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高三数学5月回归课本知识点总结

高三数学5月回归课本知识点总结

高三数学 5 月回归课本知识点总结
一、 集合与逻辑 1 集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。

集合元素的互异性:如: A ? {x, xy, lg( xy)} , B ? {0, | x |, y} ,求 A ; 2、区分集合中元素的形式: 如: ?x | y ? lg x?—函数的定义域; ?y | y ? lg x?—函数的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集, (答: [1, ??) ) ;

如: (1) 设集合 M ? {x | y ? x ? 3} , 集合 N= ? y | y ? x 2 ? 1, x ? M ? , M ? N ? ___ 则

? ? ? ? (2)设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ?(3, 4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ?(4,5) ,? ? R} , 则 M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} )
3、条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况 空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系) ( 如: A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。 (答:a≤0) 4、 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ; A ? B ? {x | x ? A或x ? B} CUA={x|x∈U 但 x ? A}; A ? B ? x ? A则x ? B ;真子集怎定义? 含 n 个 元 素 的 集 合 的 子 集 个 数 为 2n, 真 子 集 个 数 为 2n - 1; 如 满 足 ? {1, 2} M ? {1, 2 , 3 , 集合 M 有______个。 (答:7) 4 , 5} ? 5、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB; 6、A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B ? CUB ? CUA ? A∩CUB= ? ? CUA∪B=U 7、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如已知函数 f ( x) ? 4x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 3 c ,使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 (答: ( ?3, ) ) 2 8、 原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ; 逆否命题: ?q ? ?p ; 互为逆否的两个命题是等价的. 如: sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 “ 条件。 (答:充分非必要条件)

9、 p ? q 且 q ?? p ;则 p 是 q 的充分非必要条件 若 (或 q 是 p 的必要非充分条件) ; 10、注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ?p ? ?q

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命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”“p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” , 注意:如 “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的 否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数” 11.真值表 p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

非p 假 假 真 真

p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 不都是 不大于 不小于

原结论 至少有一 个 至多有一 个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 ) 个 至少有( n ? 1 ) 个
?p 且 ?q ?p 或 ?q

存在某 x , p 或q 不成立 存在某 x , p 且q 成立

二、函数与导数 13、指数式、对数式: , ? 1 , a0 ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , m n a b loge x ? ln x , a ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N 。 1 log 8 1 如 ( ) 2 的值为________(答: ) 2 64 14、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0 时奇函数; 15、二次函数①三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?); 顶点式 f(x)=a(x-h)2+k; 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0 偶函数; ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; b 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 2a 处及区间的两端点处取得,具体如下:
a n ? n am , a
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?m n

(1)
f(
m


i

a>0


) ?




( ?a;
x

x?? ) f m

b ? ? p, q ? 2a
a


f ) q,


( )

x) ?

b n? f ( 2a

f ?m x ,

p

(x

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b (2)当 a<0 时,若 x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? ,若 2a b x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? 2a 1 如:若函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] , 2 则b = (答:2) ③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 ( 1 ) 方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 (m,??) 内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) ? 0 或 x??

? p 2 ? 4q ? 0 ? ; ? p ?? ? m ? 2 ( 2 ) 方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 (m ,n )内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) f (n) ? 0 或 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 ? 2 或? ; ? p ? 4q ? 0 或 ? ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2
? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ?? ? m ? 2
16、反比例函数: y ? (x ? 0) 平移 ?
a x

c x

y?a?

c (中心为(b,a)) x?b

0 ? 17、对勾函数 y ? x ? 是奇函数, a ? 0时, 在区间(?? ,), (0, ?)上为增函数

? a ? 0时, 在(0,a ],[? a ,0)递减 在(?? , a ],[ a ,?? )递增
18、单调性①定义法; (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2

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②导数法. 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范 围是____(答: (??,3] )); 注意①: f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调递增, f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要 但 ∴ 条件。 注意②:函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③ 求 参 数 范 围 ) . 如 已 知 奇 函 数 f (x) 是 定 义 在 (?2,2) 上 的 减 函 数 , 若 (答: ? f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。
1 2 ?m? ) 2 3 ③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函

数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答: (1,2))。
2

?

?

19 、 奇 偶 性 : f(x) 是 偶 函 数 ? f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x) 是 奇 函 数 ? f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是 为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 20.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 21、周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函 数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期 函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ?则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; ! 如已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有__________个实数根(答:5) (2)由周期函数的定义“函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x) 是 周期为 a 的周期函数”得:①函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 1 2 a 的 周 期 函 数 ; ② 若 f ( x ? a) ? (a ? 0) 恒 成 立 , 则 T ? 2a ; ③ 若 f ( x) 1 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) 如(1) 设 f (x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,
f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等于_____(答:? 0.5 );(2)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角形的两个内角,
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则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________(答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); 22、常见的图象变换 ①函数 y ? f ?x ? a ? 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左 (a ? 0) 或向 右 (a ? 0) 平移 a 个单位得到的。如要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关 于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单位而得到(答: y ;右); (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个(答:2) ②函数 y ? f ?x ? + a 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上 (a ? 0) 或向 b ? a 的图象向右平移 2 个单位 下 (a ? 0) 平移 a 个单位得到的;如将函数 y ? x?a 后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关于直线 y ? x 对称,那么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R (答:C) ③函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来 1 1 的 得到的。如(1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵 a 3 坐标不变) ,再将此图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为 _____(答: f (3x ? 6) ); (2) 如若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的 1 对称轴方程是_______(答: x ? ? ). 2 ④函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来 的 a 倍得到的. 23、函数的对称性。 a?b ①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ? 对称。如已 2 知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且 1 方程 f ( x) ? x 有等根,则 f (x) =_____(答: ? x 2 ? x ); 2 ②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ; 函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方 程为 y ? f ?? x ?; ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ; 函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方 程为 y ? ? f ?x ? ; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线 方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑤点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) ? 0 ;点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的方程 x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 , 为 f (? y, ? x) ? 0 。如己知函数 f ( x) ? 2x ? 3 2 它关于直线 y ? x 对称图像是 C2 ,C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数

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解析式是___________(答: y ? ?

x?2 ) ; 2x ?1
2

若 f(a-x)=f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x= a ? b 对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图像关于直线 x= b ? a 2 对称。

提醒: 证明函数图像的对称性, 即证明图像上任一点关于对称中心 (对称轴) x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f (x) 的对称点仍在图像上;如(1)已知函数 f ( x) ? a?x 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图形。 ⑥曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。如 若函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g (x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g (x) =______(答: ? x2 ? 7 x ? 6 ) ⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,对称中心是点 (? d , a ) 。 cx ? d c c 2 如已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称, 且图象 C ? 关 于点(2,-3)对称,则 a 的值为______(答:2) ⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关 于 x 轴的对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对 称图形得到。如(1)作出函数 y ?| log2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; (2)若 函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____ 对称 (答: y 轴) 24.求解抽象函数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ---------- f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x --- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ; y f ( x) ? f ( y ) ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? 。 1 ? f ( x) f ( y ) 如已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且为周期函数, 若它的最小正周期为 T, T 则 f (? ) ? __(答:0) 2 25、题型方法总结 Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种: 一 般 式 : f ( x) ? ax2 ? bx ? c ; 顶 点 式 : f ( x)? a( x 2 ) ? ; 零 点 式 : ? m n
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。如已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ) f(0)=1,图象在 x 轴 上截得的 线段 长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。( 答 : 1 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ) 2 (2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。 如 ( 1 ) 已 知 的 解 析 式 ( 答 : 1 1 f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] );( 2 ) 若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 则 函 数 x x 2 ; f ( x ? 1) =_____(答: x ? 2 x ? 3 )(3)若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且

f (1 ? c ox)s? s i2 x, 求 f x 2 n

? ?

当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f (x) =________(答:

x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定 义域应是 g ( x) 的值域。 (3)方程的思想――对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个 函数的方程组。如(1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解 析式 2 (答: f ( x) ? ?3 x ? ) ; (2) 已知 f ( x) 是奇函数,g (x) 是偶函数, f ( x) + g (x) = 且 3 x 1 ,则 f ( x) = (答: 2 )。 x ?1 x ?1 Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?, 底 数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若 f(x)定义域为[a,b],复合函数 f[g(x)]定义域由 a≤g(x)≤b 解出; f[g(x)]定义域为[a,b],则 f(x)定义域相 若 当于 x∈[a,b]时 g(x)的值域;
?1 ? 如:若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为__________ ?2 ? (答: x | 2 ? x ? 4 )(2)若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的 ; 定义域为________(答:[1,5]) . Ⅳ求值域:

?

?

①配方法:如:求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域(答:[4,8]) ; ②逆求法(反求法) :如: y ?
3x 通过反解,用 y 来表示 3x ,再由 3x 的取 x 1? 3

值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围(答: (0,1); ) ③换元法:如(1) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____(答:[?4,
17 ] )(2) ; 8

(令 x ?1 ? t , t ? 0 。运用换元 y ? 2x ?1 ? x ?1 的值域为_____(答: ?3, ?? ? ) 法时,要特别要注意新元 t 的范围) ; ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值 域;

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如: y ?

2sin ? ? 1 3 的值域(答: (??, ] ) ; 1 ? cos ? 2

⑤不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值。如设

(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围是 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1, b2 , y 成等比数列,则 b1b2
____________.(答: (??,0] ? [4, ??) ) 。 ⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。如求 1 9 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? , y ? 2 x ? 2 ? log 3 ? 5 ? x ? 的值域为______ 2 x 1 ? sin x 80 11 (答: (0, ) 、 [ ,9] 、 ?0,??? ) ; 9 2 ⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 如(1)已知点 P( x, y) 在圆 x2 ? y 2 ? 1上,求
[?
y 及 y ? 2 x 的取值范围(答: x?2

3 3 ; , ] 、 [? 5, 5] ) ( 2 ) 求 函 数 y ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的 值 域 ( 答 : 3 3 [10, ?? ) ; )

⑧判别式法: (1) y ? 如 求

x x?2 ? 1 1? 的值域 (答:? ? , ? ) ; 求函数 y ? (2) 2 1? x x?3 ? 2 2?

1 x2 ? x ? 1 的值域(答: [0, ] )如求 y ? 的值域(答: (??, ?3] ? [1, ??) ) 2 x ?1

⑨导数法;分离参数法;―如求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小 值。 (答:-48) 3 ? 2x ( x ? [?1,1]) ② 用 2 种方法求下列函数的值域:① y ? 3 ? 2x (y?
x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) ;③ y ? , x ? (??,0) x x ?1

Ⅴ:解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证. Ⅵ: 恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x) 恒成立 ? a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 ? a≤[f(x)]min; Ⅶ:任意定义在 R 上函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数 的和。即 f(x)= g ( x)+h( x) 其中 g(x)= f(x)+f(-x) 是偶函数,h(x)= f(x)-f(-x) 是奇函数
2 2

Ⅷ: 利用一些方法 (如赋值法 (令 x =0 或 1, 求出 f (0) 或 f (1) 、 y ? x 或 y ? ? x 令 等) 递推法、 、 反证法等) 进行逻辑探究。 (1) x ? R ,f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) 如 若 ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______(答:奇函数) (2)若 x ? R , f ( x) 满足 ;
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f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______(答: 偶函数)(3)已知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, ; 当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x)? x ? 0 的 解 集 是 _____________ ( 答 : cos
(?

y

( 0 , 1 ) ; ( , 3 ()x) 的定义域为 R ? , ? )(4)设 f 2 2 O 1 2 x 对任意 x, y ? R ? ,都有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, y 3 x 1 f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1,①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 . 2 (答: ? 0,1? ? ?4,5? ) . ? ?) , 1

?

?

26、 (1)函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . (2) 导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜 率。 V=s/(t)表示 t 时刻即时速度,a=v′(t)表示 t 时刻加速度。如一物体的运 动方程是 s ? 1 ? t ? t 2 ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的 瞬时速度为_____(答:5 米/秒) 27.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . 1 1 e (5) (ln x )? ? ; (log a x )? ? log a . (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . x x 28.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u' ? v' .
u u 'v ? uv ' ( )' ? (v ? 0) . (2) (uv) ? u v ? uv .(3) v v2 29.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点
' ' '

' ' ' U 处有导数 yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ? yu ? ux ,

或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . 30.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 31、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 过 点 P( 2,? 6 ) 曲 线 y ? f ( x) 的 切 线 , 求 此 切 线 的 方 程 ( 答 : 3x ? y ? 0 或 作
高三数学 5 月回归课本知识点总结 -9-

。 24 x ? y ? 54 ? 0 ) ⑵研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f/(x)≥0 得增区间;解 不等式 f/(x)≤0 得减区间;注意 f/(x)=0 的点; 如: a ? 0 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 设 ; [1,??) 上单调函数,则实数 a 的取值范围______(答: 0 ? a ? 3 ) ⑶求极值、 最值步骤:求导数;求 f ?( x ) ? 0 的根;检验 f ?(x) 在根左右两侧符号,若左正 右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值 与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如: (1)函数 3]上的最大值、 最小值分别是______ (答: ? 15 ) 5; ; y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0, (2)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有 最__值__答:大, ? 1) 特别提醒: (1)x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? = 0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件。 (2)给出函数极大(小)值的 条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的 转化, 否 则 条 件 没 有 用完 , 这 一 点 一 定 要 切 记 ! 如 : 函 数
15 ) (3)方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__(答: 2

f

? x? ?

3

2 x? a x ?

b 在 a1处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7) ?x2 ?x

三、数列、 32、等差数列中 an=a1+(n-1)(叠加法)

;Sn== na1 ?

n(n ? 1) n(n ?1) n(a1 ? an ) d= d = nan ? (倒序相加法) 2 2 2

等比数列中 an= a1 qn-1;(叠乘法)当 q=1,Sn=na1 当

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q q≠1,Sn= 1 ? q = 1 ? q (错位相减法)
33.常用性质、结论: (1)等差数列中, an=am+ (n-m)d, d ? 等比数列中,an=amqn-m; 当 m+n=p+q ,

am ? an ;当 m+n=p+q,am+an=ap+aq; m?n

aman ? a p aq ;

如①在等比数列 {an } 中, 3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 , 公比 q 是整数, a10 =___ 答: 则 ( a 512) ; ②各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 10 -

(答:10) 。 (2).常见数列:{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、
?1? ? an ? a ? ? 、{anbn}、 ? ? 等比;{an}等差,则 ?c ? (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则 bn ? bn ? ? ?
n

{logcbn}(c>0 且 c ? 1)等差。 (3)在等差数列 ?an ? 中: ①若项数为 2n ,则

S偶 ? S奇 ? nd
S奇 S偶

S偶 S奇 ?

?

an?1 an

②若数为 2n ? 1 则, S奇 ? S偶 ? an?1 在等比数列 ?an ? 中: ① 若项数为 2n ,则

n ?1 , S 2n?1 ? an?1 ? (2n ? 1) n

S偶 S奇

? q ②若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q

(4). 等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m S3m、??仍为等差数列。 等比数列{an}的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、 3m-S2m、S4m S S3m、??仍为等比数列。 如:公比为-1 时, S4 、 S8 - S4 、 S12 - S8 、?不成等比数列 34.等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,,a+d,a+3d; 等比三数可设 a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为 什么?) 如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与 第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9, 3,1 或 0,4,8,16) 35、等差、等比数列的判定: { (1) an}等差 ? an ? an?1 ? d (常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *中项)
? an ? an ? b(一次) ? sn ? An2 ? Bn(常数项为0的二次); a, b, A, B ? ?

?a 2 ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2,n ? N) a (2) a n }等比 ? ? n { ? n ? q(定); an?1 an ? 0 ?

? a n ? a1 ? q n?1 ? sn ? m ? m ? q n ; m ? ?
如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1) 36、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前 n 项和最大(或最小)问题,转化

?an ? 0 ?an ? 0 (或? ) ? 为解不等式 a ? 0 an?1 ? 0 ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?),由 ? n?1 ?
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 11 -

此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此 最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) 37.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法求数列的和:如 an=2n+3n 、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n、裂项法求 2n 1 1 1 和:如求和: 1 ? (答: ) 、倒 ? ??? ? n ?1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 序相加法求和:
x2 如①求证: C ? 3C ? 5C ??? (2n ? 1)C ? (n ? 1)? ;②已知 f ( x) ? ,则 2 1 ? x2
0 n 1 n 2 n n n n

1 1 1 7 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =___(答: ) 2 3 4 2 38.求数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想) :

?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ? ?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 ② an ?? 1 ?

如 an= -2n2+29n-3

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n

n n ? 156 39 、 求 通 项 常 法 : ( 1 ) 已 知 数 列 的 前 n 项 和 s n , 求 通 项 a n , 可 利 用 公

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an=
(n ? 1) (n ? 2)

2

?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 式:

1 1 1 14, n ? 1 如:数列 {an } 满足 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) 2 ,n ? 2 2 2 2 (2)先猜后证 (3)递推式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); a n+1 = a n ×f(n) (采用累积法); 1 (n ? 2) ,则 an =________(答: 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n an ? n ? 1 ? 2 ? 1)

?

(4)构造法形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列如①已 知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2? n?1 ?1 ) ; 3 (5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决,适当注意以下 3 个公式 的合理运用 a a a an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+??+(a2-a1)+a1 ; an= n ? n-1 ? 2 a 1 a n-1 a n-2 a 1
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 12 -

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 kan ?1 ? b 1 an ?1 , 求 an ( 答 : an ? ) ② 已 知 数 列 满 足 a1 =1 , ; a1 ? 1, an ? 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) n (7)、常见和: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6

(6)倒数法形如 an ?

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ] 2

四、三角 40、终边相同(β =2kπ +α ); 弧长公式:l ?| ? | R ,扇形面积公式:S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 ,1 弧度(1rad) ? 57.3? . 2 2 如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm2 ) 41、函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? b( ? ②振幅?相位?初相?周期 T=
? 0, A ? 0 )①五点法作图;

2? ? ,频率?φ =kπ 时奇函数;φ =kπ + 时偶函数. 2 ?

② 对 称 轴 处 y 取 最 值 , 对 称 中 心 处 值 为 0; 余 弦 正 切 可 类 比 .

0 ? y ? A sin ?? x ? ? ?的对称轴方程x ? k? ? ? , 对称中心 ? k?,? 2

? ? y ? A cos ?? x ? ? ?的对称轴方程x ? k? , 对称中心 ? k? ? ,? 0 2 ? ? ? y ? A tan ?? x ? ? ?的对称中心 ? k? ? ,? 、k?,?) 0 ? 0 2 ?
? 5? ? ③ 如(1)函数 y ? sin ? ; ? 2 x ? 的奇偶性是______(答:偶函数)(2)已知函 ? 2 ?
数 f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______(答: -5) (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是 ; __________、____________(答: (
k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) ; 2 8 2 8

( 4 ) 已 知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为 偶 函 数 , 求 ? 的 值 。 答 : (
( k ? Z )) 6 ④变换:φ 正左移负右移;b 正上移负下移;

? ? k? ?

?

y ? sin x ???? ? y ? sin(x ? ?) ?
高三数学 5 月回归课本知识点总结

左或右平移 |?|

? ??????? ? ?

横坐标伸缩到原来的

1



y ? sin( x ? ?) ?

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y ? sin x

? ??????? ? ?

横坐标伸缩到原来的

1



? y ? sin?x ?????? y ? sin( x ? ?) ?

? 左或右平移 | |

?纵坐标伸缩到原来的 ? ? y ? A sin( x ? ?) ?上或下平移 |b|? y ? A sin( x ? ?) ? b ????? A倍 ? ? ??? ? ?
42、正弦定理:2R=
a b c = = ; 内切圆半径 r= 2S?ABC 余弦定理: sin A sin B sin C a?b?c

a =b +c -2bc cos A , cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A? 1 ca sin B ; 2 2 2 2bc

术语:坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基准方向为起点(一般为北方) ,依顺 时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之。方位角α 的取值范围 是:0°≤α <360°
tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =____; tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 13 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =_________(答: ? ; ) ; 3 5 44、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限.(注意:公式中始终视 ? 为锐角) ..... ..... . ... . ... .

43、同角基本关系:如:已知

45、重要公式: sin ? ?
2

1 ? cos2? 1 ? cos 2? 2 ; cos ? ? . ; 2 2

nt a

? ? 2 ? ? ? 1 ?sc ? ns ? o i 1 ?sc ? o ?? ? ? ; 1 ? sin? ? (cos ? sin ) ? cos ? sin 2 2 2 2 2 1 ?sc ? 1 ?sc ? ns ? o o i
5 3( x ? R ) 的单调递增区间为 2

如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? ___________(答: [ k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12 12 巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 等) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ? , , 2 2 2 2 2 ? 1 ? 如: (1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: 5 4 4 4 3 ) ; 22 3 (2)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数 5 3 4 3 关系为______(答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 ,k? ?

?

?

??

?

46、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中
tan ? ? b ) a
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高三数学 5 月回归课本知识点总结

如: (1)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时,tan x 的值是______(答:? (2)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =

3 ); 2 (答:-2);

五、平面向量 47、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向 量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。)、共线向量、相等向量 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 48、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB 49、 a ? b ? a ? b ? a ? b ,) ???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ? 如:在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 ?? a、 表示) b ???? ? 1 ? ? ???? ???? ???? ??? ? ? ? 解:由AN ? 3NC得4 AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ? b ,所以 2 ???? 3 ? ? ? ? 1? 1? 1? MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4 50、 (5)向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0; ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 ②当 a ,b 同向时,a ? b = a b ,特别地,a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 ? ? ? ? b b 反向时, a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 不同 ? ? ? ? 向,a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件; ? 为钝角时,a ? b <0, a、 当 且 b ? ? ? ? ? ? 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件;③ | a ? b |?| a || b | 。如(1)已知
a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______ 4 1 (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ) ; 3 3
? ?
? ?

51、向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =
? ?

a ?b a

52、 e1 和 e 2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一) 特别:. OP = ?1OA ? ?2 OB 则 ?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、A、B 共线的充要条件如平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足
OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(答:
? ??

?

?

?

??? ?

??? ?

? ??

? ??

直线 AB)

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 53 、 在 ?ABC 中 , ① PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的 重 心 , 特 别 地 3 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的 重 心 ; ② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 15 -

?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC AB ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分 ? ③向量 ? ( ??? | AB | | AC | 线所在直线); ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ④ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;

⑤S⊿AOB=

??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 如: (1) O 是 ? ABC 所在平面内一点, 若 且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,

1 x A y B ? xB y A ; 2

则 ? ABC 的形状为____(答:直角三角形)(2)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ; ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 ??? ? ? ,则 ? 的值为 | PD | ??? ??? ??? ? ? ? ? ___(答:2)(3)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 ; ? C 为____(答: 120 ) ; 54、 P 分 P1P2 的比为 ? ,则 P1 P = ? P P2 , ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分.
OP = OP1 ? ? OP2
1? ?

;若λ =1 则 OP = 1 ( OP1 + OP2 );设 P(x,y),P1(x1,y1),
2

x1 ? x2 ? x ? ?x 2 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x? 1 , , ?x ? 2 , ? ?x ? ? ? 1? ? ? 3 P2(x2,y2)则 ? ;中点 ? 重心 ? ? y ? y1 ? y 2 . ? y ? y1 ? ?y 2 . ?y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? ? ? 3 1? ? ? ? 2 ?
???? ? ? x? ? x ? h ? 55、点 P( x, y) 按 a ? (h, k ) 平移得 P?( x?, y?) ,则 PP? = a 或 ? 函数 y ? f (x) 按
? y? ? y ? k

? ? a ? (h, k ) 平移得函数方程为: y ? k ? f ( x ? h) 如(1)按向量 a ?

把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,

则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______(答: (-8,3); )(2)函数 y ? sin 2 x 的 图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2 x ? 1,则 a =________(答:
,1) ) 4 56.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数 解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (?
? ?

?

(3) 图象 C ' 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k) ? 0.

高三数学 5 月回归课本知识点总结

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(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 57. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 六、不等式 58、注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: 1 1 ①若 ab>0,则 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要 a b 改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负 号未定,要注意分类讨论。如:已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取 值范围是______(答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; 59、比较大小的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式)(3)分析法; ; (4) 平方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量 与“0”比,与“1”比或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最 1 t ?1 基本的方法。如(1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小(答: 2 2 1 t ?1 1 t ?1 当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) 当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ; 2 2 2 2 2 1 ( t ? 1 时取等号); )(2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大 a?2 小(答: p ? q )
2 2 60、 常用不等式: a, b ? 0 , 若 (1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (当且仅当 a ? b 2 2 1?1 a b 2 2 2 时取等号) ; (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时, b b?m 取等号)(3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? ; (糖水的浓度问题) 。 a a?m 如: 如果正数 a 、 满足 ab ? a ? b ? 3 , ab 的取值范围是_________ 则 (答: 9, ?? ? ) b ?

a?b 2 ) ? ; 2 注意:①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、凑、 9 1 ( x ? ) 的最小值 平方;如:①函数 y ? 4 x ? 。 (答:8) 2 ? 4x 2 ②若若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 1 1 ③正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y

基本变形:① a ? b ?

;(

高三数学 5 月回归课本知识点总结

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61、 a ? b ? a ? b ? a ? b (何时取等?);|a|≥a;|a|≥-a 62、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合 法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有: ⑴添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ? (
n ? (n ? 1) 2 ⑷利用常用结论: n(n ? 1) ? lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

Ⅰ、 k ? 1 ? k ?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

Ⅲ、

(5)换元法:常用的换元有三角换元和代数换元。如: 已知 x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ; 已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 ); 已知
x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ; a2 b2

(6)最值法,如:a>fmax(x),则 a>f(x)恒成立. 63、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方 ④公式法:|f(x)|>g(x) ? ;|f(x)|<g(x) ? 。 64、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法).注意偶次式与奇次 式符号.奇穿偶回 如(1)解不等式 ( x ? 3)( x ?1)3 ( x ? 2)2 ? 0 。 (答:{x | x ? 1或x ? ?3 或 x ? ?2} )(2) ; 解不等式
1 ax 2 { ? x(a ? R)(答:a ? 0 时, x | x ? 0} ;a ? 0 时, x | x ? 或 x ? 0} ; { a ax ? 1 1 ? x ? 0} 或 x ? 0} ) a

a ? 0 时, {x |

七、立几 65. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α 、a∩α =A (a ? α ) 、a ? α ③平面与平面:α ∥β 、α ∩ β =a
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 18 -

a // b ? ? ? ?? ? // ? ? ? ? 66. 常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; ? ? a // ? ; a ? ? ? ? a // ? a ? ?? a ? ?? a ?? ? ? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? ? ; a ? ? ? ? a // b ; ? ? ? ? a ? ? a // b ; a // b? ? c // b ? ? ? ? a // b b ? ? ? a // c ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b? ? ?

a // ?

③面面平行: a ? b ? O

a ? ? ,b ? ? ? ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?

;

a ??? ? ? ? // ? a ? ??

;

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

④线线垂直: a ? ? ? ? a ? b ;所成角 900; a ? ? ?
b ? ??

PO ? ? ? ? (三垂线);逆定理? ? ? a ? PA ? a ? AO ?

⑤线面垂直: a ? b ? O

??? a ? ?,b ? ? ? ? ? ? ; ; ? // ? ? ; a // b ? ? ? l ?? ? ?? ? l ? ? a ? ? a ? ?? ? a ? ? a ? ?? ? b ? ? ? ? a ? ?, a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?

⑥面面垂直:二面角 900;

a ? ?? ??? ? ? a ?? ?

;

a // ? ? ??? ? ? a ? ??

? 67. (要求不高)异直线所成角 ? 的求法: (1)范围:? ? (0, ] ; (2)求法:平 2 移以及补形法、 向量法。 (1) 如 正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等,E 是 PC
的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于____(答:
3 )(2) ; 3

在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上的 一点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为____(答:90°) ;②直线和平面所成的 角: (1)范围 [0? ,90? ] ; (2)斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。(3) : 求法:作垂线找射影或求点线距离 (向量法) ;如(1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,BD=1,则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为______ (答:arcsin
6 )(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中 ; 4

1 点,则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是______(答: ) ;③二面角: 3

二面角的求法:定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法: S射=S原 ? cos? 、 转化为法向量的夹角。如(1)正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大 小为________(答: 60? )(2)正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 ; 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°,则二面角 C1—BD1—B1 的大小为______(答:
arcsin 6 ) ; (3) 从点 P 出发引三条射线 PA、 PB、 PC, 每两条的夹角都是 60°, 3

高三数学 5 月回归课本知识点总结

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1 则二面角 B-PA-C 的余弦值是______(答: ) ; 3 68. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ? 顶点在底面射影为底面外 心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ? 顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等 (侧面与底面所成相等) ? 顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面 所成角相等为θ ,则 S 侧 cosθ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?; 69.(选修)距离①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面

??? ? ? PA ? n 间距离)→点到面距离:直接法、 等体积、 转移法、 垂面法、 向量法 h ? ? . n

③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求; 70. 求球面两点 A、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式 L 球面距离=θ
球心角

×R;纬线半径 r=Rcos 纬度。S 球=4π R2;V 球= π R3;

4 3

71. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、 长度不变; 72. 从点 O 引射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若 A 到 OB 与 OC 距离相等,则 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分线 上; 73. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开 为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行 ? 线面平行 ? 面面 平行⑥线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、 重心”转化. 74.三面角公式:AB 和平面所成角是θ ,AB 在平面内射影为 AO,AC 在平面内,设∠ CAO=α ,∠BAC=β ,则 cosβ =cosθ cosα ;长方体:对角线长 l ?
a2 ? b2 ? c2

;若长方

体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α ,β ,γ ,则有 cos2α +cos2 β +cos2γ =1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α ,β ,γ ,则 cos2α +cos2β +cos2γ =2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长; 特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的 转化,即:
线∥线 ? ? 线∥面 ? ? 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面⊥面 ???? ? ? 线∥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面∥面 ? ?

(说明:65---74 根据文理科和自己的能力有选择的掌握) 八、解几 75.倾斜角α ∈[0,π ],α =900 斜率不存在;斜率 k=tanα = y2 ? y1
x2 ? x1

K

76.直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 20 -

O


π α

y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式: y ? y1 ? x ? x1 ;截距式: x ?
y2 ? y1 x2 ? x1
a y ? 1 (a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于 b

零截距和无斜率造成丢解,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 a =(A,-B) 77.两直线平行和垂直①若斜率存在 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 则 l1∥l2 ? k1∥k2,b1 ≠b2;l1⊥l2 ? k1k2=-1 ②若 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0; ③若 A1、A2、B1、B2 都不为零 l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C1 ; ④l1∥l2 则化为同 x、y 系数后距离 d= 78.点线距 d= | Ax0 ? By0 ? C | ;
A2 ? B 2

A2 B2 | C1 ? C 2 |
A2 ? B 2

C2

79. (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). ? x ? a ? r cos? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? (4) 圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 80.若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 内(上、外) 81.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系,如:用垂径定理,构造 Rt△解决弦 长问题,又:d>r ? 相离;d=r ? 相切;d<r ? 相交. 82.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 d,两圆半径分别 为 r,R,则 d>r+R ? 两圆相离;d=r+R ? 两圆相外切;|R-r|<d<r+R ? 两圆相 交;d=|R-r| ? 两圆相内切;d<|R-r| ? 两圆内含;d=0,同心圆。 83.把两圆 x2+y2+D1x+E1y+C1=0 与 x2+y2+D2x+E2y+C2=0 方程相减即得相交弦所在直线 方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、 双曲线、 抛物线?过曲线 f1(x,y)=0 与曲线 f2(x,y)=0 交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λ f2(x,y)=0 84.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
85.椭圆①方程 x2
a
2

?

y2 ? 1 (a>b>0);参数方程 ? b2 ?y
1? b2 a2
2 2 2

?x ? a cos? | P F| ? b sin ? ②定义: d 相应 =e<1;

|PF1|+|PF2|=2a>2c③e= c ?
a

,a =b +c ④长轴长为 2a,短轴长为 2b⑤焦半径

左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦点弦 AB ? 2a ? e(x A ? x B ) ,右焦点弦 AB ? 2a ? e(x A ? x B ) ⑥ 准线 x= ? a 、通径(最短焦点弦) 2b ,焦准距 p= b ⑦ S?PF F = b 2 tan ? ,当 P 为短轴端
2

2

2

c

a

c

1 2

2

点时∠PF1F2 最大,近地 a-c 远地 a+c; 86.双曲线①方程
x 2 y2 | P F| ? ? 1 (a,b>0)②定义: d 相应 a 2 b2

=e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③

高三数学 5 月回归课本知识点总结

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e= c ?
a

1?

b2 a2

,c =a +b ④四点坐标?x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半
2
2
2

2

2

2

径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准 线距离⑥准线 x= ? a 、通径(最短焦点弦) 2b ,焦准距 p= b ⑦ S?PF F = b 2 cot ? ⑧渐
c
a
c
1 2

2

进线

b x y ? ?0或y?? x a a 2 b2

2

2

;焦点到渐进线距离为 b;

87.抛物线①方程 y2=2px②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴?焦点 F( p ,0),准线 x=- p ,④焦半径 AF ? x A ? p ;焦点弦 AB =
2 2 2
2 x1+x2+p;y1y2=-p ,x1x2= p 其中 A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径 2p,焦准距 p; 4

2

88. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 89. ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则 ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分. 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系. 90.过圆 x2+y2=r2 上点 P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆 x2+y2=r2 外点 P(x0,y0)作 切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则 另一条垂直x轴. 91.对称①点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m 的对称点分别是(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a),(-b,-a),(b-m、 a+m)、 (-b+m、 -a+m)②点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 对称点用斜率互为负倒 数和中点在轴上解③曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)对称曲线为 f(2a-x,2b-y)=0; 关于 y=x 对称曲线为 f(y,x)=0;关于轴 x=a 对称曲线方程为 f(2a-x,y)=0;关 于轴 y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 92.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、 韦达 定理、弦长公式;注意二次项系数为 0 的讨论;注意对参数分类讨论和数形结 合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式
AB ? 1 ? k 2 ? x 2 ? x 1 ? (1 ? k 2 ) ?x | ax |
? 1? 1 ? y 2 ? y1 ? k2
2

(1 ?

?y 1 ) ②涉及弦中 2 k | ay |

点与斜率问题常用 “点差法” .如: 曲线 x 2
a
2

?

y2 ? 1 (a,b>0)上 b2

A(x1,y1)、 2,y2) B(x
2p y1 ? y 2

中点为 M(x0,y0),则 KABKOM= ? b 2 ;对抛物线 y2=2px(p≠0)有 KAB=
a

93.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 22 -

代入法(动点 P(x,y)依赖于动点 Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用 x、 y 表示 x1、y1,再将 x1、y1 代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等. 94.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误 ②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题 常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中 心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为 Ax2+Bx2=1;共渐进线
b x 2 y2 y ? ? x 的双曲线标准方程可设为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? a a b
2

≠0);抛物线 y2=2px 上

点可设为( y 0 ,y0);直线的另一种假设为 x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦
2p

定理及圆锥曲线定义. 95.四种常用直线系方程 (1) 定 点 直 线 系 方 程 : 经 过 定 点 P ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 0 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P ( x0 , y0 ) 0 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中 λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示 ? 0 平 行 直 线 系 方 程 . 与 直 线 A x? B y C? 平 行 的 直 线 系 方 程 是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线 系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. 96. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x ? b y? c?0 是 直 线 AB 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系 方程是 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
的交点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是 待定的系数. 97.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则
d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 98.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
高三数学 5 月回归课本知识点总结 - 23 -

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2 99.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
100.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 再利用相切条件求 k, 这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两 条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . ? x ? a cos? x2 y 2 101.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . a b ? y ? b sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c 103.椭圆的的内外部 2 2 x0 y0 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 2 x y2 x y (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a b a 2 b2 104. 椭圆的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b

102.椭圆

高三数学 5 月回归课本知识点总结

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(2) 过椭圆 是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 A a ? B b .2 ? c 105.双曲线的内外部 x2 y 2 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a b a 2 b2 x2 y 2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a b a 2 b2 106.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦 a b a b 点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 107. 双曲线的切线方程(仅供参考) x2 y 2 (1) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 一 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦 a b xx y y 方程是 02 ? 02 ? 1 . a b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ? B b ? c. 108. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y? 2 109.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其 2p 2 中 y? ? 2 px? .

110.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: (1) 2a 4a
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高三数学 5 月回归课本知识点总结

b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); ); (2)焦点的坐标为 (? , (3)准 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 线方程是 y ? . 4a 111.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) .

顶点坐标为 (?

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) . 112. 抛物线的切线方程(不要求掌握) (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . ( 2 ) 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 113.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? 2 ? 1 ,其中 k ? max{a2 , b2} .当 (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 a ?k b ?k 2 2 k ? min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.

114.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或
AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点

?y ? kx ? b ? A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ? 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 , ? 0 , ? ?F( x, y) ? 0 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 九、排列、组合、二项式定理 115、计数原理:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的, 一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步 相乘 (一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件 事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的) ,有序排列, 无序组合.如(1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种(答:
35 )(2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型 ;

与乙型电视机各一台, 则不同的取法共有

种 (答: ; 从集合 ?1, 2,3? 70) (3)

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和 ?1,4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标, 则在直角坐标系中能确定不同点 的个数是___(答:23)(4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有 ; 个(答: 12)(5) ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶 ; 点共 10 个点,以这些点为顶点,可以构成_____个三角形(答:90) ;
n! 116、排列数公式: Anm =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ( n ? m)! (m≤n,m、n∈N*),

0!=1; A n =n!; n.n!=(n+1)!-n!; Anm ? nAnm??1 ; Anm?1 ? Anm ? mAnm?1 n 1 117、组合数公式: Cnm ? An
m

m!

?

n! n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) = m!( n ? m )! (m≤n), m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1

n Cn0 ? 1 ; Cnm ? Cnn?m ; Cnr ? Cnr?1 ? Cnr?1 ; Crr ? Crr?1 ? ? ? ? ? Crn ? Crn?11 ; Cnm ? Cnm??1 ; 1 ? m

118、 (选修内容)主要解题方法:①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先。如: 某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅 的地面及楼的外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有_____种 (答:300) ;.②捆绑法如(1)把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生 要排在一起,不同的排法种数为_____(答:2880)(2)某人射击8枪 ; ,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____(答: 20) ;③插空法如(1)3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位, 则不同的坐法种数有_______种(答:24) (2)某班新年联欢晚会原定的 5 ; 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原 节目单中,那么不同的插法种数为_____(答:42) 。 ④间接扣除法如在平面直角坐标系中, 由六个点(0,0), (1,2), (2,4), (6,3), (-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的个数为_____(答:15) 。 ⑤隔板法如(1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分 发?每人至少两个呢?(答:36;15)(2)某运输公司有 7 个车队,每个车队 ; 的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队, 每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84) ⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有 4 只次品和 6 只正 品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到 4 只次品全测出为 止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是_____(答: 576) 。
1 119、二项式定理 (a ? b)n ? Cn0a n ? Cn a n?1b ? Cn2a n?2b2 ? ? ? Cnr a n?r br ? ? ? Cnnbn

特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+?+Cnrxr+?+Cnnxn 120、二项展开式通项: Tr+1= Cnran-rbr ;作用:处理与指定项、特定项、常数项、 有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数; 94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.Cnm=Cnn-m ②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若 n 为奇数,中间两项(哪项?)
1 1 ③二项式系数和 Cn0 ? Cn ? Cn2 ? ? ? ? ? Cnn ? 2n ; Cn0 ? Cn2 ? ? ? ? ? Cn ? Cn3 ? ? ? ? ? 2n?1;

121、 f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为 f(1);奇次项系数和为 1 [ f (1) ? f (?1)] ;偶次项
2
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系数和为 1 [ f (1) ?
2

f (?1)] ; (ax ? by)

n

展开各项系数和,令 x ? y ? 1 可得.

122、二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不 等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。 十、概率与统计 123、 随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1, 其中当 P( A) ? 1 时称为必然事件; P( A 0 当 ) ? 时称为不可能事件 P(A)=0; 124、等可能事件的概率(古典概率) ::P(A)=m/n;如: 设 10 件产品中有 4 件次 品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次品;②从中任取 5 件 恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依次取 5 件恰 2 10 44 10 有 2 件次品。 (答:① ;② ;③ ;④ ) 互斥事件(不可能同时发 15 125 21 21 生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如:有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑 球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中 8 仍装有 4 个白球的概率。 (答: ) ;对立事件(A、B 不可能同时发生,但 A、B 21 中必然有一发生):P(A)+P( A )=1;独立事件(事件 A、 的发生互不影响):P(A?B) B 1 =P(A)·P(B); 如(1)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 9 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是 2 ______(答: )(2)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则 ; 3 规定:答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分, 假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答 对与否相互之间没有影响, 则这名同学得 300 分的概率为_____________;这名同 学至少得 300 分的概率为_____________(答:0.228;0.564) ;独立事件重复试 k k n-k 验::Pn(K)=Cn p (1-p) 为 A 在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率。如(1) 袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全 1 相同的概率是________(答: )(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每 ; 9 次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等,则 15 甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为__________(答: ) 128 125、 总体、 个体、 样本、 样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法, 抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点:每个个体被抽到的概率 n 都相等 。如:某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人, N 现通过分层抽样抽取一个容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2, 则 n= _______(答:200) ; 126、总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法, 即用样本平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平) 直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率), 横轴一般是 数据的大小,小矩形的面积表示频率

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1 1 n 样本平均数: x ? ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? ? xi n n i ?1
1 1 n 样本方差: s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ? ? ( xi ? x)2 ; n n i ?1
2 1 (x12+x22+ x32+?+xn2-n x ) n 方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小,数据方差越大,说明这组数据的波 动越大。



提醒:若 x1 , x2 ,?, xn 的平均数为 x ,方差为 s 2 ,则 ax1 ? b, ax2 ? b,?, axn ? b 的平 均数为 ax ? b , 方差为 a 2 s 2 。 如已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 , 方差 S 2 ? 4 , 则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的平均数和标准差分别为 A.15,36 B.22,6 C.15,6 127.回归直线方程 n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? ? ? a ? bx ,其中 ?b ? i?1 n y 2 ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx 128.相关系数 D.22, 36 (答:B)

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
2

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 130.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 131.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 . 199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . (4) (a ? bi ) ? (c ? di) ? 2 c ? d 2 c2 ? d 2

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