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初高中数学衔接学习专题6 二元二次方程组的解法

初高中数学衔接学习专题6 二元二次方程组的解法


初高中数学衔接学习专题 6 二元二次方程组的解法 我们知道含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的 整式方程,叫做二元二次方程.至少有一个二次项、最高次不超过 二次且包含两个未知数的整式方程组叫做二元二次方程组.通常由 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成,或由两个二元二次方 程组组成。 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”,即通过“降次”、“消 元”,将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方 程组形式庞杂,解题方法灵活多样,具有较强的技巧性,因而在解这 类方程组时,要认真分析题中各个方程的结构特征,选择较恰当的方 法。 【例题 1】判断下列二元二次方程解的情况: (1) x2 ? y2 ? 4 y ? 0, (2) x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0, (3) x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 10 ? 0. 2 【解】由(1)得 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ,有无数组解; 2 2 由(2)得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 0 ,只有一个解 ? ?x ? 2 ; ?y ? 3 2 2 由(3)得 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? ?5 ,无解。 1 / 11 【小结】 与二元一次方程不同, 二元二次方程组的解可能有无穷多组、 只有一解或无解。 ? y ? 2x 【例题 2】解方程组: ? ? x2 y 2 ?1 ? ? ?4 2 x2 4 x2 9 x2 ? ?1 【解】把 y=2x 代入另一方程得到: ? 4 2 4 即: x 2 ? ,解得 x ? ? . 2 2 ? ? x? x?? ? ? ? ? 3 . 所以方程组的解为 ? 3 , ? ?y ? 4 ?y ? ? 4 ? ? 3 3 ? ? 4 9 2 3 【小结】(1) 本题中的方程组是由一个二元一次方程和一个二元 二次方程组成的,这是二元二次方程组在高中数学应用中主要的类 型; (2)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步 骤: ①由二元一次方程变形为用 x 表示 y 的方程,或用 y 表示 x 的方程 (3); ②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的 未知数的值; ⑤写出答案. (3) 消 x ,还是消 y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为 2 / 11 整数,那么最好消去系数绝对值较小的,如方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,可以消 去 x ,变形得 x ? 2 y ? 1 ,再代入消元. (4) 消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未 知数的值,不能代入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可 能产生增根,这一点切记. x y ? ?c+b=1①, 【例题 3】解关于 x 的方程组? 2 x y2 ? ?a2+b2=1②, 【解】由①得 y ? ? x ? b ③,代入②式得到: ? b ? ? x ? b? ? 2 x ? c ? ? 1, ? 2 2 a b 2 b c 即: x2 ? 1 ? ? ? ? x ? 1? ? 1 , 2 a ? c ? 2a 2 c 1 1 ? 2 2x x ? 0 ,解得 或 x ? ? ? x ? ? 0 2 2 ? 1 1 a2 ? c2 c ?a c ? ? a2 c2 2 c 2 即: ? ? ? ? ?x=0, 所以方程组的解为? 或

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