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(第43课时)1.3含绝对值的不等式的解法

(第43课时)1.3含绝对值的不等式的解法


第 43 课时

2005.9.29 星期四

第一章 集合及简易逻辑
课题 3:含绝对值的不等式的解法 一.教学目标:掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法. 二.教学重点:解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组) ,难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中,集合间 的交、并等各种运算. 三.教学过程: (一)主要知识: 1.绝对值的几何意义:| x | 是指数轴上点 x 到原点的距离;| x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离 2.当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ; 当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ?? . (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式 (组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) 4 ?| 2 x ? 3 |? 7 ; (2) | x ? 2 |?| x ? 1| ; (3) | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . 解: (1)原不等式可化为 4 ? 2x ? 3 ? 7 或 ?7 ? 2x ? 3 ? ?4 ,∴原不等式解集为 [?2, ? ) ? ( ,5] . (2)原不等式可化为 ( x ? 2) ? ( x ? 1) ,即 x ?
2 2

1 2

7 2

1 1 ,∴原不等式解集为 [ , ??) . 2 2

(3)当 x ? ? 当?

1 时,原不等式可化为 ?2 x ?1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? ?1 ,此时 x ? ?1 ; 2

1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2x ?1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? 1 ,此时1 ? x ? 2 ; 2
第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值不等式的解法

当 x ? 2 时,原不等式可化为 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,∴ x ? 综上可得:原不等式的解集为 (??, ?1) ? (1, ??) .

5 ,此时 x ? 2 . 3

例 2. (1)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (??,3) ; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, ??) . 解 : 1 ) 可 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的 图 象 或 者 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 (

| x ? 1 | ? |x ? 2 ? x ? 1 ? | 2x ?|x | ? ? 2 得 | x3 1| ? | x ? 2 |? 3 ,∴ a ? 3 ; | | | ? 1 ? ?| ? x
(2)与(1)同理可得 | x ? 1| ? | x ? 3 |? 4 ,∴ a ? 4 . 例 3.设 a ? 0, b ? 0 ,解关于 x 的不等式: | ax ? 2 |? bx . 解: 原不等式可化为 ax ? 2 ? bx 或 ax ? 2 ? ?bx , (a ?b) ? ①或 (a ? b) x ? 2 ? x ? 即 x 2

2 ②, a?b

2 2 2 ,∴此时,原不等式解为: x ? 或x? ; a ?b a ?b a?b 2 当 a ? b ? 0 时,由①得 x ? ? ,∴此时,原不等式解为: x ? ; a?b 2 2 当 0 ? a ? b 时,由①得 x ? ,∴此时,原不等式解为: x ? . a ?b a?b 2 2 综上可得,当 a ? b ? 0 时,原不等式解集为 (??, ] ?[ , ??) , a?b a ?b 2 当 0 ? a ? b 时,原不等式解集为 (??, ]. a?b
当 a ? b ? 0 时,由①得 x ? 例 4.已知 A ? {x || 2 x ? 3|? a} , B ? {x || x |? 10} ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. ? 解:当 a ? 0 时, A ? ? ,此时满足题意; 当 a ? 0 时, | 2 x ? 3 |? a ?

3? a 3? a ,∵ A ? B , ?x? ? 2 2

?3 ? a ? 2 ? ?10 ? ? a ? 17 , ∴? ? 3 ? a ? 10 ? 2 ?
综上可得, a 的取值范围为 (??,17] . 第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值不等式的解法

例 5.在一条公路上,每隔 100km 有个仓库(如下图) ,共有 5 个仓库.一号仓库存有 10t 货物,二 号仓库存 20t ,五号仓库存 40t ,其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物放在一个仓库里,如 果每吨货物运输 1km 需要 0.5 元运输费,那么最少要多少运费才行? 解:以一号仓库为原点建立坐标轴, 一 二 三 四 五

则五个点坐标分别为 A1 : 0, A2 :100, A3 : 200, A4 : 300, A5 : 400 , 设货物集中于点 B : x ,则所花的运费 y ? 5 | x | ?10 | x ? 100 | ?20 | x ? 200 | , 当 0 ? x ? 100 时, y ? ?25x ? 9000 ,此时,当 x ? 100 时, ymin ? 6500 ; 当 100 ? x ? 400 时, y ? ?5x ? 7000 ,此时, 5000 ? y ? 6500 ; 当 x ? 400 时, y ? 35x ? 9000 ,此时,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 . 综上可得,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 ,即将货物都运到五号仓库时,花费最少,为 5000 元. (四)巩固练习: 1. |

x x 3 的解集是 (?1,0) ; | 2 x ? 3 |? 3x 的解集是 ( ??, ) ; |? 1? x 1? x 5
|a?b| ? 1 成立的充要条件是 | a |?| b | ; |a|?|b|

2.不等式

3.若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3|? a 的解集不是空集,则 a? (7, ??) ; 4.不等式 | 2 x ? log 2 x |? 2 x? | log 2 x | 成立,则 x? (1, ??) . 四.课后作业:课后作业:教学与测试 3. 五.教学后记: 普通班学生数学的基础不是很好,计算能力更是差,死记但不会灵活应用,而且还特别懒, 自我测试一改,空白的同学好几个,每班都有 7,8 位同学没有上交。

第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值不等式的解法


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