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【数学】甘肃省嘉峪关市第一中学2016届高三第六次模拟考试(文)

【数学】甘肃省嘉峪关市第一中学2016届高三第六次模拟考试(文)


嘉峪关市一中 2015-2016 学年高三第六次模拟考试

嘉峪关市一中 2015-2016 学年高三第六次模拟考试 数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 3} ,则 A I

B?(



A. (?1,3)
2. 复数

B. (1,3]

C. [1,3)


D. [?1,3]

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1
B.第二象限

A.第一象限

C.第三象限 )

D.第四象限

3.已知 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ? A. ?

? ?

B.

? ?

? ,则 sin ? ? ( ? ? ? C. D. ? ? ?


2 4.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( 2 A. ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 C. ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

2 B. ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

5.已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) , b ? (2,3) , c ? (?2, k ) ,若 (a ? b)//c ,则实数 k = ( A.4 ) B.-4 C .8 D.-8 )

6. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) (? ? 0 ,? ?

? ) 的部分图象如图所示, ? 的值分别是 则? , ( 2

? A. 2 ,

? ? ? ? ? C. 4 , ? D. 4 , B. 2 , 3 6 6 3

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?y ? 2 ? 0 ? y 7.若 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 的最大值是( x ?x ? y ? 5 ? 0 ?
A.



3 2

B.1

C .2

D.3 )

8.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是(

+ +1
A.5 B. 6
2

C.7

D.8 )

9. 已知函数 f ? x ? ? x ?

ln x x

,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为(

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.

17 ? 3 10 7 17 B. C.13D. 2 3 2

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11.过曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F1 做曲线 C2 : x2 ? y2 ? a2 的切线,设切 2 a b
2

点为 M , 延长 F1M 交曲线 C3 : y ? 2 px ? p ? 0? 与点 N , 其中 C1 , C3 有一个共同的焦点, 若F 1M ? MN ,则曲线 C1 的离心率为( A. 5 B. 5 ? 1 ) C. 5 ? 1 D.

5 ?1 2
x

12. 定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1, 且x ? [0,1]时, f ( x) ? 4 , x ? (1, 2) 时,

f ( x) ?
A.6

f (1) , 令 g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? 4, x ? [?6,2] ,则 函 数 g ( x) 的零点个数为 ( x
B.7 C. 8 D. 9



二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 150 的 样本,已知从学生中抽取的人数为 135,那么该学校的教师人数是_____________. 14.已知抛物线 y ? 2 x 上一点 P ? m, 2? ,则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为___________.
2

15. 已知函数 y ? sin x ? cos x , y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论中, 正确的序号是________. ①两函数的图像均关于点 ( ? ? ,0) 成中心对称;②两函数的图像均关于直线 x ? ? ? 成轴对称; 4 4 ③两函数在区间( ? 的最大值相同

?
4



? )上都是单调增函数;④两函数的最小正周期相同; ⑤两函数 4

1 ? ? 4( x ? ) 2 ? 1, 0 ? x ? 1 16. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? log x x ?1 ? 2014 ,
等,则 a ? b ? c 的取值范围是_____________

,若 f (a ) ? f (b) ? f (c) ,且 a, b, c 互不相

三、解答题(共 70 分)
17. (本小题满分 12 分)
2 2 2 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,满足 b ? c ? bc ? a

(1)求角 A 的大小; (2)已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,若 a1 ? cos A ? 1,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,求数列

? 4 ? ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an gan ?1 ?
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18. (本小题满分 12 分) 某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况, 现随机调查 100 位玩家的年龄整理后画 出频率分布直方图如图所示。 (1) 求 100 名玩家中各年龄组的人数, 并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有 玩家的平均年龄; (2)若已从年龄在 [35, 45) ,[45,55) 的玩家中利用分层抽样选取 6 人组成一个游戏联盟,现 从这 6 人中选出 2 人,求这两人在不同年龄组的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 ?F ? 平面 ??CD ,四边形 ???F 为矩形,四边形 ??CD 为直角梯形,

?D?? ? 90? , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 .
(1)求证: ?C ? 平面 ?C? ; (2)求三棱锥 ? ? ?CF 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

? x2 y 2 6? ? 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F ? 2,0? ,点 P ? 2, ? 2 ? ? 在椭圆上. a b ? 3 ?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 的直线, 交椭圆 C 于 A 、B 两点, 点 M 在椭圆 C 上, 坐标原点 O 恰为 ?ABM 的重心,求直线 l 的方程.

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21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ? ln x ?

? . x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果对所有的 x ≥1,都有 f ( x ) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第 一题评分。 22. (本小题满分 10 分) 略 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? 2cos ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程是 y ? 8 ,圆 C 的参数方程是 ? (φ 为 ? y ? 2 ? 2sin ?

参数) 。以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)射线 OM : ? ? ? (其中 0 ? a ? 线 ON : ? ? ? ?

?
2

)与圆 C 交于 O 、 P 两点,与直线 l 交于点 M ,射
|O P| |O Q| ? |O M | |O N|

?
2

与圆 C 交于 O 、Q 两点, 与直线 l 交于点 N , 求

的最大值。

24.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? k ? x ? 3 , k ? R且f ? x ? 3? ? 0 的解集为 ? ?1,1? (1)求 k 的值; (2) 若a, b, c是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1, 证明: a ? b ? c ? 1. ka 2kb 3kc 9 9 9

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2016 年高三第 6 次模拟考试数学答案
一、选择题 1、B 2、D 3、A 二、填空题 13、240 三、解答题 17、 14、 4、B 5、D 6、A 7、C 8、A 9、A 10、C 11、D 12、C

3 2

15、③⑤

16、 ? 2,2015?

18、解: (Ⅰ)各组年龄的人数分别为 10,30,40,20 人 ……………………….4 分 估计所有玩家的平均年龄为 0.1? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.4 ? 40 ? 0.2 ? 50 ? 37 岁 ……………6 分 (Ⅱ)在 ?35,45

? 的人数为 4 人,记为 a, b, c, d ;在 ?45,55 ? 的人数为 2 人,记为 m, n .所以 ? ab?, ? ac? , ? ad ? ,? am?, ? an? , ?bc ? , ?bd ? ,
8 15

抽 取 结 果 共 有 15 种 , 列 举 如 下 :

?bm?, ?bn? , ?cd ? ,?cm?, ?cn? , ? dm?, ? dn? , ? mn? ……………………9 分
设“这两人在不同年龄组”为事件 A ,事件 A 所包含的基本事件有 8 种,则 P ( A) ?

? 这两人在不同年龄组的概率为

8 . ………………………….12 分 15

19、 (1)过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M , 因为 AD ? DC, 所以四边形 ADCM 为矩形. 所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
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所以 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,所以 AC ? BC ; 因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE, 所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC , 又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B 所以 AC ? 平面 BCE .……………………….6 分 (III)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM , 又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF , AB ? 平面 ABEF , AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF .

20、 (Ⅰ)由题意可得 c=2,左焦点 F1(-2,0),|PF|=

6 , 3

5 6 所以|PF1|= |PF|2+4c2= ,即 2a=|PF|+|PF1|=2 6,即 a2=6,b2=2, 3 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 …5 分

(Ⅱ)显然直线 l 与 x 轴不垂直,设 l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2). 将 l 的方程代入 C 得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,

x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x x ? …………………….7 分 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
-2k 12k 6k 4k (1+ , ),即 M (- , ). 3k2 1+3k2 1+3k2 1+3k2
2 2

所以 AB 的中点 N

1 1 5 由点 M 在 C 上,可得 15k4+2k2-1=0,解得 k2= 或- (舍) ,即 k=± . 5 3 5 故直线 l 的方程为 y=± 5 (x-2). 5 …12 分

? ? ) , f ?( x ) ? 21、 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (?,
当? ? x ?

?x -? x?

……2 分 ……3 分 ……5 分

? ? 时, f ?( x ) ? ? ,当 x ? 时, f ?( x ) ? ? ? ? ? ? 所以函数 f ( x ) 在 (?, ) 上单调递减,在 ( ,??) 单调递增. ? ?

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(Ⅱ)法一:设 g( x ) ? ? ln x ? 因为 x ≥1,所以 ? ? ? ?(

? ? ? ? ? ax ,则 g ?( x ) ? ? ? ? a ? ? ( ? ?) ? ? ? ? a x x x x

? ? ?) ? ? ? ……7 分 x

? ? a ? ? ,g ?( x ) ? ? , (ⅰ) 当 a ? ? 时, 所以 g ( x ) 在 [ ?, ? ? ) 单调递减, 而 g(?) ? ? ? a ? ? ,

所以对所有的 x ≥1, g ( x ) ≤0,即 f ( x ) ≤ ax ; (ⅱ) 当 ? ? a ? ? 时,? ? ? ? a ? ? , 若 x ? (? ,

?? ?? a ), 则 g ?( x ) ? 0 ,g ( x ) 单调递增, a

而 g(?) ? ? ? a ? ? ,所以当 x ? (? ,

?? ?? a ) 时, g( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ax ; a

? ? a ? ?, (ⅲ) 当 a ? ? 时, 所以 g ( x ) 在 [ ? , ? ? ) 单调递增, 而 g(?) ? ? ? a ? ? , g ?( x ) ? ? ,

所以对所有的 x ≥1, g( x ) ? ? ,即 f ( x ) ? ax ;

, ? ?) . 综上, a 的取值范围是 [?

……12 分

? ln x ? ? ? ……6 分 x x ?( x ? x ln x ? ?) ? ln x ? ? ? ? ln x ? ? ? ( x ? ?) ,则 h?( x ) ? ? ? ? 令 h( x ) ? ? x x x x x?
法二:当 x ≥1 时, f ( x ) ≤ ax ? a ?

……7 分

令 m( x ) ? x ? x ln x ? ?( x ? ?) ,则 m ?( x ) ? ? ln x ,当 x ≥1 时, m ?( x ) ? ? ……8 分

, ? ?) 上为减函数,从而 m( x ) ? m(?) ? ? ,因此 h?( x ) ? ? , 于是 m( x ) 在 [? , ? ?) 上为减函数,所以当 x ? ? 时 h( x ) 有最大值 h(?) ? ? , 于是 h( x ) 在 [? , ? ?) . 故 a ? ? ,即 a 的取值范围是 [?
22、 (Ⅰ)作 AA ' ? EF 交 EF 于点 A ' ,作 BB ' ? EF 交 EF 于点 B ' .

……9 分 ……11 分 ……12 分

2 2 2 2 因为 A ' M ? OA '? OM , B ' M ? OB '? OM ,所以 A ' M ? B ' M ? 2OA ' ? 2OM .

2 2 2 从而 AM ? BM ? AA ' ? A ' M ? BB ' ? B ' M ? 2( AA ' ? OA ' ? OM ) .
2 2 2 2 2 2

故 AM ? BM ? 2(r ? m ) . …………………………5 分
2 2 2 2
2 2 (Ⅱ) 因为 EM ? r ? m ,FM ? r ? m , 所以 AM ? CM ? BM ? DM ? EM ? FM ? r ? m .

AM BM AM 2 BM 2 AM 2 ? BM 2 ? ? ? ? 因为 CM DM AM ? CM BM ? DM EM ? FM

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所以

AM BM 2(r 2 ? m2 ) AM BM 5 ? ? .……10 分 ? ? 2 .又因为 r ? 3m ,所以 2 CM DM 2 CM DM r ?m

23、解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 . 圆 C 的普通方程分别是 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 所以圆 C 的极坐标方程分别是 ? ? 4 sin ? . …….5 分 (Ⅱ)依题意得,点 P, M 的极坐标分别为 ?

?? ? 4 sin ? , ?? sin ? ? 8, 和? ?? ? ? . ?? ? ? ,

所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |?

8 | OP | 4sin ? sin 2 ? ? ? ,从而 . 8 sin ? | OM | 2 sin ?

| OQ | ? 同理, | ON |
故当 ? ?

sin 2 (? ? ) sin 2 (? ? ) 2 2 | OP | | OQ | sin ? 2 .所以 2 ? sin (2? ) , ? ? ? 2 | OM | | ON | 2 2 16
1 | OP | | OQ | ? 的值最大,该最大值是 . …10 分 16 | OM | | ON |

?

?

?
4

时,

24、解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k 由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 x ? k ? x ? k

?

?

又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ?1,1? ,故 k ? 1 …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 由均值不等式得

1 1 1 ? ? ? 1 又 a, b, c 是正实数, a 2b 3c

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b 1 2 3 当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。也即 a ? b ? c ? 1 ………… 10 分 9 9 9

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