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§3.4.2圆锥曲线的共同性质

§3.4.2圆锥曲线的共同性质


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复习回顾
1、 椭圆的定义:

平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 2 、双曲线的定义:

平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义:

平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离) 3

平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.

探究与思考:
若PF/d≠1呢?

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在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样 一个式子:
(x ? c )2 ? 2 y 2 ? (x ? c )2 ? y 2 ? 2 2a 2 移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
?a ( x ? c) 2 ? y 2

将其变形为 a 2 ?:cx

你能解释这个式子的几何意义吗?
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c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c) 2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

椭圆的第二定 义.gsp

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
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c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c )2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
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圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上)
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
椭圆的第二定义.gsp

其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,

定直线l就是该圆锥曲线的准线.

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思考
1、上述定义中只给出了一个焦点,一条准线,还有 另一焦点,是否还有另一准线? 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么? 3、题中的|MF|=ed的距离d到底是到哪一条准线 的距离?能否随意选一条?
1、对于焦点在x轴上的椭圆、双曲线有两个焦点,两条准线, 相对于焦点F2(c,0)的准线是x=a2/c;相对于焦点F1(-c,0) 的准线是x=-a2/c

2、左焦点与左准线对应,右焦点与右准线对应,不能混淆, 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义:曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
l1 d1 y l2

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
l1

y

l2 M2 P

M1

P
O

d2

M2 x F1

d2

F1

.

.

F2

.
M1

O

.

F2 P′

x

d1

a 准线: x ? ? c

2

PF1 PF2 ? ?e 定义式: d1 d2

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例 如图所示椭圆的中心为o ,F是左焦点,A,B是左右顶点,左准线L交
PD ? L于D,QF ? OA于F. x轴于c,P,Q在椭圆上,
L

给出下列六个比值:
(1) (4) PF PD AF AC ;(2) ;(5) QF CF OF OA ;(3) ;(6) AD CD BF BC ;
D C

y
Q P o B

A F

x

其中为离心率的是 (1)、 (2)、(4)、(5)、(6)

例2.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) ? ?1 25 9 x2 y 2 (3) ? ?1 25 9

(2)4x ? y ? 16
2 2

(4)4 y ? x ? 16
2 2

(5) y ? 16x
2

(6) x 2 ? ?16y

注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
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练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x2 ? 2 y 2 ? 4
(2)2 x 2 ? 4 y 2 ? 1

(? 2,0)

x ? ?2 2
x ? ?1
6 x?? 3 6 y?? 3
1 y ? 4

1 (? , 0) 2
6 (? , 0) 2

(3) x ? 2 y ? 1
2 2

(4)2 y 2 ? x2 ? 4
(5) x ? y ? 0
2

(0, ? 6)
1 (0, ? ) 4 1 ( , 0) 2

(6) y 2 ? 2 x ? 0

1 x?? 2

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辨析
点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的 距离的比为1/2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形。
待定系数法: 由题意所求点的轨迹为椭圆, 两 所以设为:



直译法: 设动点P(x,y),则
( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? | x ?8| 2

种 解 法 则 ?c ? 2 2 都 ? a ? 16 ? 解得: ? ? 2 正 ?c / a ? 1/ 2 b ? 12 ? ? ?b 2 ? a 2 ? c 2 确 ? 所以所求点P的轨迹方程为: 吗 ? x y ? ?1
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

化简得:x 2

y2 ? ?1 16 12

所以动点P的轨迹方程为:
x2 y 2 ? ?1 16 12

16

12

轨迹 为椭圆

x2 y2 ? ?1 例4已知双曲线 64 36

上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线

的距离.
法一:由已知可得a=8,b=6,c=10.

因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点,
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离

为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16,
所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得
1 | PF2 | ? e 所以d= |PF |=24 2 e d

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x2 y2 ? ?1 例4已知双曲线 上一点P到左焦点 64 36

的距离为14,求P点到右准线的距离.
2a 2 分析 : 两准线间距离为 c 法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a ? 8, b ? 6, c ? 10,? ? e ? ? d a 4 4 56 2a 2 2 ? 64 64 ? d ? 14 ? ? 又 ? ? 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 ? P到右准线的距离为 ?d ? ? ? 24 c 5 5

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椭圆的焦半径
x2 y 2 例5、椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点P(x0,y0), F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:

|PF1|=a+ex0;|PF2|=a-ex0

方程

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y
B2
A1 F1 O B1 F2 A2 x

2

2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
A2 F2 B1 F1 O y

图形

B2 x

范围 对称性 顶点 离心率 准线方程

-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1(-a,0), B1(0,-b),

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

A1

关于x轴、y轴、原点对称 A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0) c e ? (0 ? e ? 1) a 2 a a2 x?? y?? c c

焦半径

|PF1|=a+ex0;|PF2|=a-ex0|PF1|=a+ey0;|PF2|=a-ey0

焦半径公式及推导
双曲线上一点与其焦点的连线段叫做双曲线上 这点的焦半径.
例6.P(x0,y0)为双曲线 求证:|PF1|=|ex0+a|;|PF2|=|ex0-a|
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)上一点, 2 a b

练习
1、椭圆 A、1/25

| 3x ? 4 y ? 8 | 的离心率为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 25 B、1/5 C、1/10 D、无法确定
2 2

2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取 值范围是

A、[8,10]

B、[4,5]

C、[6,10]

D、[2,8]

3、若椭圆的长轴长为200,短轴长为160,则椭圆上点到焦点距离范 围是 A、[40,160] C、[40,100] B、[0,100] D、[80,100]

例 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛 2 物线 y ? 2 x 的焦点,点M 在抛物线上 移动时,求|MA|+|MF |的最小值,并求 y 这时M 的坐标.
l

d
N

M o F x

A

?

1 2

23

1.已知A(-1,1),B(1,0),点P在椭圆

x y ? ? 1 上运动,求|PA|+2|PB|的 4 3
2 2

最小值。
P

A

·
O

C ·

· B
24

2. 已知P为双曲线 右支上 的一个动点,F为双曲线的右焦点,若 点A的坐标为 (3,1) ,则 2 | PA | ? 3 | PF | 的 最小值是__
y

x2 ? y2 ? 1 3

D

P A

O F

x

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选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(

8 5 A. 5

D)
8 3 C. 3

4 5 B. 5

4 3 D. 3

2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则 此双曲线的离心率为( )

B

A. 2 B. 3

C.2 3

6 D. 2

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x2 y 2 4、P是椭圆 4 ? 3 ? 1 上点,F1、F2是两焦点,则 |PF1|· |PF2|的最大值与最小值的差是 。
5.双曲线 的右支上有A,B,C三个不同的 点,若此三点关于右焦点的焦半径成等差数列,则 它们的横坐标m,n,p满足的关系式为 . 6.(2010.四川理9题5分)椭圆 的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭 圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率的取值范围___________
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

拓展延伸

x2 y2 1. 已知P为双曲线 ? ? 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点,若PF1 : PF2 ? 3 : 2,试求点 P ( x0 , y0 )的坐标。 y2 2.已知双曲线x ? ? 1左、右焦点分别为F1 , F2, 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d,且
2

d,PF1 , PF2成等比数列,试求点P( x0 , y0 )的坐标.

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知识回顾总结:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)

教学反思:

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