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《数列的概念与简单表示法》参考教案

《数列的概念与简单表示法》参考教案

§ 2.1.1 数列的概念与简单表示法(第 1 课时)
授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的 通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据 其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养 学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的 兴趣 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 4,5,6,7,8,9,10.
1 1 1 1 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,….



② ③ ④ ⑤ ⑥

1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…. 1,1.4,1.41,1.414,…. -1,1,-1,1,-1,1,…. 2,2,2,2,2,….

观察这些例子,看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义) 上述例子的共同特点是:⑴均是一列数;⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而
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排列次序不同,那么它们就是不同的数列; (2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重 复出现. 2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的 第 1 项(或首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第 1 项(或首项) ,“9” 是这个数列中的第 6 项. 3.数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项
1 是“1”,“ 3 ”是这个数列的第“3”项,等等

王新敞
奎屯

新疆

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这 一关系可否用一个公式表示? (引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现 数列的通项公式) 对于上面的数列②, 第一项与这一项的序号有这样的对应关系:
1
1 2 1 3 1 4 1 5



↓ 序号 1 2



↓ 3

↓ 4

↓ 5
an ? 1 n 来表示其对应关系

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:

即:只要依次用 1,2,3…代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 4.数列的通项公式: 如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来 表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意(1)并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它
an ?
n ?1 1 ? (?1) n ?1 a n ?| cos ?| 2 2 ,也可以是 .

的通项公式可以是

(3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中
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的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有

各项的一般表示. 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通 项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的 函数 an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得 到一个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…,f(n),… 6.数列的分类: (1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列 (2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 [范例讲解] 例 1 根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出前 5 项:
an ? n ; (2)a n ? (?1) n ? n n ?1

(1)

分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可 得到数列的前 5 项
王新敞
奎屯 新疆

解: (1)

n ? 1,2,3,4,5.a1 ?

1 2 3 4 5 ; a 2 ? ; a3 ? ; a 4 ? ; a5 ? ; 2 3 4 5 6 1 ; a 2 ? 2; a3 ? ?3; a 4 ? 4; a5 ? ?5; 2

(2)

n ? 1,2,3,4,5.a1 ?

例 2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:

3 / 10

(1)1,3,5,7;

2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 ; , ; ; 3 4 5 (2) 2

1 1 1 1 (3)- 1 ? 2 , 2 ? 3 ,- 3 ? 4 , 4 ? 5 .

解: (1)项 1=2× 1-1 3=2× 2-1 5=2× 3-1 7=2× 4-1 ↓ 序号 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4

即这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1, ∴它的一个通项公式是: an ? 2n ? 1 ; (2)序号:1 ↓ 项分母:2=1+1 ↓ 项分子: 22-1 2 ↓ 3=2+1 ↓ 32-1 3 ↓ 4 ↓

4=3+1 5=4+1 ↓ 42-1 ↓ 52-1

即这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1,分子都是分母的平方减去 1,∴它
(n ? 1) 2 n an ? n ?1 ; 的一个通项公式是:

1 ? 1 ? (3)序号 1 ? 2

3 ? 1 ? 2?3


3 ? 1 ? 3? 4


4 ? 1 ? 4?5

(?1) 2 1 2 ? (2 ? 1)


(?1)1

1 1 1 (?1) 2 (?1) 3 1 ? (1 ? 1) 3 ? (3 ? 1) 2 ? (2 ? 1)

这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,
a n ? (?1) n 1 n(n ? 1)

偶数项为正,所以它的一个通项公式是: Ⅲ.课堂练习 课本[练习]3、4、5
4 / 10

[补充练习]:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
2 4 6 8 10 (2) 3 , 15 , 35 , 63 , 99 , ……;

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……; (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……;

(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……;

(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,……. 解:(1) an =2n+1;
2n 1 ? (?1) n 2 (2) an = (2n ? 1)(2n ? 1) ; (3) an = ;

(4) 将数列变形为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……,
1 ? (?1) n 2 ∴ an =n+ ;

(5) 将数列变形为 1× 2, -2× 3, 3× 4, -4×5, 5×6,……,
n ?1 ∴ an =(-1) n(n+1)

Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会 根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业 课本习题 2.1A 组的第 1 题

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§ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(第 2 课时)
授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数 列的递推公式写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系 过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的 兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 通项公式法 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式 就叫做这个数列的通项公式。 如数列 的通项公式为 的通项公式为 ; ;

的通项公式为 图象法



启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 相应的项 为纵坐标,即以

为横坐标,

为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面
6 / 10

提到的数列

为例,做出一个数列的图象) ,所得的数列的图形是一 轴的右侧,而点的个数

群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在

取决于数列的项数. 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变 化的趋势. 递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题.
王新敞
奎屯 新疆

观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且

an ? n ? 3(1 ≤n≤7)
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系, 会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。
王新敞
奎屯 新疆

让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。 即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1 依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重 要。 定义:
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递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 数列可看作特殊的函数, 其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函 数的表示法:列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有 这样的表示法: 用 依次写出成为 4、列表法 .简记为 [范例讲解] . 表示第一项, 用 表示第一项, ……, 用 表示第 项,

a1 ? 1 ? ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1). ? an?1 例 1 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。
解:分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式:
a1 ? 1, a2 ? 1 ? an ? 1 ? 1 an?1

解:据题意可知: [补充例题]

1 1 2 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 3 , a3 3 5

例 2 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n
an ?2 a n ? 1 即

法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 a1 ∴ an?1 an?2 an?3
5.数列的前 n 项和:
8 / 10

数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n .

S1 表示前 1 项之和: S1 = a1
S 2 表示前 2 项之和: S 2 = a1 ? a 2
……

S n?1 表示前 n-1 项之和: S n?1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1
S n 表示前 n 项之和: S n = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
∴当 n≥1 时 S n 才有意义;当 n-1≥1 即 n≥2 时 S n?1 才有意义. 3. S n 与 an 之间的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n?1 ,
?S1 ( n ? 1) ? S ? S n ?1 ( n ? 2) a n 即 =? n .

说明:数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法. 三、例题讲解 例 3 已知数列 ?an ? 的第 1 项是 1,以后的各项由公式 数列的前 5 项
王新敞
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an ? 1 ?

1 an?1 给出,写出这个

分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式:
a1 ? 1, a2 ? 1 ? 1 1 3 ? 2, a3 ? 1 ? ? a1 a2 2

an ? 1 ?

1 an?1

解:据题意可知:
a4 ? 1 ? 1 5 8 ? , a5 ? a3 3 5

例 4 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? an?2 (n ≥3) ,试写出数列的前 4 项 解:由已知得 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3a2 ? a1 ? 7, a4 ? 3a3 ? a2 ? 23 例 5 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n
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法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 即 a n ?1

an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 a1 ∴ an?1 an?2 an?3
n?1 n ∴ an ? a1 ? 2 ? 2

例6

已知数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列的通项公式:

2 2 (1) S n =n +2n; (2) S n =n -2n-1.

解(1)①当 n≥2 时, an = S n - S n?1 =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1;
2 2

②当 n=1 时, a1 = S1 =1 +2× 1=3;
2

③经检验,当 n=1 时,2n+1=2× 1+1=3, ∴ an =2n+1 为所求. (2)①当 n≥2 时, an = S n - S n?1 =(n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3;
2 2

②当 n=1 时, a1 = S1 =1 -2× 1-1=-2;
2

③经检验,当 n=1 时,2n-3=2× 1-3=-1≠-2,

?? 2(n ? 1) ? ∴ an = ?2n ? 3(n ? 2) 为所求.

Ⅲ.课堂练习 课本 P31 练习 2 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容:

1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系. Ⅴ.课后作业 习题 2.1A 组的第 4、6 题
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