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江苏省无锡一中2013届高三开学检测数学试题

江苏省无锡一中2013届高三开学检测数学试题


江苏无锡一中 2013 届高三开学检测

数 学 试 题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. ) 1.若全集 U ? R ,集合 M ? ?x x ? x ? 0 ? ,则集合?U M=
2



2.若复数

a ? 3i 1 ? 2i

( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为



3.某校高一、高二、高三学生共有 3200 名,其中高三 800 名,如果通过分层抽样的方法从 全体学生中抽取一个 160 人的样本,那么应当从高三的学生抽取的人数是 4.在平面直接坐标系 xOy 中,角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,终

边在直线 y ? ? 3 x 上,且 x ? 0 ,则 sin ? ?



5. 从集合 A ? {? 1,1, 2} 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? {? 2 ,1, 2} 中随机选取一个数记为 b , 则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率 为 . .

6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为
2 ?a
x

7. a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? “

2 ?a
x

在其定义域上为奇函数”的



件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.已知实数 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax ( a ? R ) ,若 z 取 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是
x a
2 2



9.已知 F 是双曲线 C :

?

y b

2 2

? 1 a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点, B1 B 2 是双曲线的虚轴, M 是 (

OB 1 的中点,过 F , M 的直线交双曲线 C 于点 A ,且 FM ? 2 MA ,则双曲线 C 的离心

率是


ac b

10.若正实数 a , b , c 满足 3 a ? 2 b ? c ? 0 ,则

的最大值是



{ b a 11. 已知数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列, b n } 是等比数列, 其中 a1 ? 3 , 1 ? 1 , 2 ? b 2 , 3 a 5 ? b3 , 若存在常数 u , v 对任意正整数 n 都有 a n ? 3 log u b n ? v , u ? v ? 则
A


D

12.如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E , F 在边长不小于 1 的正方形

ABCD 的四边上滑动, E , F 沿正方形的四边滑动一周时,EF 的 当

E M

中点 M 所形成的轨迹为 G ,若 G 的周长为 l ,其围成的面积为 S ,
B

则 l ? S 的最大值为


3

F

C

13.在平面直角坐标系 xO y 中,点 P 是第一象限内曲线 y ? ? x ? 1 上的一个动点,点 P 处 的切线与两个坐标轴交于 A , B 两点,则 △ A O B 的面积的最小值为 .

14.记 F ( a , ? ) ?

a ? 2 a sin ? ? 2
2

a ? 2 a cos ? ? 2
2

,对于任意实数 a , ? , F ( a , ? ) 的最大值与最小值的和

是 . 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 2? ) ? cos 2 x ( x ? R ) 已知函数 f ( x ) ? cos(2 x ?
3

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
B 2 3 2

(2) ? ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 f ( 且 a ? b ,试求角 B 和角 C .

)? ?

,b ? 1 ,c ?

3 ,

16. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 E ? ABCD 中,E A ? E B ,A B ∥ C D ,AB ? BC , AB ? 2 CD . (Ⅰ)求证: AB ? ED ;

E

B C D

A

(Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 D F // 平面 B C E ?若存在,求出 存在,说明理由.

EF EA

的值;若不

17. (本小题满分 14 分) 如图,现有一个以 ? AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB .现欲在 弧 AB 上取不同于 A , B 的点 C ,用渔网沿着弧 AC (弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、半 径 OC 和线段 CD (其中 CD // OA ) ,在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和 ? 养殖区域Ⅱ. 若 OA ? 1cm , ? AOB ? , ? AOC ? ? .
3

(1)用 ? 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ( ? 2 , 0 ) , F 2 ( 2 , 0 ) ,点

M (1, 0 )与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
B B (Ⅱ) 过点 M (1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , 两点,设点 N (3, 2) , 记直线 A N , N

的斜率分别为 k 1 , k 2 ,求证: k 1 ? k 2 为定值.

19. (本小题满分 16 分) 已知:函数 g ( x ) ? ax
2

? 2 ax ? 1 ? b

( a ? 0 , b ? 1) ,在区间 [ 2 ,

3 ] 上有最大值 4,最

小值 1,设函数 f ( x ) ?

g (x) x



(1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [ ? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2 ?1
x

? 3 ) ? 0 有三个相异的实数根,求实数

t 的取值范围. 20. (本小题满分 16 分)

已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 { a n } 的前 n 项和为 T n ,满足
a1 ? 1, T n ? 4 3 ? 1 3 ( p ? Sn ) .
2

2

(1)求 p 的值及数列 { a n } 的通项公式; (2)①问是否存在正整数 n , m , k ( n ? m ? k ) ,使得 a n , a m , a k 成等差数列?若存在, 指出 n , m , k 的关系,若不存在,请说明理由. ②若 a n , 2 a n ? 1 , 2 a n ? 2 成等差数列,求正整数 x , y 的值.
x y

数学Ⅱ(附加题) 注意事项:考试时间 30 分钟,由选考物理的考生作答。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . B. 已知矩阵 M ? ? ?2 量.
?1 2? ? 的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向 x?

C. 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 2 sin (? ?

? 4

) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴

的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?
l 和圆 C 的位置关系.

?

x ? t,

? y ? 1 ? 2t

( t 为参数) ,判断直线

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 , a , a (0 ? a ? 1) ,三人各射击一次,
2 1

击中目标的次数记为 ? . (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P (? ? i ) ( i =0,1,2,3)中, 若 P (? ? 1) 的值最大, 求实数 a 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分) 已知 f n ( x ) ? (1 ?
x ) ,n∈N .
2

n

*

(1) 若 g ( x ) ? f 4 ( x ) ? 2 f 5 ( x ) ? 3 f 6 ( x ) ,求 g ( x ) 中含 x 项的系数;

(2) 若 p n 是 f n ( x ) 展开式中所有无理项的系数和, 数列 { a n } 是各项都大于 1 的数组成的 数列,试用数学归纳法证明: p n ( a1 a 2 ? a n ? 1) ≥(1+ a 1 )(1+ a 2 )…(1+ a n ).

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. )
( ) 1. 0 ,1 ; 2. ? 6 ;

3.40; 4. ?

3 2

; 5.

2 9

; 6.126; 7.充分不必要;

? 8. (1, ? );

9.

5 2

; 10.

3 3



11.6;

12. ? ; 13.
4

5

3 2 4

3



14.4

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分)

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 E A ? E B ,所以 EO ? AB . ……………2 分 因为 A B ∥ C D , AB ? 2 CD , 所以 BO ∥ C D , BO ? CD . 又因为 AB ? BC ,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB ? DO . 因为 EO ? DO ? O ,所以 AB ? 平面 EOD . 所以
AB ? ED .

…………4 分 …………6 分 …………7 分

(Ⅱ) 点 F 满足 解:

EF EA

?

1 2

, F 为 EA 中点时, DF // 平面 BCE . 即 有 …………8

分 证明如下:取 EB 中点 G ,连接 CG , FG . 因为 F 为 EA 中点,所以 F G ∥ A B , FG ? 因为 A B ∥ C D , CD ?
1 2 1 2 AB ,所以 F G ∥ C D , FG ? CD . AB .

……………9 分

所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 D F ∥ C G . 因为 DF ? 平面 BCE , CG ? 平面 BCE , 所以 DF // 平面 BCE . 17. (本小题满分 14 分) π 解:(1) 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ,得∠OCD=θ, 3 2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ. 3 3 在△ OCD 中,由正弦定理,

……………12 分 ……………13 分 ………14 分

得 CD=

π π 2 sin?3-θ?,θ∈?0,3?(6 分) ? ? ? 3 ?

(2) 设渔网的长度为 f(θ).由(1)可知, π 2 f(θ)=θ+1+ sin?3-θ?.(8 分) ? ? 3 所以 f′(θ)=1- π π π 2 π cos?3-θ?,因为 θ∈?0,3?,所以 -θ∈?0,3?, ? ? ? ? ? ? 3 3

π 3 π π π 令 f′(θ)=0,得 cos?3-θ?= ,所以 -θ= ,所以 θ= . ? ? 2 3 6 6 θ f′(θ) f(θ)

?0,π? ? 6?
+ ?

π 6 0 极大值

?π,π? ?6 3?
- ?

? π+6+2 3?. 所以 f(θ)∈?2, ? 6 ? ? ? π+6+2 3?.(14 分) 故所需渔网长度的取值范围是?2, ? 6 ? ?
18. (本小题满分 16 分) 解:(Ⅰ)依题意,由已知得 c ? 解得 a ?
3.
x
2

2 , a ? b ? 2 ,由已知易得 b ? O M ? 1 ,
2 2

…………………3 分
? y ? 1.
2

则椭圆的方程为

………………4 分

3
? x ? 1, 6 ? (II) ①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x ? 1, y ? ? . 2 3 ? y ?1 ? ? 3

设 A (1,

6 3

) , B (1, ?

6 3

2?

6 3 ? 2

2? 2

6 3 ? 2 为定值. ………6 分

) ,则 k 1 ? k 2 ?

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) .
x
2

将 y ? k ( x ? 1) 代入

3

? y ? 1 整理化简,得 (3 k ? 1) x ? 6 k x ? 3 k ? 3 ? 0 .…7 分
2
2 2 2 2

依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
6k
2 2

则 x1 ? x 2 ?

3k ? 1

, x1 x 2 ?

3k ? 3
2

3k ? 1
2

.

……………………9 分

又 y1 ? k ( x1 ? 1) , y 2 ? k ( x 2 ? 1) , 所以 k 1 ? k 2 ?
2 ? y1 3 ? x1 ? 2 ? y2 3 ? x2

………………………10 分

?

( 2 ? y 1 )(3 ? x 2 ) ? ( 2 ? y 2 )(3 ? x1 ) (3 ? x1 )(3 ? x 2 ) [ 2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x 2 ) ? [ 2 ? k ( x 2 ? 1)](3 ? x1 ) 9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 1 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? k [ 2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ? 6 ] 9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

?

?

?

1 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? k [2 ?

3k ? 3
2 2

3k ? 1 3k ? 1 2 2 6k 3k ? 3 9 ? 3? ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
2

? 4?

6k

2

? 6]

?

1 2 ( 2 k ? 1)
2

6 ( 2 k ? 1)
2

? 2.

.…….………………15 分

综上得 k 1 ? k 2 为常数 2. 19. (本小题满分 16 分) 解: (1) g ( x ) ? ax
2

.…….………………16 分

? 2 ax ? 1 ? b ,由题意得:

1?

?a ? 0 ?a ? 1 ? 得? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 4 ?



2?

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 得? ? g (2) ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3 ? 1 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 1 ?

(舍) ? a ? 1 ,b ? 0
g ( x) ? x ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x ?
2 x x

1 x

? 2 …………4 分
1 2
x

x (2)不等式 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 ,即 2 ?

? 2 ? k ?2 ,
x

? k ? (

1
x

) ? 2?(
2

1 2
x

)?1
2 2 min

设t ?

2 1 2
x

?[
x

1 2

,

2 ] ,? k ? ( t ? 1) ,? ( t ? 1)
4 2 ?1
x
2

? 0 ,? k ? 0 …………10 分

(3) f ( 2 ? 1 ) ? t ? (

? 3 ) ? 0 ,即 2 ? 1 ?
x

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u ? ( 3 t ? 2 ) u ? ( 4 t ? 1) ? 0 (? )
x

记方程 (? ) 的根为 u 1 、 u 2 ,当 0 ? u 1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? ( u ) ? u ? ( 3 t ? 2 ) u ? ( 4 t ? 1) ,由题可知,
2

? ?? ( 0 ) ? 4 t ? 1 ? 0 ?? ( 0 ) ? 4 t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .…………14 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?
? ?

1 4

? t ? 0 时满足题设.…………16 分

20. (本小题满分 16 分) 解: (1)n=1 时, T1 ? 当 p ? 0 时, T n ?
4 3 ? 4 3 1 3 ? 1 3
2

( p ? S 1 ) ,即 1 ?
2

4 3

?
2

1 3

( p ? 1) ,? p ? 0 或 2 .
2

S n .将 n=2 代入,得 1 ? a 2 ?

4 3

?

1 3

(1 ? a 2 ) .? a 2 ? 0 或 2

1 2

.

与条件 a n ? 0 矛盾. ? p ? 0 当 p ? 2 时, T n ?
4 3
2

?

1 3

( 2 ? S n ) .①
2

将 n=2 代入,得 1 ? a 2 ? 由①,得 T n ? 1 ? ②-①,得 a n ? 1
2
2

4 3

?

1 3

(1 ? a 2 ) .? a 2 ?
2 2

1 2

, a2 ?

1 2

a1 .

( 2 ? S n ?1 ) ② 3 1 2 2 ? ? [( 2 ? S n ? 1 ) ? ( 2 ? S n ) ] 3 3
2

4

?

1

则 3 a n ? 1 ? (4 ? S n ? 1 ? S n )( S n ? 1 ? S n ) ,即 3 a n ? 1 ? (4 ? S n ? 1 ? S n ) a n ? 1
? a n ? 0 ? a n ? 1 ? 0 .则 3 a n ? 1 ? 4 ? S n ? 1 ? S n ③

则 3 a n ? 2 ? 4 ? S n ? 2 ? S n ?1 ④ ④-③,得 3 a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? ? a n ? 1 ? a n ? 2 ,? a n ? 2 ?
? a2 ? 1 2 a 1 ,? 数列 { a n } 是等比数列,则 a n ?
1 2
n ?1

1 2

a n ? 1 ( n ? N *)

,符合题意.

…………8 分

(2) ①假设存在正整数 n , m , k ( n ? m ? k ) ,使得 a n , a m , a k 成等差数列. 则
2 1
m ?1

? 2

1
n ?1

? 2

1
k ?1

,即 2

k ? m ?1

? 2

k ?n

?1, 当且仅当 k ? n ? 0, 且 k ? m ? 1 ? 1 成立.

即 k ? m ? n 时取等号,与 n ? m ? k 矛盾.
? 假设不成立,则不存在正整数 n , m , k ( n ? m ? k ) ,使得 a n , a m , a k 成等差数列.

②若 a n , 2 a n ? 1 , 2 a n ? 2 成等差数列,即 a n , a n ? 1 ? x , a n ? 2 ? y 成等差数列. 由①知, 1 ? x ? 0, 2 ? y ? 0,? x ? 1, y ? 2 分 附加题答案 21. B.解:矩阵 M 的特征多项式为
f (? ) ?

x

y

…………16

? ?1
?2

?2

? ? x

= ( ? ? 1)( ? ? x ) ? 4 ………………………1 分

因为 ? 1 ? 3 方程 f ( ? ) ? 0 的一根,所以 x ? 1 ………………………3 分 由 ( ? ? 1)( ? ? 1) ? 4 ? 0 得 ? 2 ? ? 1 ,…………………………………5 分 设 ? 2 ? ? 1 对应的一个特征向量为 ? ? ? ? ,
? y? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ?x ?

则?

得 x ? ? y …………………………………………8 分

令 x ? 1, 则 y ? ? 1 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 ? ? ?
?1 ? ? ………10 分 ? ? 1?

C.消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 1 ;…………… 2 分
? ? 2 2 (sin ? ? ?
4 ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ,

两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos ? ) , 得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 , …………………… 6 分
| 2 ?1?1| 2 ?1
2 2

圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

?

2 5 5

?

2 ,

所以直线 l 和⊙ C 相交. …………………………………………………… 10 分 22. (1) P (? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为 0,1,2,3.
1 ? 1 0 ? 0 2 2 P ( ? ? 0 ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 (1 ? a ) ? (1 ? a ) , 2? 2 ?

P ( ? ? 1) ? C 1 ?
1

1

1 ? 1 1 0 2 0 ? 2 C 2 (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a (1 ? a ) ? (1 ? a ) , 2 2? 2 ?

P (? ? 2 ) ? C 1 ?
1

1

1 ? 2 2 1 1 0 ? 2 C 2 a (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a ? ( 2 a ? a ) , 2 2? 2 ?

P (? ? 3) ? C 1 ?
1

1 2

C 2a ?
2 2

a

2

.

2

所以 ? 的分布列为
?
P
1 2

0

1
2

2
2

3
2

(1 ? a )

1 2

(1 ? a )

1 2

(2a ? a )

a

2

2
2

? 的数学期望为
E? ? 0 ?
1 2

(1 ? a ) ? 1 ?
2

1 2

(1 ? a ) ? 2 ?
2

1 2

(2a ? a ) ? 3 ?
2

a

?

4a ? 1 2

.

……………5 分

2

(2) P (? ? 1) ? P (? ? 0 ) ?
P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 2 ) ?
P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3) ?

1

? ? 1 ? a 2 ? ? (1 ? a ) 2 ? ? a (1 ? a ) , ? 2? 1 ? 2a 2
2

1

? (1 ? a 2 ) ? ( 2 a ? a 2 ) ? ? ? 2?
1 ? 2a 2

,

1

? (1 ? a 2 ) ? a 2 ? ? ? 2?

.

? ? a (1 ? a ) ? 0, ? 1? 1 ? 1 ? 2a ? 由? ? 0, 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 2? 2 2 ? ? ? 1 ? 2a 2 ?0 ? 2 ?

…… 10 分

4 23. (1) 解:g(x)中含 x2 项的系数为 C4+2C4+3C6=1+10+45=56.(3 分) 4 5 - (2) 证明:由题意,pn=2n 1.(5 分) ① 当 n=1 时,p1(a1+1)=a1+1,成立; ② 假设当 n=k 时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立, 当 n=k+1 时, - (1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k 1(a1a2…ak+1)(1+ak+1) -1 =2k (a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*) ∵ ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即 a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1, 代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立. 综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+an)对任意 n∈N*成立. (10 分)


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