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江西省高安中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(创新班)

江西省高安中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(创新班)


江西省高安中学 2015-2016 学年度下学期期中考试 高一年级数学(创新班)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1、经过 1 小时,时针旋转的角是( A.第一象限角 2、已知 ? ? ? A. ? ) C.第三象限角 ) D.第四象限角

B.第二象限角

3 ?? ? , ? ? , tan ? ? ? ,则 sin(? ? ? ) ? ( 4 ?2 ?
B.

3 5

3 5

C. ?

4 5

D.

4 5


3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数为( A.

? 2

B.

? 3

C. 3

D. 2 )项.

4、已知数列 2, 5, 2 2, 11 ,…则 2 17 是它的第( A.21 B.22 C.23 D.24

5、在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10 )



6、在 ?ABC 中 3(tanB ? tanC) ? tan B tanC ?1,则 sin 2 A =( A. ?

3 2

B.

3 2

C.2

D.

1 2

7、已知函数 ( ,且函数 f x) ? 2sin (? x ? ?)(?>0, 0<?<?) 的图象如图所示,则点( ?,? )的坐标是( )

A. C.

B. D. ) B. [2k? ?

8、函数 y ? 2cos x ? 1 的定义域是( A. [2k? ?

, 2k? ? ](k ? Z ) 3 3 ? 2? ](k ? Z ) C. [2k? ? , 2k? ? 3 3

?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 6 6 2? 2? , 2 k? ? ](k ? Z ) D. [2k? ? 3 3
-1-

?

?

9、记 a ? sin(cos 20160 ) , b ? sin(sin 20160 ) , c ? cos(sin 20160 ) , d ? cos(cos 2016?) , 则( ) B. c ? d ? b ? a D. a ? b ? d ? c =( )

A. d ? c ? b ? a C. d ? c ? a ? b 10、

cos 40? cos 25? 1 ? sin 40?
B. 3

A. 1

C. 2

D.2

11、已知函数 f ( x) ? cos?x(sin ?x ? 3 cos?x)(? ? 0) ,如果存在实数 x 0 ,使得对任意的 实数 x ,都有 f ( x0 ) ? f ( x) ? f ( x0 ? 2016 ? ) 成立,则 ? 的最小值为( A. )

1 4032

B.

1 4032 ?

C.

1 2016

D.

12、已知点 O 是锐角 ?ABC 的外心, AB ? 8, AC ? 12, A ? 则 6x ? 9 y ? ( A.6 ) B.5 C.4 D.3

?
3

1 2016 ?

.若 AO ? x AB ? y AC ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2? 2? , cos ) ,则 ? ? . 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 14、已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 3 ,且 2a ? b ? 13 ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影
13、已知角 ? (?? ? ? ? ? ) 的终边过点 P (sin 为 .

17 sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? ? ?? ? ? 15、 已知 x, y 均为正数,? ? ? 0, ? , 且满足 , 2 ? , 2 x y x y 4 ? x2 ? y 2 ? ? 4?


x 的值为 y



16、给出下列五个命题:
5? ? ①函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的一条对称轴是 x ? ; 12 3

②函数 y ? tan x 的图象关于点(

? ,0)对称; 2

③正弦函数在第一象限为增函数;
-2-

④若 sin(2 x1 ? ) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z ; 4 4 ⑤函数 f ? x ? ? sin x ? 2 sin x ,x ?[0 , 2? ]的图像与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则

?

?

k 的取值范围为 ?1,3? .
其中正确命题的序号为 .

三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)

17、已知

5 3 3π 3π π π π <? < ,0<β < ,cos( + ? )=- ,sin( +β )= , 5 4 4 4 4 4 13

求 sin( ? +β )的值.

18 . 已 知 e1 , e2 是 平 面 内 两 个 不 共 线 的 非 零 向 量 , AB ? 2e1 ? e2 , BE ? ?e1 ? ?e2 ,

?? ?? ?

??? ?

? ? ?? ?

??? ?

? ?

? ? ?

??? ? ? ? ? ? ? EC ? ?2e1 ? e2 ,且 A, E , C 三点共线.
(1)求实数 ? 的值; (2)已知 e1 ? (2,1), e2 ? (2, ?2) ,点 D(3,5) , 若 A,B,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形, 求点 A 的坐标.

? ?

?? ?

19、已知 f ( x) ? 2a sin(

?

? 3? ? 2 x) ? 2a ? b, x ? [ , ] . 6 4 4

(1)若 a ? Q, b ? Q , f ( x) 的值域为 { y | ?3 ? y ? 3 ? 1} ,求出 a 、 b 的值

-3-

(2)在(1)的条件下,求函数 f ( x) 的单调区间.

20、已知向量 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cosx, sin x), c ? (sin x ? 2 sin ? , cos x ? 2 cos? ) ,其中

0 ? ? ? x ? π.
(1)若 ? ?
π ,求函数 f ( x) ? b ? c 的最小值及相应 x 的值; 4

(2)若 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? π ,且 a ? c ,求 tan 2? 的值. 3

21、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? b(? ? 0,? 将 f ( x) 的图像先向左平移

?
2

?? ?

?
2

) 相邻两对称轴间的距离为

?
12

? ,若 2

个单位,再向下平移 1 个单位,所得的函数 g ( x) 为奇函数。

(1)求 f ( x) 的解析式,并求 f ( x) 的对称中心; (2)若关于 x 的方程 3[ g ( x)] ? m ? g ( x) ? 2 ? 0 在区间 [0,
2

?
2

] 上有两个不相等的实根,求实

数 m 的取值范围。

2 2 22 定义区间 I ? (? , ? ) 的长度为 ? ? ? ,已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ,其中 a ? 0 ,区

间 I ? ?x | f ( x) ? 0? . (1)求区间 I 的长度;
-4-

( 2 ) 设 区 间 I 的 长 度 函 数 为 g(a) , a ? (??,?1] , 问 : 是 否 存 在 实 数 k , 使 得
2 g (k ? s i nx ? 3) ? g (k 2 ? s i n x ? 4) 对一切 x ? R 恒成立,若存在,求出 k 的范围;若不存

在,请说明理由.

-5-

江西省高安中学 2015-2016 学年度下学期期中考试 高一年级数学(创新班)试题答案 二、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1-5.DADCC 6-10.BADBC 11-12.AB

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 ?

?
6

14、115、

1 16、①②⑤ 2

四、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17、∵

π 3π <? < , 4 4
π π < + ? <π . 2 4



又 cos(

π 3 + ? )= - , 5 4

∴sin(

π 4 + ? )= . 5 4

∵0<β < ∴

π , 4

3π 3π < +β <π . 4 4

又 sin( ∴cos(

3π 5 +β )= , 4 13

3π 12 +β )=- , 4 13

∴sin( ? +β )=-sin[π +( ? +β ) ]=-sin[ ( =-[sin( =-[

π 3π + ? )+( +β ) ] 4 4

π π 3π 3π + ? )cos( +β )+cos( + ? )sin( +β ) ] 4 4 4 4

3 4 12 5 63 ×(- )- × ]= . 5 5 13 13 65

→ → → 18、解:(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λ e2)=e1+(1+λ )e2.∵A,E,C 三点共 线, → → ∴存在实数 k,使得AE=kEC,
-6-

即 e1+(1+λ )e2=k(-2e1+e2), 得(1+2k)e1=(k-1-λ )e2. ∵e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,
?1+2k=0 ? ∴? ? ?λ =k-1

1 3 ,解得 k=- ,λ =- . 2 2

1 → → → (2)BC=BE+EC=-3e1- e2 2 =(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). ∵A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形, → → → ∴AD=BC.设 A(x,y),则AD=(3-x,5-y),
? ?3-x=-7 → ∵BC=(-7,-2),∴? ?5-y=-2 ?

,解得?

? ?x=10 ?y=7 ?

,即点 A 的坐标为(10,7).

19、 (1)①当 a ? 0 时, ?

? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1 ? ? 2 a ? 2 a ? b ? ?3

,解之得 ?

?a ? 1 ?b ? ?3

②当 a ? 0 时, ?

? ?a ? ?1 ? 3a ? 2a ? b ? ?3 ,解之得 ? 不适合题意 b ? 3 ? 1 ? ? 2 a ? 2 a ? b ? 3 ? 1 ? ?

故 a ? 1 、 b ? ?3

? 3? ? 2 x) ? 1, x ? [ , ] 6 4 4 ? ? 3? ] 也即 f ( x) ? ?2 sin( 2 x ? ) ? 1, x ? [ , 6 4 4
(2)由(1)可得 f ( x) ? 2 sin( 由 2k? ? 又?

?

?

?
4

由 2k? 又?

?
4

? ? 3? ? ? ,? ? x ? ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 [ , ] 4 3 4 4 3 ? ? 3? ? 5? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ? Z 2 6 2 3 6 3? ? 3? ? 3? ?x? ? ?x? ] ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ , 4 3 4 3 4
?x?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?

6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

? ? π 20、 (1)∵ b ? ? cos x, sin x ? , c ? ?sin x ? 2sin ? , cos x ? 2cos ? ? , ? ? , 4 ? ? ∴ f ( x) ? b ? c ? cos x sin x ? 2 cos x sin ? ? sin x cos x ? 2sin x cos ?

? 2sin x cos x ? 2(sin x ? cos x) .
令 t ? sin x ? cos x(0 ? x ? π) ,则 2sin x cos x ? t 2 ? 1 ,且 ?1 ? t ≤ 2 .

-7-

则 y ? f ( x) ? t 2 ? 2t ? 1 ? (t ? ∴t ? ?

2 2 3 ) ? , ?1 ? t ≤ 2 . 2 2

2 2 3 时, ymin ? ? ,此时 sin x ? cos x ? ? . 2 2 2 11π 由于 0 ? x ? π ,故 x ? . 12
3 11π 所以函数 f ( x) 的最小值为 ? ,相应 x 的值为 . 2 12

(2)∵a 与 b 的夹角为 ∴ cos

π , 3

π a ?b ? ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? cos( x ? ? ) . 3 | a |?| b |

∵ 0 ? ? ? x ? π ,∴ 0 ? x ? ? ? π ,∴ x ? ? ?

π . 3

∵a⊥c,∴ cos ? (sin x ? 2sin ? ) ? sin ? (cos x ? 2cos ? ) ? 0 .
π ∴ sin( x ? ? ) ? 2sin 2? ? 0 , sin(2? ? ) ? 2sin 2? ? 0 . 3

5 3 3 ∴ sin 2? ? . cos 2? ? 0 ,∴ tan 2? ? ? 2 2 5
21、 (1)由条件得: 又 g ( x ) ? sin[ 2( x ?

T ? 2? ? ? T ? ? ,即 ? ? ? ? ? 2 ,则 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? b , 2 2 ?

?

12 ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? , 6 2 2 f ( x) ? sin( 2 x ?

) ? ? ] ? b ? 1 为 奇 函 数 , 令 b ? 1 , g (0) ? sin(

?

6

? ?) ? 0 ,

?

(2) x ? [0,

?
2

6

) ? 1由 2x ?

?

? k? ? k? , k ? Z ,得对称中心为: ( ? ,1), k ? Z 6 12 2

] ,又有(1)知: g ( x) ? sin 2 x ,则 2 x ? [0, ? ] ,? sin 2 x 的函数值从 0 递增

2 到 1, 又从 1 递减回 0.令 t ? g ( x), 则 t ? [0,1] ? 由原命题得:3t ? m t ? 2 ? 0 在 t ? [0,1) 上

仅有一个实根。 令 H (t ) ? 3t ? mt ? 2 ,
2
2 ? ?? ? m ? 24 ? 0 m 则需 H (1) ? 3 ? m ? 2 ? 0 或 ? , 0 ? ? ?1 ? 6 ?

解得: m ? ?5 或 m ? ?2 6 . 22、解:(Ⅰ) f ( x) ? 0 ,即 ax ? a ? 1 x ? 0
2 2

?

?

? a ? 0 ? ? ax2 ? a 2 ? 1 x ? 0 ? ? x ax ? a 2 ? 1 ? 0

?

?

?

?

??

-8-

?0 ? x ? ?

? a2 ?1 a2 ? 1? ? ,即 I ? ? 0 , ? a a ? ? ?
a2 ?1 1 ? ?a ? ………………………4 分 a a
1 , a ? ?? ?,?1? a

? I 的长度为 ?

(Ⅱ)由(1)知 g (a ) ? ? a ?

设任意的 a1 , a2 ? ?? ?,?1? 且 a1 ? a 2 ,则…………5 分

? a1 a 2 ? 1 1? ? 1? g ?a1 ? ? g ?a2 ? ? ? ? ? a1 ? a ? ??? ? ? a2 ? a ? ? = ?a 2 ? a1 ? ? a a ……………6 分 1 2 1 ? 2 ? ? ?
? a1 ? a2 ? -1 ,? a1a2 ? 1 ,? a1a2 ? 1 ? 0 ,又 a2 ? a1 ? 0 …………7 分
? ?a2 ? a1 ? ?

a1a2 ? 1 ? 0 ,即 g ?a1 ? ? g ?a2 ? a1a2

?函数g ?a ?在?? ?,?1? 上为减函数. ……………………8 分
(说明:如果运用对勾函数的知识解决问题,参照给分) 设存在实数 k ,使得 g ?k ? sin x ? 3? ? g k 2 ? sin 2 x ? 4 对一切 x ? R 恒成立,则

?

?

k ? sin x ? 3 ? ?1 k ? sin x ? 2 ? ? ? ? 2 2 k 2 ? sin 2 x ? 3 k ? sin x ? 4 ? ?1 ……………10 分 ?? ? ?k 2 ? k ? 1 ? sin 2 x ? sin x ?k ? sin x ? 3 ? k 2 ? sin 2 x ? 4 ? ?

? k ?1 ? 1 ? ? ?? 3 ? k ? 3 ? ? ? k ? 1 2 3 ? 1 ? ? k ? ? 2 ? 2
? 1 ? ? 存在实数 k ? ?? ,1? 使得 g ?k ? sin x ? 3? ? g k 2 ? sin 2 x ? 4 对一切 x ? R 恒 ? 2 ?
成立……………12 分

?

?

-9-


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