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高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》双曲线第二课时

高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》双曲线第二课时


解: 依题意,设双曲线的标准方程为:
∵ 2a = 6, c=4 ∴ a = 3, c = 4 ∴ b2 = c2-a2=42-32 =7 所以双曲线的标准方程为:

例3 已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),双 曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程.
定系数法求曲线的标准 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 方程的步骤: 2 a b (1)定形(确定图形形 状)

[题后感悟]用待

x 2 y 2 (3)定量(求a,b,c的值) ? ?1 9 7

(2)定位(确定焦点所在 位置)

例变式 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是双曲线, 6 PF1 ? PF2 ? 中的绝对值符号去掉, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. 则b2=25-9=16 x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

此题中若把

动点P的轨迹又是什么?

变式 变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

例4:已知双曲线的焦点坐标为F1(-4,0)和 F2(4,0), 并且经过点P(4,6),求双曲线 的方程。
解:依题意,设双曲线的标准方程为

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

点P(4,6)到两个焦点坐标F1(-4,0)和F2(4,0)的距离之差 为∣PF1∣—∣PF2∣= (4 ? 4) 2 ? (6 ? 0) 2 ? (4 ? 4) 2 ? (6 ? 0) 2 ? 4
也就是说2a=4,a=2。

又∵c=4 ∴b= c 2 ? a 2 2 42 2 22 ? 2 ? ? x y 所以双曲线的方程为 4 ? 12 ? 1

3

练一练
? 写出适合下列条件的双曲线的标准方程

1)半焦距c= 6 ,经过(-5,2), 焦点在x轴上; 2)焦点在x轴上的双曲线过点

P(4 2 ,-3 )且Q(0,5)与两焦 点的连线互相垂直。

课堂小结
两个知识点: 双曲线定义 双曲线的标准方程

两种方法: 待定系数法

定义法

三种数学思想:类比的思想 数形结合的思想

方程的思想

课堂小结
定义:

本节双曲线知识归纳整理
(0<2a<|F1F2|)

||MF1|-|MF2||=2a

x2 y 2 方程形式: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
y

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y F2

图象:

F1

o

F2 x F1

o

x

位置特征:
焦点坐标

焦点在x轴上
F1 ( ?c, 0)
F2 (c, 0)

焦点在y轴上
F1 (0, ?c) F2 (0, c )

数量特征:

2 c 2 ? a 2 ? b(a, b, c ? 0)


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