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椭圆综合练习 (1)

椭圆综合练习 (1)


1. 已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,过点 B(3, 0) ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 1) ,离心率为 2 2 a b

的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 BM ? BN 的取值范围.

2.(本小题满分 14 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? . 直线 x ? t 2 a 3 2

?

?

( t ? 0 )与曲线 E 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

3? ? P ? ?1, ? 2 ? 是椭圆 3. 已知点 ?
(1)求椭圆 E 的方程;

E:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 ( a ? b ? 0 ) 上一点, F1 、 F2 分别是

椭圆 E 的左、右焦点, O 是坐标原点, PF1 ? x 轴.

(2)设 A 、 B 是椭圆 E 上两个动点 , PA ? 直线 AB 的斜率为定值.

PB ? ? PO (0 ? ? ? 4, ? ? 2) .求证:

4.已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 ,其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2
2 直线 l 的斜率为 2 ,且与椭圆 M 交于 B 、 C 两点.

( 2,1) 在椭圆 M 上. 且点 A
(1)求椭圆 M 的方程;

(2)求 ?ABC 面积的最大值.

5.(本小题满分 14 分)设 F1 ,F2 分别为椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2
=1(a>b>0)的左右焦点。

(1)设椭圆 C 上的点 A?1 , ? 到两焦点的距离之和为 4,求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是(1)中椭圆上的一点,∠F1PF2=60°求△F1PF2 的面积。

? ?

3? 2?

6.(本题满分 13 分)已知椭圆 C 的右焦点为 F2 ( 2,0) ,长轴的长为 4 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F1 (?2,0) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A, B 和 D, E ,求 AB ? DE 的最小值.

7.(本小题满分 12 分)如图,F1,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点,A a 2 b2

是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3 ,求 a,b 的值.

8.(本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e ? ,原点 O 到过 2 3 a b
3 . 2

点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线的距离为 (1)求椭圆的方程;

(2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y=kx+2 与椭圆交于 C 、D 两点,问:是否存在 k 的 值,使以 CD 为直径的圆过点 E?请说明理由.

9.(本小题满分 12 分)设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,把地球看成一个 点,则地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此彗星离地球相距 m 万千米和 m 万千米时,经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 与地球的最近距离.
π π 和 ,求该彗星 2 3 4 3

试卷答案
?4 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 1.解:(1)由题意得 ? a 2 ? b 2 ? c 2 , 解得 a ? 6 , b ? 3 . ? ?c ? 2 . ? 2 ?a
?椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1 .………………………………………………………5 分 6 3

(2)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,

? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (1 ? 2k ) x ? 12k x ? 18k ? 6 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?6

? 直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , ? ? ? 144k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 .
设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 2 18k 2 ? 6 x x ? , , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) .……8 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ???? ? ???? BM ? BN ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )[ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? 3 ? 3k 2 3 3 ? ? .………………………………………10 分 2 1 ? 2k 2 2(1 ? 2k 2 )
???? ? ???? 3 3 ? BM ? BN 的取值范围为 (2, 3] .……13 分 . ? ? 3 2 2(1 ? 2k 2 )

? ?1 ? k ? 1 ,? 2 ?


2.(1)椭圆 E 的方程为

x2 y 2 3 7 ? ? 1 .(2) ?ABC 的面积的最大值为 . 7 4 3

(1)解:∵椭圆 E :

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? , 2 a 3 2
…… 2 分

?

?



a2 ? 3 1 ? . a 2

解得 a ? 2 . ∴ 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…… 4 分

(2)解法 1:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .

? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? ? 1, ? 3 ?4
12 ? 3t 2 ∴ 圆 C 的半径为 r ? . 2
…… 6 分

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t , ∴ 0?t?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
2 2

∴ 弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2 ∴ ?ABC 的面积 S ?

12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4

…… 8 分

1 ? t 12 ? 7t 2 2
2

…… 9 分

?

1 2 7

?

? 7t ?? 12 ? 7t
2

?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
…… 12 分

?

3 7 . 7
2

当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ? ∴ ?ABC 的面积的最大值为

42 时,等号成立. 7
…… 14 分

3 7 . 7

解法 2:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .

? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 2 2 由?x 得y ? . y 4 ? 1, ? ? 3 ?4
∴ 圆 C 的半径为 r ?

12 ? 3t 2 . 2
2 2

…… 6 分

∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t ) ? y ?

12 ? 3t 2 . 4

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,

∴ 0?t?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
2 2

12 ? 7t 2 12 ? 3t 2 在圆 C 的方程 ( x ? t ) ? y ? 中,令 x ? 0 ,得 y ? ? , 2 4
∴ 弦长 | AB |? 12 ? 7t .
2

…… 8 分 …… 9 分

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 ? t 12 ? 7t 2 2
2

?

1 2 7

?

? 7t ?? 12 ? 7t

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

2

? 12 ? 7t 2 2
……12 分

3 7 . 7
2

当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ? ∴ ?ABC 的面积的最大值为

42 时,等号成立. 7
… 14 分

3 7 . 7

3.

略 4.

略 5. (1)依题意得: 2a ? 4 ,则 a ? 2 ……….2 分.
2 2 x y 3 又点 A( 1, ) 在椭圆 C: 2 ? 2 a b 2

=1 上,则

1 9 ? 2 ? 1 ………4 分 4 4b

则有 b ? 3
2

…………………5 分

所以所求椭圆 C:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ………………6 分 4 3
2

(2)因 c ? a ? b ,所以 c ? 1 …………….7 分 而 | F1 F2 |? 2c ? 2 ………………………8 分 令 | PF1 |? m , | PF2 |? n ,则 m ? n ? 2a ? 4 ………….9 分 在 ?PF1 F2 中∠F1PF2=60°,由由余弦定理得:

?| F1 F2 |?2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos 60 0



mn ? 4 .........12 分

所以 S ? PF F ?
1

2

1 mn sin 60 0 ? 3 …………14 分 2

6.(1)

x2 y2 ? ? 1; 8 4

(2)当 k ? ?1 时 AB ? DE 取得最小值,最小值为

16 2 . 3
x2 y2 ? ?1 a2 b2

(1)由题可知:椭圆的焦点在 x 轴上,其标准方程可设为

又长轴的长为 2a ? 4 2 ,则 a ? 2 2 , a 2 ? 8 ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 2 ? 4 ,故 b 2 ? 4 . 故椭圆的标准方程为: (2)由题可知: 1°当 AB 或 DE 所在的直线斜率为零时,另一条直线的斜率不存在,此时
x2 y2 ? ? 1 …………………………………………4 分 8 4

AB ? DE = 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ………………………6 分
2°当 AB 与 DE 所在的直线斜率都存在,而且不为零时,设 AB 所在直线的斜率为 k ,则
DE 所在的直线斜率为 ?

1 . k

则 AB 所在直线方程为: y ? k ?x ? 2 ? .
? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 y 2 得: x 2 ? 2k 2 ( x ? 2) 2 ? 8 ? 0 ,即 ?2k 2 ? 1?x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 . ? ? 1 ? 4 ?8

设 A, B 两点的横坐标分别为 x1 , x2 则由韦达定理可得:
x1 ? x2 ? ? 8k 2 8k 2 ? 8 ………………………………………………8 分 ; x1 x2 2 2 2k ? 1 2k ? 1
2

则 AB ? k 2 ? 1 x1 ? x2 = k 2 ? 1 ?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 = k 2 ?1 ? ? = k 2 ?1 以?
? 8k 2 ? 8k 2 ? 8 ? ? 4 ? 2 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ? 1 ?
32?k 2 ? 1?
2

?2k

2

? 1?

2

?4 2?

k 2 ?1 2k 2 ? 1

1 代换上式中的 k 可得: k

? 1? ? ? ? ?1 k? DE ? 4 2 ? ? 2 ? 1? 2? ? ? ? 1 ? k?

2

?4 2?

1? k 2 …………………………………………………………………10 分 2? k2
1 ? k 2 ?1 1? k 2 ? 1 +4 2? ? 4 2 ?k 2 ? 1?? 2 ? ? 2 2 2 2k ? 1 2?k ? 2k ? 1 2 ? k ?

则 AB ? DE ? 4 2 ?
? 4 2 ?k 2 ? 1?

3?k 2 ? 1? ?2k 2 ? 1??2 ? k 2 ?

?

12 2 12 2 ? 1 ?? 1 ? ? 2k 2 ? 1 ?? 2 ? k 2 ? ? ? ? k 2 ?1 ? ?? ? k 2 ?1 ? ? ? 2 ? k 2 ? 1 ??1 ? k 2 ? 1 ? ?? ? ? ?? ? ?
1 ,则 t ? ?0,1? .此时 k ?1
2

令t ?

1 ?? 1 ? ? 2 f (t ) ? ? 2 ? 2 ??1 ? 2 ? ? ?2 ? t ??1 ? t ? ? ?t ? t ? 2, t ? (0,1] .由二次函数的性质可得: k ? 1 ?? k ? 1 ? ?

1 9 12 2 16 2 f (t ) min ? f (1) ? 2, f (t ) max ? f ( ) ? .故 ? AB ? DE ?min ? . ? 9 2 4 3 4

此时 t ?

1 ,即 k 2 ? 1, k ? ?1 . 2
16 2 .……………13 分 3

综上可知:当 k ? ?1 时 AB ? DE 取得最小值,最小值为

7. (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= (2)( 方法一)a =4c ,b =3c .
2 2 2 2

1 . 2

(方法二)设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t.

8. (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 3
? y ? k x ? 2,
2 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

得 (1 ? 3k ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0
2

? ? (12 k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



设 C ( x1 , y1 )

12 k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 D ( x2 , y2 ) ,则 ? ② ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
2

而 y1 ? y 2 ? (kx1 ? 2)( kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CE⊥DE, 即 EC ? ED ? 0 时,

则 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? 0 即 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 ∴

(k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 5 ? 0



将②式代入③整理解得 k ? 经验证, k ?

7 6

7 ,使①成立。 6 7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E 6

综上可知,存在 k ?

9. 建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点 F(-c,0)处,椭圆的方程为

x2 y2 + =1, a2 b2
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 足∠xFA=

π 时,由椭圆的几何意义可知,彗星 A 只能满 3

π π (或∠xFA′= ). 3 3 1 2 |FA|= m, 2 3

作 AB⊥Ox 于 B,则|FB|= 故由椭圆的第二定义可得 m= ①

c a2 ( -c), a c

4 c 2 a2 m= ( -c+ m). 3 a 3 c
两式相减得 ∴c=



1 c 2 1 3 m= · m,∴a=2c.代入①,得 m= (4c-c)= c, 3 a 3 2 2

2 2 m.∴a-c=c= m. 3 3

答:彗星与地球的最近距离为

2 m 万千米. 3


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