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浙江省2017高中数学考试大纲

浙江省2017高中数学考试大纲



一、考试性质与对象



(必修+限定选修)

数学是普通高等学校招生全国统一考试的必考科目, 数学高考是由合格的高中毕业生和 具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩,按已确定的招生计划, 考试成绩及综合素质评价,择优录取。因此,数学高考应具有较高的信度、效度,必要的区 分度和适当的难度。

二、考核要求
依据高校人才选拔要求和国家课程标准,科学设计命题内容,增强基础性、综合性,突 出能力立意。主要考查学生运用所学知识独立思考与分析问题、解决问题的能力。数学学科 的考试,要发挥数学作为主要基础学科的作用,既考查考生的基础知识、基本技能的掌握程 度,又考查考生对数学思想方法、数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能。

(一) 知识要求
知识是指《普通高中数学课程标准(实验) 》中的必修课程及限定选修课程中的数学概 念、性质、法则、公式、公理、定理以及与其相关的基础知识和思想方法。 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 1.了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识。知道这一知识内容是什么, 能在有关的问题中加以区分。按照一定的程序和步骤简单模仿。 2.理解:要求对所列知识内容有理性认识,知道知识间的逻辑关系。能用数学语言对 相关问题进行描述,对比较、判别、讨论的过程作出恰当的表述。具备利用所学知识解决简 单问题的能力。 3.掌握:要求对所列知识内容有深刻的理性认识,熟悉相关知识间的逻辑关系。对所 列的知识内容能够推导证明,灵活运用相关知识与思想方法进行分析、研究、讨论。具备综 合利用相关知识解决问题的能力。 “会”或“能”相当于此层次的要求。

(二) 能力要求
数学具有严密的逻辑性、 结论的确定性和应用的广泛性等特点, 在培养学生能力的过程 中发挥重要的作用。数学学科考试既要考查基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动 经验,又要考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、综合 应用能力。 (一)逻辑思维能力 逻辑思维能力是指通过对事物观察、比较、判断、分析、综合进行归纳、概括、抽象、 演绎、推理,准确有条理地表达自己思维过程的能力。 逻辑思维能力主要考查能正确领会题意, 明确解题目标, 能寻找到实现解题目标的方向 和合适的解题步骤。能通过符合逻辑的运算和推理,正确地表述解题过程的能力。做到因果 关系明晰,陈述层次清楚,推理过程有据。
1

(二)空间想象能力 空间想象能力是指根据空间几何体的图形或几何形体的描述能想象出相应的空间形体 的能力;根据想象的空间几何形体,画出相应空间几何体的图形,并能正确描述相应的空间 几何形体的能力。对已有的空间几何形体进行分解、组合,产生新的空间几体形体,能正确 分析其位置关系与数量关系,并对几何形体的位置关系和数量关系进行论证与求解。 空间想象能力主要是通过考查对点、线、面、体与经过简单组合的几何形体和相互间的 位置关系的理解、掌握程度,同时考查对几何形体进行分析、提取、概括来揭示其本质特征 的能力,灵活运用几何形体的特性进行论证与求解的能力。 (三)运算求解能力 运算求解能力是指能根据法则、公式进行正确运算、变形的能力;根据问题的条件和目 标, 寻找多种途径, 并能比较不同途径的特点, 设计较为适合的方法进行运算、 变形的能力; 根据要求进行估计和近似计算的能力。 运算求解能力主要考查对算式进行的计算、变形,对几何图形的几何量的计算求解,对 数值的估值和近似计算等的能力。进一步考查对条件分析、方向探究、公式选择、步骤确定 等一系列过程中运算求解的能力。 (四)数据处理能力 数据处理能力是指对各种形式的数据进行收集、整理、筛选、分类、计算、操作及分析 的能力,能从数据中得出有用的信息,并作出合理判断。 数据处理能力主要通过考查排列、组合、概率与统计来实施,能对数据和随机数据进行 提炼得出数据的数字特征,同时考查能对众多数据进行合理筛选、选择模型、综合分析数据 的思维能力。 (五)综合应用能力 综合应用能力指的是对所提供的信息进行归纳、 整理和分类, 将实际问题抽象为数学问 题的能力;能对具体问题陈述的材料用数学语言正确地表述,用所学的数学知识、思想和方 法解决问题的能力;能将一些具体的材料进行归纳、总结、提炼、抽象,从而形成新的认知 与方法的能力。 综合应用能力主要考查对所学数学知识、 方法进行综合与灵活运用的能力; 对相关学科、 实际生活中的问题构建适当的数学模型, 并加以解决的能力。 同时考查对简单的探究性问题 进行思考和研究,提出解决问题的思路,给出较为新颖的方法,解决问题并进行适当拓广、 延伸的能力。

三、考查内容及要求
(一) 集合与常用逻辑用语
考试内容: 集合及其表示、元素与集合的关系、集合间的基本关系。集合的基本运算。命题的四种 形式,充分条件、必要条件和充要条件。 考试要求: 1.了解集合、元素的含义及其关系。

2

2.理解全集、空集、子集的含义,及集合之间的包含、相等关系。 3.掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 4.会求简单集合的并集、交集。 5.理解补集的含义,且会求补集。 6.理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及其相互之间的关系。 7.了解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义。 8.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分 条件、必要条件、充要条件。

(二) 函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)
考试内容: 函数、映射的概念与函数的表示方法。函数的单调性、奇偶性、周期性、最大(小)值。 指数函数,对数函数,幂函数。函数与方程之间的关系。函数的简单应用。 考试要求: 1.了解函数、映射的概念,会求简单的函数的定义域和值域。 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法。 3.了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题。 4.理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性,了解函数的周期性。 5.理解函数的最大(小)值的含义,会求函数的最大(小)值。 6.了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算。 7.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用。 8.理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式。理解对数函数的概念,掌握对数 函数的图象、性质及应用。 9.了解幂函数的概念.掌握幂函数
y?x,y? x ,y? x ,y ?
2
3

1 x

1

, y ? x2

的图象和性质。 10.理解函数零点的概念。 11.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。 12.能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决。

(三) 基本初等函数Ⅱ(三角函数)
考试内容: 角的概念、角度制与弧度制,三角函数的定义。三角函数的图象与性质,诱导公式,同 角三角函数关系,函数 y=A sin (ωx+φ)。两角和与差的三角函数公式,简单的三角恒等变 换。正弦定理和余弦定理及应用。 考试要求: 1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算。 2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质,了解三角函数的周期
3

性。 3.理解同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦、正切的诱导公式。 4. 了解函数 y=A sin (ωx+φ) 的物理意义, 掌握 y=A sin (ωx+φ) 的图象, 了解参数 A, ω,φ 对函数图象变化的影响。 5.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公 式。 6.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。 7.掌握正弦定理、余弦定理及其应用。

(四) 数列与数学归纳法
考试内容: 数列的概念和表示法,等差数列,等比数列。数学归纳法。 考试要求: 1.了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、公式)。 2.理解等差数列、等比数列的概念,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和 公式及其应用。 3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。 4.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。 5.了解数学归纳原理,会用数学归纳法证明简单的数学命题。

(五) 不等式
考试内容: 不等关系及其性质,一元二次不等式。二元一次不等式组与简单线性规划问题。基本不 等式、绝对值不等式及其应用。 考试要求: 1.了解不等关系,掌握不等式的性质。 2.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。会解一元二次不 等式。 3.了解二元一次不等式的几何意义,掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系, 并会求解简单的二元线性规划问题。 4.掌握基本不等式
a?b ≥ ab (a,b>0)及其应用。 2

5.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式。 6.掌握不等式 | a | ? | b | ≤|a+b|≤|a|+|b|及其应用。

(六) 平面向量
考试内容: 平面向量的基本概念, 平面向量的线性运算及几何意义, 平面向量的基本定理及坐标表 示,平面向量的数量积,平面向量的应用。
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考试要求: 1.理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向 量、向量夹角的概念。 2.掌握向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义。 3.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题。 4.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 5.掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。 6.理解平面向量数量积的概念及其意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 7.掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。 8.会用坐标表示平面向量的平行与垂直。 9.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

(七) 平面解析几何
考试内容: 平面直角坐标系,直线方程,直线倾斜角与斜率。两直线的交点坐标,两点间的距离, 点到直线的距离,两条平行直线间的距离。两直线平行与垂直。 曲线与方程的概念, 求曲线方程的基本方法。 圆的标准方程与一般方程, 椭圆、 双曲线、 抛物线的标准方程及简单几何性质,直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的位置关系,圆与圆 的位置关系。数形结合思想及简单应用。 考试要求: 1.理解平面直角坐标系,理解直线的倾斜角与斜率的概念,掌握直线方程的点斜式、 两点式及一般式,了解直线方程与一次函数的关系。 2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 3.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两 条平行直线间的距离。 4.掌握圆的标准方程与一般方程。 5.掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。 6.会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题,会判断圆与圆的位置关系。 7.了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质,了解直线与双曲线的位 置关系。 8.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。 9.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。

(八) 立体几何与空间向量
考试内容: 柱、锥、台、球的结构特征,柱、锥、台、球及简单组合体的三视图,空间几何体的直 观图(斜二测画法) ,平行投影与中心投影,柱、锥、台、球的表面积与体积。 空间点、直线、平面的位置关系,公理、判定定理和性质定理。两条异面直线所成角、 直线与平面所成角、二面角的概念。
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空间直角坐标系,空间向量,空间向量的加、减、数乘、数量积的运算及其意义,空间 向量的基本定理、正交分解与坐标表示,空间向量坐标表示的运算,直线的方向向量与平面 的法向量,立体几何中的向量方法。 考试要求: 1.了解多面体和旋转体的概念,理解柱、锥、台、球的结构特征。 2.理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义,了解中心投影的含义, 掌握平行投影的含义。 3.理解三视图和直观图间的关系,掌握三视图所表示的空间几何体。会用斜二测法画 出它们的直观图。 4.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面位置关系的定义,掌握公理、判定定理 和如下性质定理: (1) 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条 直线就和交线平行。 (2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行。 (3) 垂直于同一个平面的两条直线平行。 (4) 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 (5) 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 (6) 三垂线定理及逆定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直。 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线的射影垂直。 5.了解两点间距离、点到平面的距离的含义。 6.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。 7.会计算柱、锥、台、球的表面积和体积。 8.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置。 9.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示。 10.掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算。 11.掌握空间两点间的距离公式,会求向量的长度、两向量夹角,并会解决简单的立体 几何问题。 12.理解直线的方向向量与平面的法向量,会用向量方法证明直线、平面位置关系的有 关命题。 13.会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题。

(九) 计数原理与古典概率
考试内容: 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,排列与组合,二项式定理,杨辉三角与二项式 系数。事件、事件的关系与运算,互斥、对立、独立事件,概率与频率,古典概型。随机变 量及随机变量的分布列、均值、方差,n 次独立重复试验的模型及二项分布。解决简单的实 际问题。 考试要求:
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1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,会解决简单的计数问题。 2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题。 3.了解“杨辉三角”的特征,掌握二项式系数的性质及其简单应用。 4.掌握二项式定理,会用二项式定理解决有关的简单问题。 5.掌握事件、事件的关系与运算,掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率 的计算。了解条件概率的概念。 6.了解概率与频率概念,理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率。 7.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,理解两点分布,理解 n 次独 立重复试验的模型及二项分布,并能进行简单的应用。 8.理解随机变量的均值、方差的概念,会计算取有限个值的简单离散型随机变量的均 值、方差,并能解决简单的实际问题。

(十) 导数及其应用
考试内容: 导数的概念与几何意义,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则。利用导数求函数 的单调性、极值、最大(小)值。会用导数解决某些实际问题。 考试要求: 1.了解导数的概念与实际背景,理解导数的几何意义。 2.会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单 的复合函数的导数(限于形如 f (ax ? b) 的导数) 。 3.了解函数单调性和导数的关系,会用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 4.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极 小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题。

(十一) 复数
考试内容: 复数的概念,复数的加、减运算的几何意义,复数的四则运算。 考试要求: 1.理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念。 2.了解复数的加、减运算的几何意义。 3.掌握复数代数形式的四则运算。

四、考试形式及试卷结构
考试采用闭卷、笔试形式.全卷满分为 150 分,考试时间为 150 分钟。全卷包括Ⅰ卷和 Ⅱ卷,Ⅰ卷为选择题,Ⅱ卷为非选择题。 试卷一般包括选择题、填空题和解答题等题型。选择题是四选一型的单项选择题;填空 题只要求填写结果, 不必写出计算过程或推证过程; 解答题包括计算题、 证明题和应用题等, 解答应写出文字说明、演算步骤或推理论证过程。 各题型赋分如下:选择题约 40 分,填空题约 30 分,解答题约 80 分。

7

考查内容分值所占比例与教学课时数所占比例基本相符。

五、题型示例
(一) 选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知互相垂直的平面 ? , ? 交于直线 l ,若直线 m, n 满足 m // ? , n ? ? ,则 A. m // l B. m // n C. n ? l D. m ? n

2.设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:
? a,a≤b, a∧b= ? ? b,a>b, ? b,a≤b, a∨b= ? ? a,a>b.

若正数 a,b,c,d 满足 ab≥4,c+d≤4,则 A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2 3.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f (x)=e x (x-1) k A.当 k=1 时,f (x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f (x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f (x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f (x)在 x=1 处取到极大值 4.已知向量 a≠e,|e|=1,对任意 t∈R,恒有|a-t e|≥|a-e|,则 A.a⊥e B. a⊥(a-e) C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e) (k=1,2),则

(二) 填空题
1. 设全集为 R, A={x|x≥2}, B={x|-5≤x≤5}, 则 A∩B=
R A=

, A∪B=



. ,最大值是 . ,

2.设函数 f(x)=2 sin 3x+cos 3x,则 f(x)的周期是

1 3 3.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,则 P(ξ=2)= 5 5

E(ξ)=

,D(ξ) =

. .

4.设函数 f (x)= ?

2 ? ? x ? x, x ? 0, 若 f (f (a))≤2,则实数 a 的取值范围是 2 ? x , x ? 0. ? ?

(三) 解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3 ,
cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B .

(Ⅰ) 求角 C 的大小; 4 (Ⅱ) 若 sin A ? ,求△ABC 的面积. 5

8

2.设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出 一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (Ⅰ) 当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取 (有放回,且每球取到的机会均等) 2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (Ⅱ) 从该袋子中任取 (每球取到的机会均等) 1 个球, 记随机变量 η 为取出此球所得
5 5 分数.若 E (? ) = , D(? ) = ,求 a : b : c. 3 9
A

3. 如图, 在四棱锥 A-BCDE 中, 平面 ABC⊥平面 BCDE, ∠CDE=∠BDE=90° , AB=CD=2, DE=BE=1, AC= 2 . (Ⅰ) 证明:DE⊥平面 ACD; (Ⅱ) 求二面角 B-AD-E 的大小.
E B D C

(第 3 题图)
y

4.如图,已知函数 f (x)=x +x ,数列{xn}(xn>0)的第一项 x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线 y=f (x) 在(xn+1,f (xn+1)) 处的切线与经过(0,0)和(xn,f (xn ))两点的直线平行. 求证:当 n∈N*时:
2 (Ⅰ) x 2 n +xn=3 x n ?1 +2 x n ?1 ;

3

2

?1? (Ⅱ) ? ? ?2?

n ?1

?1? ≤xn≤ ? ? ?2?

n?2

O

xn+1

xn

x



(第 4 题图)

5.如图,设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),动直线 a 2 b2

y P O x

l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限. (Ⅰ) 已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的 坐标; (Ⅱ) 若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到 直线 l1 距离的最大值为 a-b. 6.已知 a>0,b∈R,函数 f (x)=4ax3-2bx-a+b. (Ⅰ) 证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ) 函数 f (x)的最大值为|2a-b|+a; (ⅱ) f (x)+|2a-b|+a≥0; (Ⅱ) 若-1≤f (x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

(第 5 题图)

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