? ? 当

6k 2 2 均满足 4k ? m ? 1 ? 0 5

m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去

6k 6 6 时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ? ) ,过定点 ( ,0) 5 5 5 6 故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( ,0) 5 1 1 15、 (Ⅰ)解:由已知,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离与动点 P 到直线 y ? ? 的距离相等. 4 4
当m ? ? 由抛物线定义可知,动点 P 的轨迹为以 (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 抛物线. 所以曲线 C 的方程为 y ? x2 . (Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由?

1 4

1 为准线的 4

? y ? x2 , ? y ? kx ? 1,

得 x ? kx ? 1 ? 0 .
2

所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 . 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 因为 MN ? x 轴, 所以 N 点的横坐标为
2

k . 2

k . 2

由 y ? x ,可得 y ' ? 2 x 所以当 x ?

k 时, y ' ? k . 2

所以曲线 C 在点 N 处的切线斜率为 k ,与直线 AB 平行. (Ⅲ)解:由已知, k ? 0 . 设直线 l 的垂线为 l ' : y ? ?
2 代入 y ? x ,可得 x ?
2

1 x ? b. k
(*)

1 x?b ? 0 k
-5-

若存在两点 D( x3 , y3 ), E( x4 , y4 ) 关于直线 l 对称, 则

x3 ? x4 y ? y4 1 1 ?? ? 2 ?b , 3 2 2k 2 2k x3 ? x4 y3 ? y4 , ) 在 l 上, 2 2 1 1 1 1 ? b ? k (? ) ? 1 , b ? ? 2 . 2 2k 2k 2 2k

又(

所以

由方程(*)有两个不等实根 所以 ? ? ( ) ? 4b ? 0 ,即
2

1 k

1 2 ?2? 2 ? 0 2 k k


所以

1 2 2 ? 2 ,解得 k ? ? 或k ? . 2 k 2 2

-6-


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