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数学选修2-1 高二数学周练一

数学选修2-1 高二数学周练一


高二数学(理科)周练
班级______ 座号______ 一、选择题:每小题 8 分,共 80 分 姓名_________ 成绩_________

1. “ a ? 0, b ? 0 ”是“方程 ax 2 ? by 2 ? 1 表示椭圆”的(



A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2.设△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,sinA 、sinB、 sinC 成等比数列,则这个三角 形的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 3.在 ?ABC 中, 若 A ? 60 0 , a ? 4 3 , b ? 4 2 , 则 B ? a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, ( A. 45 0 或135 0 B. 45
0



C. 135 0

D. 以上答案都不对

4.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m



A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

5.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值 等于( A. ) B.

6 4

10 4

C.

2 2

D.

3 2

6.⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则动圆圆心 轨迹是( ) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支 7.不等式 A. ?? ?,0?

1 1 ? ? ? ? 0 对 x, y ? R ? 恒成立,则 ? 的取值范围是( x y x? y
B. ?? ?,1?
2

)

C. ?? ?,4?

D. ?4,?? ?

8..过抛物线 y ? ax 分别为 p、q,则

(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长

1 1 ? 等于( p q
B



A

2a

1 2a

C 4a

D

4 a


二、填空题: 每小题 8 分,共 32 分 9.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 2, a7 ? a8 ? 8, 则该数列前十项的和 S10 ?
1

10.椭圆 mx +ny =1 与直线 y=1-x 交于 M、N 两点,原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜 2 m 率为 ,则 的值是________ 2 n 11.在四面体 ABCD 中, 则二面角 A ? BC ? D 的大小为__________. 12、正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ,则 三、解答题:12+12+14=38(分) 13. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD ,
AB ? 1, AD ? 2 3, BC ? 3, CD ? 2, ?ABC ? ?DCB ?

2

2

?
2

,

y 1 ? 的最小值为_______ 4x y

AB ? AD , AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 点 Q 为线段 PB 的中点, 求直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值.

P

Q A C B D

14. (本小题满分 12 分)已知定点 A(-2,-4),过点 A 作倾斜角为 45 2 物线 y =2px(p>0)于 B、C 两点,且|BC|=2 10.
2

的直线 l,交抛

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)中的抛物线上是否存在点 D,使得|DB|=|DC|成立?如果存在,求出点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由.

15. (本小题满分 14 分)数列 {an }的前 n 项和为 Sn,且 Sn ? 2n -1,数列 {bn }满足
3

b1 =2, bn+ 1 = bn + an .
(1)求数列 {an }的通项公式; (2)求数列 {bn }的前 n 项和为 Tn。 ( 3)是否存在等差数列 {cn } ,使得 a1cn +a2cn?1 ? a3cn?2 ????+anc1 ? 2 立?若存在,求出 cn ;若不存在,说明理由
n ?1

? n ? 2 对一切 n∈N*都成

长汀一中高二数学(理科)周练答案 2014.12.17
4

1----8

BDBCADCC 2 ; 2 11.60° 12,1.

9,30; 10,

13.(法一) (Ⅰ)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图,

B?4,00?, D 0,2 2,0 , P?0,0,4?, A?0,0,0?, C 2,2 2,0 , Q?2,0,2?
则 BD ? ? 4,2 2,0 , AP ? ?0,0,4?, AC ? 2,2 2,0 , QC ? 0,2 2,?2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? BD ? AP ? 0, BD ? AC ? ?4 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0
? BD ? AP, BD ? AC, 又 AP ? AC ? A ,? BD ? 平面 PAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面 PAC 的一个法向量为 BD ? ? 4,2 2 ,0 ,

?

?

sin ? ?
设直线 QC 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则

QC ? BD QC ? BD

?

8 12 24

?

2 3



2 QC 所以直线 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3 .
(法二) (Ⅰ)证明:设 AC∩BD=O,∵CD∥AB,∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2

1 2 6 Rt△DAB 中,DA= 2 2 ,AB=4,∴DB= 2 6 ,∴DO= 3 DB= 3 2 4 3 同理,OA= 3 CA= 3 ,∴DO2+OA2=AD2,即∠AOD=90o,∴BD⊥AC
又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD 由 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC (Ⅱ)解:连 PO,取 PO 中点 H,连 QH,则 QH∥BO,由(Ⅰ)知,QH⊥平面 PAC ∴∠QCH 是直线 QC 与平面 PAC 所成的角.

1 2 6 由(Ⅰ)知,QH= 2 BO= 3 ,

1 1 4 3 取 OA 中点 E,则 HE= 2 PA=2,又 EC= 2 OA+OC= 3

28 Rt△HEC 中,HC2=HE2+EC2= 3
QH 2 ? 3 ∴Rt△QHC 中,QC= 2 3 ,∴sin∠QCH= QC

5

2 ∴直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3 .
14.【解析】 (Ⅰ)直线 l 方程为 y=x-2,将其代入 y =2px,并整理, 2 得 x -2(2+p)x+4=0?①, 2 ∵p>0,∴△=4(2+p) -16>0, 设 B(x1,y1)、C(x2,y2),∴x1+x2=4+2p,x1·x2=4, ∵|BC|=2 10,而|BC|= 1+k |x1-x2|, 2 2 ∴2 2 p +4p=2 10,解得 p=1,∴抛物线方程 y =2x. 2 (Ⅱ)假设在抛物线 y =2x 上存在点 D(x3,y3),使得|DB|=|DC|成立, 记线段 BC 中点为 E(x0,y0),则|DB|=|DC| 当 p=1 时,①式成为 x -6x+4=0,∴x0=
2 2 2

DE⊥BC

1 kDE=- =-1, k1

x1+x2 =3,y0=x0-2=1, 2

2 y =2x3 ? ? 3 ? x3=2 ? x3=8 ∴点 D(x3,y3)应满足? y3-1 ,解得? 或? . ? y3=2 ? y3=-4 ? x3-3=-1 ?

∴存在点 D(2,2)或(8,-4),使得|DB|=|DC|成立. 15、解:(1)当 n=1 时,a1=2-1,∴a1=1, n n-1 n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -1-2 +1=2 ,??3 ' 又 n=1 时成立, ∴an=2 n-1 (2)∵bn+1=an+bn,∴bn+1-bn=2 n-2 从而 bn-bn-1=2 , n-3 bn-1-bn-2=2 , ?? b2-b1=1, 2 n-2 n-1 n-1 以上等式相加,得 bn-b1=1+2+2 +?+2 =2 -1,又 b1=2,∴bn=2 +1 0 1 n-1 n Tn=b1+b2+?+bn=(2 +2 +?+2 )+n.=2 -1+n (3)设存在等差数列 {cn } 使得 a1cn +a2cn?1 ? a3cn?2 ????+anc1 ? 2 n=1 时有 a1c1 ? 2 ? 1 ? 2=1 ,∴ c1 ? 1
2

n ?1

? n ? 2 对一切 n∈N*都成立,则
3

则 n=2 时有 a1c2 +a2c1 ? 2 ? 2 ? 2=4 ,∴ c1 ? 2 设 S=a1cn +a2cn?1 ? a3cn?2 ????+anc1

∴等差数列 {cn } 的公差 d=1,∴ cn ? n ∴

2 S=1? n+( 2 n-1 ) ? 2( n-2) ? ???+2n-2 ? 2+2n-1 ?1

2S=

2 2 ? n + 2( n-1 ) ? ???????????? +2n-1 ? 2+2n ?1

∴2S-S= S=-n +2 ? 2 ? ???+2 +2
2 n-1

n

=-n+

( 2 1-2n) n ?1 = 2 ?n?2 1-2

∴ 存在等差数列 {cn } 且 c n =n 满足题意

6


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