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导学案029等差数列及其前n项和

导学案029等差数列及其前n项和


济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 028

班级:高三(



姓名:

等差数列及其前 n 项和
考纲要求 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系. 考情分析 1.等差数列的通项公式与前 n 项和公式是考查重点. 2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点,也 是难点. 3.题型以选择题、填空题为主,与其他知识点结合则以解答题为主. 教学过程 基础梳理 一、等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于同一 个常数, 那么这个数列就叫做等差数列. 符号表示为 (n∈N*, d 为常数). 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 叫做 a,b 的 . ,其中 A

二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an= 2.前 n 项和公式:Sn= 三、等差数列的性质 1 . 若 m , n , p , q ∈ N* , 且 m + n = p + q , {an} 为 等 差 数 列 , 则 . . = .

2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k, …仍为等差列,公差为

.

3.若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?仍为等差数列,公差为

.

4. 等差数列的增减性: >0 时为 d 时为

数列, a1<0 时前 n 项和 Sn 有最 且 值.

值. <0 d

数列,且当 a1>0 时前 n 项和 Sn 有最

5.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn,则 A= ,

B=

,当 d≠0 时它表示

函数,数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是{an}成等

1 脚踏实地,心无旁骛,珍惜分分秒秒。紧跟老师,夯实基础。

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姓名:

差数列的

条件.

双基自测

1.(2011· 重庆高考)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=(

)

A.12

B.14

C.16

D.18

π 3π 2.(教材习题改编)在等差数列{an}中,a2+a6= ,则 sin ?2a4-3?=( ? ? 2 A. 3 2 3 2 1 B. 2 1 D.- 2

)

C.-

3.(教材习题改编)已知数列{an},其通项公式为 an=3n-17,则其前 n 项和 Sn 取得最小值

时 n 的值为(

)

A.4

B.5

C.6

D.7

4. (2011· 湖南高考)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和, a1=1, 且 a4=7, S5=______. 则

5.(2011· 辽宁高考)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 典例分析 考点一、等差数列的判断与证明 [例 1] (2011· 北京宣武一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=3,点(Sn,Sn+1)在直线 y

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姓名:

n+1 = x+n+1(n∈N*)上. n Sn (1)求证:数列{ }是等差数列; n (2)求 Sn.

变式 1 本例条件不变,若数列{bn}满足 bn=an· 2 an ,求数列{bn}的通项公式. 2 1 1 变式 2.(2012· 银川模拟)数列{an}中,a1=2,a2=1, = + an an+1 an-1 (n≥2,n∈N*),则其通项公式为 an=________.

1.证明{an}为等差数列的方法 ①用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列; ②用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; ③通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; 2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子

a ? a =d, 但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时, a 无定义. a
n?1

-

a

n

=d 和

n

n?1

0

考点二、等差数列的基本运算 [例 2] (2011·福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 变式 2.(2012·北京西城区期末)设{an}是等差数列,若 a2= 4,a5=7,则数列{an}的前 10 项和为 A.12 C.75 ( ) B.60 D.120

n?a1+an? 1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= =na1+ 2 n?n-1? d,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn, 知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的 2 思想解决问题. 2. 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, a1 和 d 是等差数列的两 而 个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 考点三、等差数列的性质 [例 3] (2011· 重庆高考)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________.

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姓名:

[例 4] (2010· 全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于 ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 变式 3.(2012· 无锡联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30 =________. 变式 4.(2012· 遵义模拟)已知数列{an}是等差数列.前四项和为 21,末四项和为 67,且前 n 项和为 286,则 n=________.

1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷 地解决许多等差数列问题. 2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系.

一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式:

Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,②
①+②得:Sn= 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An +Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
2 *

n? a1+an?
2

.

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本节检测

1. (2011· 江西高考){an}为等差数列, 公差 d=-2, n 为其前 n 项和. S10=S11, a1=( S 若 则 A.18 C.22 B.20 D.24

)

1 2.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则 a11=( an+1 A.0 2 C. 3 1 B. 2 D.2 )

)

3.若{an}是公差为 1 的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( A.公差为 3 的等差数列 C.公差为 6 的等差数列

B.公差为 4 的等差数列 D.公差为 9 的等差数列

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它 的公差为( A.-2 C.-4 ) B.-3 D.-6

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正 整数 k 的取值为( A.5 ) B.6 C.4 D.7

6. 已知数列{an}为等差数列, n 为其前 n 项和, 7-a5=4, 11=21, k=9, k=________. S a a S 则

Sn 2n-3 a9 7. 设等差数列{an}、 n}的前 n 项和分别为 Sn、 n, {b T 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 的值为__________. b8+b4

自我反思

5 脚踏实地,心无旁骛,珍惜分分秒秒。紧跟老师,夯实基础。


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