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高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 导数学习的“四个问题”素材 新人教A版2-2 精

高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 导数学习的“四个问题”素材 新人教A版2-2 精

导数学习的“四个问题”
一、如何理解“导数的概念” 由于在中学阶段,学生没有学习极限,而导数又作为一种特殊的极限,如何处理这部分
内容呢?《课程标准》要求“通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等 实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数的概念.
例如:人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 H(单位:s)与起跳后 的时间 t(单位:s)存在函数关系:H(t)=-4.9t 2 +6.5t+10。运动员从高台跳水时,从腾空到 进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的。假设 t 秒后运动员相对地面的高度为 H,在 2 秒时运动员的速度(瞬时速度)为多少?
分析:该运动员在 2 秒内到 2.1 秒(记为[2,2.1])平均速度为
同样,可以计算出[2,2.1][2,2.001],…的平均速度,也可以计算出[1.99, 2],[1.999,2]…的平均速度。列表如下:
由此可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋于一个常数,这一常数-13.1 就可 作为该运动员在 2 秒时的速度。 二、如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义”
即要求理解数函数 f(x)在 x=x 的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何 0
意义,不要求利用极限去计算导数。并且提高了对导数几何意义认识以及利用导数去解决问 题的要求。
例如: 国家环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续 检测结果如图 1 所示.试问哪个企业治污效果好(其中 W 表示治污量)。
1

图1

在 t?

处,虽然W (t 10

)

?

W 2

(t 0

)

,然而

W1

(t0

)

? W1(t0 ? ?t

?

?t)

?

W2 (t0 )

? W2 (t0 ? ?t

?

?t)



所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一筹。

三、如何认识 “导数的运算”

由于没有学习极限,因此,我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
在处理导数的计算时,首先是对于几个常见的函数“y=c,y=x,y=x 2 ,y=x 3 ,y= 1 ,y= x ”,
x
用导数定义求导,然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则,要求“利用

给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来计算导数”,特别指出“要避免过

量的形式化运算练习”,当然,与文科的选修 1—1 比较,这里要求略有提高,增加了求复

合函数(仅限于形如 f(a+b))的导数。我们以下列三个例子作说明。

例如:求函数 y=f(x)=x 2 的导数

解:因为 ?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ? (x ? ?x)2 ? x2 ‘

?x

?x

?x

= x2 ? 2x ? ?x ? (?x)2 ? x2

?x

=2x+ ? x

所以

?y

y' ?

lim
?x?0

?x

?

lim(2x
?x?0

?

?x)

?

2x

例如:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x 3 -2x+3 的导数

解:因为 y' ? (x3 ? 2x ? 3)'? (x3)'?(2x)'?(3)'

=3x 2 -2

所以函数 y=x 3 -2x+3 的导数是 3x 2 -2

e 例如:求函数 y= ?0.05 x?1 的导数

2

解:函数 y= e?0.05x?1 可以看作函数 y= eu 和 u=-0.05x+1 的复合函数。根据复合函数的求

导法则有:

y ' ? y ' ?u '

x

u

x

= (eu )'?(?0.05x ?1)'

=-0.05e u

e =-0.05 ?0.05 x?1

四、如何认识“导数在研究函数中的应用”

首先要注意导数作为一种通法的意义和作用,与初等方法相比较,导数能处理一般函数

极值问题。但在中学阶段,这种要求不宜过高,课程《标准》中要求“借助几何直观探索并

了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式

函数的单调区间。……导数求不超过三次的多项式函数的,以及闭区间上不超过三次的多项

式函数最大值、最小值”。其次导数是解决生活中优化问题的有力工具,应体会导数的应用

价值:

例如:有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 的环形区域。

(Ⅰ)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?

(Ⅱ)r 为多少时,磁盘具有最大存储量?(最外面的磁道不存储任何信息)

分析:存储量=磁道数×每磁道的比特数

由于磁道之间的宽度必须大于 m,而且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多

可达 R ? r ,每条磁道上的比特数可达 2?r ,所以,磁盘总存储量

m

n

f(r)= R ? r · 2?r = 2? r(R ? r) m n mn

(Ⅰ)f(r)是关于 r 的一元二次函数,所以,并非 r 越小,磁盘的存储量越大。

(Ⅱ)f′(r)= 2? (R ? 2r) ,令 f′(r)=0,得 r= R 。

mn

2

因此,当 r< R 时,f′(r)>0; 当 r> R 时,f′(r)<0.

2

2

所以,当 r= R 时,磁盘具有最大存储量,最大存储量为 ?R2 .精品推荐 强力推荐

2

2mn

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