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高一数学-§6.3不等式--用综合法证明不等式 精品

高一数学-§6.3不等式--用综合法证明不等式 精品


不等式·用综合法证明不等式·教案 教学目标 1.掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定 理,并能运用它们证明一些不等式. 2.了解综合法的意义. 3.通过对定理及其推论的推导、证明、应用,培养学生运用综合法进行推 理论证的能力. 教学重点和难点 用综合法证明定理及推论的教学. 教学过程设计 (一)新课引入 师:我们已学过用比较法(求差、求商)证明不等式,它是一种最基本、最 常用的方法.请完成以下练习. 1.证明:x2+2>2x(x 为实数). 2.请问:x2+1 与 2x 的大小关系是什么?并证明你的结论. (教师巡视学生的解题情况,请学生将不同的解法板演到黑板上) 1.证法 1:由(x2+2)-2x=(x-1)2+1≥1>0,知 x2+2>2x. 证法 2:由(x-1)2≥0,知(x-1)2+1≥1>0,即 x2-2x+2>0,则 x2+2 >2x. 师:两位同学的证明都正确,他们都是根据 a2≥0(a≥R).在证法上有区 别吗?请大家思考. 2.答:x2+1≥2x. 证法 1:由(x2+1)-2x=x2-2x+1=(x-1)2≥0,知 x2+1≥2x. 证法 2:由(x-1)2≥0, ① 知 x2-2x+1≥0,则 x2+1≥2x. ② 师:同学们得到的结论几乎是一致的,是 x2+1≥2x.主要证法已列在黑板 上,请大家思考:这些证明是否正确?所采用的方法是什么? 生:都正确.证法一是求差比较法,证法二是?? 师:一时答不出也没关系,证法一用的是求差比较法,至于证法二,我们不 妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的. 生:我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小,就首先想 到了平方公式,这个完全平方一定是非负的;然后再根据不等式性质,就得到了 结论;最后就按这个思路进行的证明. 师:他是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.也就是 说他是以公式①为基础, 运用不等式的性质推出②式,这种利用某些已经证明过 的不等式作为基础, 再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫 做综合法. 对于综合法大家并不陌生,初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的. 今天我们一起研究如何用综合法证明不等式(板书课题). (二)用综合法证明不等式 1.综合法 师: 我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础,因 此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式. 2.定理推导 师:通过刚才的两道小题,我们不难得出:如果 a,b∈R,那么有(a-b)2 ≥0.把左边展开,得 a2-2ab+b2≥0,则 a2+b2≥2ab.这就是课本 P8 中介绍 的定理 1.我们采用的是综合法,课本中是用求差比较法加以证明的. (把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读. 此处需实物投 影仪) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2. 当 a≠b 时,(a-b)2>0;当 a=b 时,(a-b)2=0. 所以(a-b)2≥0,即 a2+b2-2ab≥0.因此 a2+b2≥2ab. 师:值得我们注意的是这是带有“=”的不等式,取“=”这种特殊情况应 予以重视.不等式 a2+b2≥2ab 中“=”成立的充要条件是什么? 生:是 a=b. 师:充要条件通常用“当且仅当”来表达,“当”表示条件是充分的,“仅 当”表示条件是必要的.所以定理 1 表述为: 定理 1 如果 a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab (当且仅当 a=b 时取 “=” 号) . (板 书) 师:这个定理的功能是什么?功能往往源于它

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