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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.2 第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质 Word版

2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.2 第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质 Word版

第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质 [对应学生用书P11] 组合的有关概念 [例 1] 判断下列各事件是排列问题还是组合问题: (1) 10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次? (2)10 支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能? (3)从 10 个人里选 3 个代表去开会,有多少种选法? (4)从 10 个人里选出 3 个不同学科的课代表,有多少种选法? [思路点拨] 要确定是组合还是排列问题,只需确定取出的元素是否与顺序有关. [精解详析] 的区别. (2)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的, 是有顺序区别的. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题,因为 3 个人中,担任哪一科的课代表是有顺序区别的. [一点通] 要区分排列与组合问题,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺 序有关的是排列,与顺序无关的是组合. (1)是组合问题,因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后,没有顺序 1.求从 2,3,4,5 四个数中任取 2 个数作为对数式 logab 的底数与真数,得到的对数的个数 有多少,是________问题;若把两个数相乘得到的积有几种,则是________问题.(用“排 列”“组合”填空) 解析:从 2,3,4,5 四个数中任取 2 个数作为对数式 logab 的底数与真数,交换 a,b 的位置 后所得对数值不同,应为排列问题;取两个数相乘,如 2×3 与 3×2 的积是相等的,没有顺 序,故为组合问题. 答案:排列 组合 2.判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)设集合 A={a,b,c,d,e},则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个? (2)某铁路线上有 5 个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? 1 (3)3 人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? (4)把 3 本相同的书分给 5 个学生,每人最多得 1 本,有几种分配方法? 解:(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺 序无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中选出 3 种, 按一定顺序分给 3 个人去干, 故是排 列问题. (4)因为 3 本书是相同的,无论把 3 本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合 问题. 有关组合数的计算与证明 3 3 [例 2] (1)计算:C4 10-C7·A3; m-1 (2)证明:mCm n =nCn-1 ; 1 1 7 m 5-m (3)已知 m- m= . m,求 C8 +C8 C5 C6 10C7 [思路点拨] [精解详析] (1)(2)运用公式进行化简即可,(3)先求出 m 的值,再进行计算. 4 (1)原式=C10 -A3 7= 10×9×8×7 -7×6×5=210-210=0. 4×3×2×1 (2)证明:mCm n =m· =n· n! n·?n-1?! = m!?n-m?! ?m-1?!?n-m?! ?n-1?! -1 =nCm n-1 . ?m-1?!?n-m?! 1 1 m!?5-m?! m!?6-m?! (3)∵ m- m= - , C5 C6 5! 6! 7 7×?7-m?!m! , m= 10C7 10×7! ∴ m!?5-m?! m!?6-m??5-m?! 5! - 6×5! 7×m!?7-m??6-m??5-m?! , 10×7×6×5! = 6-m ?7-m??6-m? ∴1- = , 6 60 即 m2-23m+42=0,解得 m=2 或 21. 而 0≤m≤5,∴m=2. 2 5-m 2 3 ∴Cm =C8 +C3 8 +C8 8=C9=84. [一点通] 1.组合数公式 Cm n= n?n-1??n-2?…?n-m+1? m! 体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组合数时会用到. 2.组合数公式 Cm n= n! 的主要作用:一是计算 m,n 较大时的组合数;二 m!?n-m?! n m 是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.另外,当 m> 时,计算 Cm n 可用性质 Cn = 2 -m Cn 转化,减少运算量. n 4 3 3.C10 -C3 7·A3=________. 3 解析:原式=C4 10-A7= 10×9×8×7 -7×6×5=210-210=0. 4×3×2×1 答案:0 3 4.若 An =12C2 n,则 n=________. 1 3 解析:∵An =n(n-1)·(n-2),C2 n= n(n-1), 2 ∴n(n-1)(n-2)=6n(n-1). 又 n∈N+,且 n≥3,∴n=8. 答案:8 1 1 2 5.解不等式 3- 4< 5. Cn Cn Cn 解:n 的取值范围是{n|n≥5,n∈N+}. 1 1 2 ∵ 3- 4< 5, Cn Cn Cn ∴ 6 n?n-1??n-2? n?n-1??n-2??n-3? 240 . n?n-1??n-2??n-3??n-4? - 24 < 又∵n(n-1)(n-2)>0. ∴原不等式化简得 n2-11n-12<0, 解得-1<n<12. 3 结合 n 的取值范围,得 n=5,6,7,8,9,10,11, ∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}. 简单的组合问题 [例 3] (10 分)在一次数学竞赛中,某学校有 12 人通过了初试,学校要从中选出 5 人参 加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选 5 人; (2)甲、乙、丙三人必需参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加. [思路点拨]

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