9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

8.5_直线与圆锥曲线的位置关系_图文

8.5_直线与圆锥曲线的位置关系_图文

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

§8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

?
知识诠释 思维发散

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

一、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线相交、

相切、相离,解题的方法是将问题转化为直线方程与圆锥
曲线方程组成的方程组解的个数,进而转化为一元(一次或 二次)方程解的情况去研究.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)
?直线方程 ? ? ?圆锥曲线方程

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

?

ax2+bx+c=0

(1)若a=0,直线与圆锥曲线有一个公共点,但并不相切.此时, 圆锥曲线不会是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线l与双曲 线的渐近线平行.当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的 对称轴平行或重合. (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac, ①Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于两个点;

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

②Δ=0时,直线与圆锥曲线相切; ③Δ<0时,直线与圆锥曲线相离. 另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲

线的位置关系.
二、直线与圆锥曲线相交的弦长计算 (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用 两点间的距离公式求弦长.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

(2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y)的一元二次方程,设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,直线斜率为k,则弦长公式为 |AB|=
(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x?或 2]
1 )[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] k2

(1 |AB|=? ?

(k≠0).

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直 线有?( (A)0条. ) (B)1条. (C)2条. (D)3条.

【解析】因为点(2,4)在抛物线y2=8x上,所以过点(2,4)与抛物

线只有一个公共点的直线有切线一条,平行于抛物线对称轴
的直线一条,共2条. 【答案】C

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 2.过原点的直线l与双曲线?-?=1有两个交点,则直线l的斜 4 3

率的取值范围是?(
(A)(-?,?).
3 2 3 2

)
3 2 3 2

(B)(0,?)∪(?,+∞). (D)(-∞,-?]∪[?,+∞).
3 2 3 2

(C)[-?,?].
3 2 3 2

x2 y 2 【解析】(法一)设l:y=kx,代入?-?=1中, 3 4

高考第一轮复习用书· 数学(理科)
1 2 k2 2 得?x -?x =1, 4 3

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

1 k2 2 3 3 即(?-?)x -1=0,由Δ>0知,-?<k<?. 4 2 2 3

(法二)易求得双曲线的渐近线为y=±?x,结合图形及渐近线
3 2 3 3 的几何意义,可知当直线l的斜率满足-?<k<?时,直线l与双 2 2

曲线有2个交点. 【答案】A

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

p 3.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且倾斜角等于?的直线与抛物 3

线在x轴上方的曲线交于点A,则AF的长为?( (A)2. (B)4. (C)6. (D)8.

)

【解析】由已知可得直线AF的方程为y=? 3 (x-1),联立直线与
1 抛物线的方程,消元得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=? (舍去),由抛 3

p 物线的定义可得|AF|=xA+?=3+1=4. 2

【答案】B

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 4.直线y=kx-2与椭圆?+?=1相交于不同的两点P、Q,若PQ 80 20

的中点的横坐标为2,则弦长|PQ|等于
ì y = kx - 2, ? ? 【解析】由 ? x 2 y 2 得(1+4k2)x2-16kx-64=0, í ? + =1 ? ? 80 20 ?

.

?

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=

16k ?=2×2,解得k=?1. 2 1 + 4k 2

所以x1+x2=4,x1x2=? 64 2 =-32, 1 + 4k

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

所以|PQ|= 1 + ?2|x1-x2| k =?1 + k 2 ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2=6 【答案】6? 5
5 ?.

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

核心突围

技能聚合

题型1 直线与圆锥曲线的关系问题

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

?例1 (1)直线y=kx-k+1与椭圆
有?( (A)2个. ) (B)1个. (C)0.

y2 x2 ?+ ?=1的公共点个数 4 9

(D)不确定.

(2)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B

两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线?(
(A)有且仅有一条. (C)有无穷多条. (B)有且仅有两条. (D)不存在.

)

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 (3)设离心率为e的双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的右焦点为F, a 2 b2

直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支 都相交的充要条件是?( (A)k2-e2>1. (C)e2-k2>1. (B)k2-e2<1. (D)e2-k2<1. )

【分析】(1)联立直线方程与椭圆方程,消去x,用判别式的值

去判断,也可根据直线过定点位置,直观判断;

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

(2)求出抛物线的焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,然 后根据根与系数之间的关系求解; (3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线的斜率来建立a,b,k与e 之间的不等关系即可求解. 【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭

圆内,∴直线与椭圆相交.
(2)设直线AB的方程为x=my+1,代入得y2-4my-4=0,∵x1+x2=2,

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

2 y12 y2 ( y1 + y2 )2 - 2 y1 y2 16m2 + 8 ∴?+?=2,即? =? =2,解得m=0,故可作1条直 4 4 4 4

线. (3)如图所示,直线l与双曲线C的左、右两支都相交 的充要条

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

件是直线l应夹在第一、四象限的两渐近线之间,即
c2 - a2 ? 2 = e2 - 1,所以 k2<e2-1,即e2-k2>1, a

b |k|<?= a

【答案】(1)A (2)A (3)C 【点评】(1)直线与抛物线只有一个公共点时包括直线与抛

物线的对称轴平行和直线与抛物线相切两种情况,同时要注
意直线与抛物线相交可以是一个公共点和两个公共点;(2)解

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

答直线与椭圆的位置关系有两种方法,即判别式与数形结合 法;(3)判断直线与双曲线的位置关系可以利用判别式,但要 注意对二次项系数的讨论,二次项系数等于0实质是直线与 渐近线平行的情况,也可以数形结合,注意渐近线的作用.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

变式训练1 (1)已知双曲线的方程为x

2

y2 -?=1,若过点P(1,1)的 4

直线l与双曲线只有一个公共点,则直线的条数为?( (A)4. (B)3. (C)2. (D)1.

)

x2 y 2 (2)直线y=kx+2与椭圆?+?=1至多一个交点的充要条件是 3 4

?(

)

1 1 (A)k∈[-?,?]. 2 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

(B)k∈(-∞,-?]∪[?,+∞).

1 2

1 2

(C)k∈[-?,?].
2 2 2 2

(D)k∈(-∞,-?]∪[?,+∞).
2 2 2 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

【解析】(1)如图,点P(1,1)在双曲线两支之间,所以过点P与 双曲线相切的切线有两条;过点P与渐近线平行的两条直线

与双曲线也只有一个公共点,故共有4条.

ì y = kx + 2, ? ? (2)由 ? x 2 y 2 得(3+4k2)x2+16kx+4=0,则直线与椭圆至多有一 í ? + =1 ? ? 4 3 ?

?

个交点的充要条件是Δ≤0,即(16k)2-4(3+4k2)· 4≤0,得-?1 ≤k≤
2 1 ?,故选A. 2

【答案】(1)A (2)A

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

题型2 中点弦及对称问题

?例2

x2 (1)过椭圆? 16

+

y2 ?=1内一点M(2,1)引一条弦,使 4

弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.
(2)在抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=-kx+
9 ?对称,求k的取值范围. 2

【分析】(1)由于直线过定点M,可以用点斜式设出直线方程, 联立椭圆方程,组成方程组,然后消元得到关于x的一元二次 方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,求得直线的斜

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

率,从而得所求的直线方程.本题也可以用点差法来进行求 解,即设出弦两个端点的坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入椭圆 的方程,并对所得两式作差,得到一个弦的中点坐标与弦所在 直线的斜率有关的式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求 直线的方程.

(2)在抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=-kx+
9 1 ?对称,则直线MN的方程可设为y=?x+b,代入抛物线方程中, 2

k

可知Δ>0,又线段MN的中点在直线y=-kx+?上,由根与系数之

9 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

间的关系可得线段MN的中点,代入y=-kx+?可得b与k的关系 式,再结合Δ>0求解.或根据点差法,建立线段MN中点坐标方 程,然后解出中点坐标后,根据中点在抛物线内建立不等式.

9 2

【解析】(1)(法一)由题意可知,所求直线的斜率一定存在.因
此设所求直线的方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得 (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0, 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1、x2是上述方程

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

的两根,于是
8(2k 2 - k ) x1+x2=?, 2 4k + 1

x1 + x2 4(2k 2 - k ) 又M为AB的中点,∴ ?= ?=2, 2 4k + 1 2

解得k=-?. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. (法二)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),

1 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
2 y2 x12 x y1 又A、B两点在椭圆上,则?+4?2=16,?22+4?=16,

x12 x y12 y 两式相减得(?-?22)+4(?-?22)=0,

于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴
x1 ? x2 y1 ? y2 4 ?=-?y1 ? y2 ) =-?4 ? 2 4( x1 ? x2
1 2

=-?,

1 2

即kAB=-?.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

故所求直线的方程为x+2y-4=0. (2)(法一)设M(x1,y1)、N(x2,y2)及其中点P坐标(x0,y0),由题意设
1 直线MN的方程为y=?x+b, k

ì y = x2 , ? ? 1 由? 得x2-?x-b=0, í k ? y= 1 x+ b ? ? k ?

?

则由于直线MN与抛物线有两个交点,所以Δ=?2+4b>0,(*)

1 k

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

且x0= x1 + x2=?,y0=?x0+b=?+b, ? 2
2

1 2k

1 k

1 2k

又中点P在直线y=-kx+?上,所以?+b=-?+?,所以b=4-?2 ,将 2
其代入(*)得?+4(4-? 2 )>0,所以?2 <16,解得k<-? 或k> ?. 2 所以所求实数k的取值范围是(-∞,-?)∪(?,+∞). (法二)设M(x1,y1)、N(x2,y2)及其中点P的坐标(x0,y0),
1 4 1 4

9 2

1 2k

1 2

9 2

1 2k

1 k

1 2k

1 k

1 4

1 4

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且?

? y1 ? x12 , ? 2 y2 ? x2 , ?

所以两式相减得y1-y2=(x1+x2)(x1-x2), 即y1-y2=2x0(x1-x2) 又点M、N关于直线y=-kx+?对称,所以MN与该直线垂直,所
9 2



y1 ? y2 1 ?=?, x1 ? x2 k

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

所以2x0=?.①

1 k

又MN的中点在该直线上,所以y0=-kx0+?.②
由①②解得x0=?,y0=4, 因为中点必在抛物线开口内,所以y0>
1 1 -?或k>?. 4 4

9 2

1 2k

1 2 x0 ?,所以4>(?)2,解得k< 2k

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

所以所求实数k的取值范围是(-∞,-?)∪(?,+∞).

1 4

1 4

【点评】1.比较第(1)题中的(法一)与(法二),不难看出(法二)
大大简化了运算.类似(法一)这样的解法称“韦达定理法”, 类似(法二)这样的方法称为“点差法”.点差法的步骤是:设

点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作
2 差(即两式相减,求出斜率?

y ? y1 x2 ? x1

,再用点斜式写出直线方程).

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

2.若A,B两点关于对称轴直线对称,则直线AB与对称轴垂直, 且线段AB的中点在对称轴上,即对称轴是线段AB的垂直平 分线.解对称问题应注意条件的充分利用,如斜率、截距等, 同时还应注意各量之间的关系.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

变式训练2 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2 2
? 2 ),离心率为e=

2 ?),F2(0,

2 2 ?. 3

(1)求椭圆方程; (2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、
1 N,且线段MN中点的横坐标为-?,求直线l的倾斜角的取值范 2

围.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì c = 2 2, ? ? ì a = 3, ? ? ? 【解析】(1)∵ í c 2 2 ∴ 从? 而b2=1, í ? = , ? c = 2 2, ? ? ? ?a 3 ? ?

?

∴椭圆方程为x

2

y2 +?=1. 9

p (2)由题意可知,直线的倾斜角不可能为0和?, 2

∴设直线方程为y=kx+m(k≠0).

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì y = kx + m, ? ? 联立方程组得 ? 2 y 2 í ?x + = 1, ? ? 9 ?

?

(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0, Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0, 即k2-m2+9>0. ①
设M(x1,y1),N(x2,y2),

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

- 2 则x1+x2=?.km 2

k +9
1 2

∵线段MN中点的横坐标为-?,
1 ∴?·- 22km ? 2 k +9 1 k2 + 9 =-?,即m=? 2 2k

. ②

把②代入①解得k2>3,即k>

3 ?或k<- 3?,

p p p 2p ∴直线l的倾斜角的取值范围为(?,?)∪(?,?). 3 2 2

3

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

题型3 直线或点的存在性问题

?例3 试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭
x2 圆?+y2=1交于两个不同点M、N,使M、N到点A(0,1)的距离 3

相等,若存在,试求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 【分析】设直线l:y=kx+m为满足条件的直线,再设P为MN的 中点,欲满足条件,只需AP⊥MN即可. 【解析】设直线l的方程为y=kx+m,

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì y = kx + m, ? ? 联立方程组有 ? x 2 í ? + y 2 = 1, ? ? 3 ?

?

得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0.
3 x2 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(xP,yP),则xP= x1 + ?=-? mk 2 ,yP=kxP+

2

1 + 3k

m m=?.

1 + 3k 2

3k 2 - m + 1 ∴kAP=?. 3mk

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

3k 2 - m + 1 1 ∵AP⊥MN,∴ ?=-?(k≠0), k 3mk
3k 2 + 1 故m=-?. 2

由Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3)=9(1+3k2)· 2)>0,得-1<k<1,且k (1-k ≠0.

故存在满足条件的直线l,且k∈(-1,0)∪(0,1).

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

【点评】本例是探求几何对象直线的存在性,解答中,可将斜 率k作为一未知量,利用解析几何的有关知识将几何条件代 数化,得到与k有关的关系式,最后通过计算即可.若k有解,则 说明满足条件的直线存在;若k无解,则说明满足条件的直线 不存在.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)
1 2

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

变式训练3 如图,P为抛物线y=?x2上的一点,抛物线的焦点 为F,PC垂直于直线y=-?,垂足为C,已知直线AB垂直PF分别 交x、y轴于A、B. (1)求使△PCF为等边三角形的点P的坐标; (2)是否存在点P,使P平分线段AB?若存在,求出点P,若不存 在,说明理由.
1 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

【解析】(1)设P为(m,n),则C为(m,-?),由PC垂直于直线y=-? 得|PC|=?+n,
1 2 1 1 因为y=?x 的焦点为(0,?),y=-?是其准线. 2 2 2
1 2

1 2

1 2

而点P在抛物线上,所以|PC|=|PF|. 由|CF|=? m2 + 12 ,且△PCF为等边三角形,所以n+?=? m2 + 12 .①
1 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

因为点P在抛物线上,故n=?m2,②
联立①②解得m=±
? 3

1 2

3 ,n=?,所以点P的坐标为(±?,?). 3 2

3 2

(2)假设存在点P使|PA|=|PB|,于是A为(2m,0),B为(0,2n), 由PF⊥AB知△ABF是等腰三角形,所以|AF|=|BF|,
1 即? m)2 + 1 =|2n-?|.③ (2

4

2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

因为点P在抛物线上,故n=?m2.④

1 2

由③④解得,m=±? 5 ,n=?,或m=0,n=0(舍去),所以存在满足条
件的点P(±? 5 ,?).
5 2

5 2

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 (1)对于椭圆来说,直线与椭圆有一个公共点,直线与椭圆必
相切;反之,直线与椭圆相切,则直线与椭圆必有一个公共点. (2)对于双曲线来说,当直线与双曲线有一个公共点时,除了 直线与双曲线相切外,还有直线与双曲线相交,此时直线与双 曲线的渐近线平行. (3)对于抛物线来说,当直线与抛物线有一个公共点时,除了

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与抛物线相切外,还有直线与抛物线相交,此时直线与抛 物线的对称轴平行或重合. (4)联立直线方程与双曲线方程消去x(或y)后,判别式Δ>0,则 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有Δ>0;当直 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个 交点.所以Δ>0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要 条件.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

(5)联立直线方程与抛物线方程消去x(或y)后,判别式Δ>0,则 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有Δ>0,当直 线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只 有一个交点.所以Δ>0是直线与抛物线相交的充分条件,但不 是必要条件.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

2.直线与圆锥曲线相交的问题 (1)直线与圆锥曲线相交问题是解析几何中一类重要问题,注 意应用根与系数间的关系、“设而不求”的技巧来解决直 线与圆锥曲线的综合问题. (2)运用“点差法”解决弦的中点问题 涉及弦的中点问题,可以利用判别式和韦达定理的方法加以

解决,也可利用“点差法”的方法解决此类问题.若知道中

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

点,则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率. 比较两种方法,用“点差法”的方法的计算量较少,此法在解 决有关存在性问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验. (3) 弦长公式 |AB|=
(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ?

或 |AB|=

?? (1

1 )[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] 2 k

(k≠0)中,k指的是直线AB的斜率.在计算

弦长时要特别注意一些特殊情况:①直线与圆锥曲线的对称
轴平行或垂直的情况,一般要首先验证;②直线过圆锥曲线的

焦点,在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的定义把
弦长进行转化.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
x2 y 2 (1)AB是椭圆?+?=1(a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是AB的中点, a 2 b2

则kAB=-?

b 2 x0 a 2 y0

b2 ,kAB·OM=-?2 k a

.点差法求弦的斜率的步骤是:

2 2 y2 x12 y12 x2 ①将端点坐标代入方程:?+?=1,?+?=1; b2 a 2 b2 a2

2 y12 x12 x2 ②两等式对应相减:?-?+? b2 a2 a2

-

2 y2 ?=0; b2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

③分解因式整理: kAB=

y1 ? y2 b 2 ( x1 ? x2 ) ?=- a 2 ( y ? y ) x1 ? x2 1 2

?

b 2 x0 =- 2 a y0

?

.

x2 y 2 (2)运用类比的方法可以推出:已知AB是双曲线?-?=1(a>0,b a 2 b2

>0)的弦,弦AB的中点为M(x0,y0),则kAB=?

b 2 x0 ;已知抛物线y2=2px a 2 y0

(p>0)的弦AB的中点为M(x0,y0),则kAB=?.
p y0

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

?例 过点(0,3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共
点,求直线l的方程.
【错解】设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+3,将其代入y2 =4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0.由于Δ=(6k-4)2-4×9k2=16-48k=0,
1 1 解得k=?,故直线l的方程为y=?x+3.
3

3

【剖析】上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况,而忽
视了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时的两种情形.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

【正解】当斜率k存在且k≠0时,直线l的方程为y=?x+3, 当k=0时,直线l:y=3,此时l平行于对称轴,且与抛物线只有一
9 个交点(?,3), 4

1 3

当k不存在时,直线l与抛物线也只有一个公共点,此时l的方程 为x=0. 综上,过点(0,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的方
1 程为y=?x+3,y=3,x=0. 3

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

基础· 角度· 思路

一、选择题(本大题共5小题,每小题6分) 2 2 x y 1.(视角拓展)抛物线y2=8x的焦点到双曲线?-?=1的渐近线
12
4

的距离为?(
(A)1. (B)

)
? 3.

3 (C)?. 3

(D)

3 ?. 6

【解析】抛物线焦点为(2,0),双曲线的一条渐近线为x-? 3 y=
|2 0,所求距离为d=?3 0 | =1. 2

【答案】A

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 2.(视角拓展)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过 a 2 b2

点F且倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,则此
双曲线的离心率等于?( )

(A)?3 .

(B)?. 2

(C)4.

(D)2.

【解析】直线的斜率k=tan 60°=? 3 ,由题意得直线与渐近线
b 平行可得?=? 3 a

c 2 - a 2=3?e2=4?e=2. ?? 2 a

【答案】D

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

3.(视角拓展)若ab≠0,则方程ax-y+b=0与bx2+ay2-ab=0所表示 的曲线在同一坐标系中只可能是?( )

【解析】将bx +ay
2

2

x2 y 2 x2 y 2 -ab=0变形得?+?=1.若方程?+?=1表 b b a a

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

示椭圆,则a>0,b>0,所以方程ax-y+b=0即y=ax+b表示斜率为 正数,在y轴上的截距也要为正数,这样就可以排除A、B;若
y2 x 2 +?=1表示焦点在x轴的双曲线,所以a>0,b 是选项D,则方程? a b

<0,但是直线y=ax+b的斜率为正数,这样可排除D;而若是选
y x 项C,方程?+?=1表示焦点在y轴的双曲线,所以a<0,b>0,直
2
2

a

b

线y=ax+b的斜率为负数,在y轴的截距为正数,选项C符合. 【答案】C

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

4.(高度提升)双曲线9x2-16y2=144被点P(8,3)平分的弦AB的直 线方程是?( (A)3x-2y-18=0. (C)2x-3y-18=0. ) (B)3x+2y+18=0. (D)2x+3y+18=0.

ì 9 x12 - 16 y12 = 144, ? 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由 ? 2 两式相减得9(x1+ í 2 ? 9 x2 - 16 y2 = 144 ? ?

?

x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

又∵P(8,3)为AB的中点,∴x1+x2=16,y1+y2=6,
y2 3 ∴kAB= y1 - ?=?, x1 - x2
2 3 ∴直线AB的方程为y-3=?(x-8),即3x-2y-18=0. 2

【答案】A

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y2 5.(高度提升)已知直线y=x-1和椭圆?+? =1(m>1)交于A、B m m- 1

两点,若以AB为直径的圆过椭圆的焦点F,则实数m的值为? ( )
3 (B)? -1.

(A)2-?3 . (C)2+
?. 3

(D)

3 ?+1.

【解析】显然椭圆的左、右焦点分别为(-1,0)、(1,0),直线过 右焦点(1,0),F只能为左焦点.设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),由已知有

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

AF⊥BF,且F(-1,0), ∴? =(-1-x1,1-x1),? =(-1-x2,1-x2),∴ AF ·BF =2+2x1x2=0,∴x1x2=-1. ? ? AF BF 将直线方程代入椭圆方程中,有(2m-1)x2-2mx+2m-m2=0,∴x1x2
2m - m 2 , = 2m - 1 2m - m 2 ∴ ?=-1,解得m=2+? 3 . 2m - 1
? ? ? ?

【答案】C

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)
x2 y 2 6.(视角拓展)直线x+2y-2=0经过椭圆C:?+?=1(a>b>0)的一 a 2 b2

个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于

.

【解析】对直线x+2y-2=0,令y=0得x=2;令x=0得y=1,所以椭
圆的一个焦点坐标为(2,0),一个顶点坐标为(0,1).因此离心率 e=
2 22 + 1
5 ?= 2?. 5

【答案】?

2 5 5

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

7.(视角拓展)直线x+y-1=0交曲线mx2+ny2=1于A,B两点,M是
m 2 AB中点,若kOM=?,则?=
2

n

.

ì mx12 + ny12 = 1, ? 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则有 ? 2 两式相减 í 2 ? mx2 + ny2 = 1, ? ?

?

得 m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0.(*) 因为M是AB中点,所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,将其代入(*)得

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

m(x1-x2)x0+n(y1-y2)y0=0,(1) 又因为直线x+y-1=0过A、B两点,
y1 所以? - y2 =-1,(2) x1 - x2

而由kOM=?,得y0=
2 2

2 ?x0.(3) 2 2 2

由(1)(2)(3)得?=?.
m n

【答案】?
2 2

高考第一轮复习用书· 数学(理科)
2

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

8.(高度提升)过抛物线y =4x焦点的直线l的倾斜角为?,且l与
3

?

抛物线相交于A、B两点,O为原点,那么△AOB的面积为 . 【解析】因为抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以直线l的方程

为y=(x-1)· ?= tan ?
3

? 3 (x-1),

ì y 2 = 4 x, ? 4 由? 消去x得y2-? y-4=0. í 3 ? y = 3( x - 1) ? ?

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= 所以|y1-y2|=
1 2

4 ?,y1y2=-4, 3
8 3 ?, 3

? ( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 =
1 2

S△AOB=?|OF|· 1|+|y2|)=?|y1-y2| (|y
=? ·
1 2 8 3

3 ?

=?
4 3

4 3

3?.

【答案】?? 3

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

9.(能力综合)已知O为原点,从椭圆

x2 y2 ?+ ?=1的左焦点F1引圆 100 4

x2+y2=4的切线F1T交椭圆于点P,切点T位于F1、P之间,M为线 段F1P的中点,则|MO|-|MT|的值为 【解析】 |OF1|=c=4?6 ,|OT|=b=2,|F1T|=2
1 23,|OM|= 1 |PF2|,|MT|=|F1T|- |PF1|, ? 2 2

.

1 |OM|-|MT|=?(|PF1|+|PF2|)-|F1T|=10-2? 23 2

.

【答案】10-2?23

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

三、解答题(本大题共3小题,每小题14分) 10.(基础再现)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q
的直线l与抛物线有公共点,求直线l的斜率的取值范围. 【解析】∵y2=8x,∴Q(-2,0)(Q为准线与x轴的交点), 设过Q点的直线l方程为y=k(x+2),
ì y 2 = 8 x, ? ∵l与抛物线有公共点,∴方程组 ? 有解, í ? y = k ( x + 2) ? ?

?

即k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有解,∴当k=0时,可解得x=0;

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

当k≠0时,则Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即k2≤1, ∴-1≤k≤1且k≠0. 综上所述,-1≤k≤1.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 11.(视角拓展)设椭圆C:?+?=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F a 2 b2

的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,
FB 2? .
?

? AF =

?

(1)求椭圆C的离心率; (2)如果|AB|=?,求椭圆C的方程. 【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
15 4

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

由题意知y1<0,y2>0. 直线l的方程为y=
2 2 ? 3 (x-c),其中c= a ? b

.

ì y = 3( x - c), ? ? 联立 ? x 2 y 2 得(3a2+b2)y2+2?3 b2cy-3b4=0, í ? + =1 ? 2 2 ?a b ? ?

?

4 - 2 3b 2,y y = - 3b .① c 于是有y1+y2=? 2 2 1 2 ?2 2 3a + b 3a + b

AF 因为? =2?FB ,所以-y1=2y2.

?

?

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì y1 + y2 = - y2 , ? ? ? í 2 ? y1 y2 = - 2 y2 , ? ?

② )2,

由①②可得

?3b 4 - 2 3b 2 c ?=-2(? 2 2 3a 2 ? b 2 3a + b

得离心率e=?=?.
?15b 2 ?5 3c 2 c (2)由离心率e=?=?,可得y1+y2= ?,y1y2=? 32 3 16 a

c a

2 3

,③

所以|AB|=

1?

1 3

2 ?|y -y |=? 3
2 1

( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ?

=?,把③代入式中,化

15 4

简可得5c2+32b2=180.
2 c x2 y 2 2 2 2 又e=?=?,a =c +b ,得a=3,b= 5 .所以椭圆C的方程为?+?=1. ? 5 3 a 9

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

12.(能力综合)已知中心在原点的双曲线C的右焦点是(2,0), 一条渐近线方程是x(1)求双曲线C的方程; (2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M, N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围. 【解析】(1)依题意,设双曲线C的方程为
x2 y 2 ?-?=1(a>0,b>0). a 2 b2

? 3 y=0.

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì a 2 + b 2 = 4, ? ? x2 2 由已知得 ? a 由此解得a=? 3 ,b=1,双曲线C的方程为?-y í 3 ? = 3, ? ?b ?

?

=1.
ì y = kx + m, ? ? (2)由 ? x 2 消去y得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. í ? - y2 = 1 ? ? 3 ?

?

∵直线与双曲线C有两个不同的交点,

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

ì 1- 3k 2 0, ? ∴? 可得m2>3k2-1. í ? Δ = 12(m2 + 1- 3k 2 ) > 0, ? ?

?



设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0), 则x1+x2=?
6km 1 ? 3k 2

,x0=

x1 ? x2 ?=?3km 2 2 1 ? 3k

,y0=kx0+m=?

m 1 ? 3k 2

.

m +1 2 1 由题意,AB⊥MN,∴kAB= 1- 3k =-?(k≠0,m≠0). 3km k 1 - 3k 2

?

整理得3k2=4m+1. ②

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4. 又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-?.
1 ∴实数m的取值范围是(-?,0)∪(4,+∞). 4 1 4


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com