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北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)数学(理科)

北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)数学(理科)

北京市东城区普通校 2014 届高三 3 月联考(零模) 数学(理科)
本试卷共 150 分,考试用长 120 分钟。

第一部分
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合 A ? x y ? ln ?1 ? x ? ,集合 B ? y y ? x 2 ,则 A ? B ? A. ?0,1? B. 0,1

?

?

?

?

? ?
1 2

C.

? ??,1?

D. ? ??,1?

2. 函数 f ( x) ? log 2 x 与 g ( x) ? ( ) x ?1 在同一直角坐标系中的图象是

A 3. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? A. 关于点 ( C. 关于点 (

B

C

D

?
4

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象
B. 关于直线 x ? 对称 8 ? D. 关于直线 x ? 对称 4

?

?

4

, 0) 对称 , 0) 对称

?

8

4. 若双曲线 x2 ? ky 2 ? 1 的离心率是 2 ,则实数 k 的值是 A. 3 B.

1 3

C. ?3

D. ?

1 3

5. 某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为 A. k ? 6 C. k ? 4 B. k ? 5 D. k ? 3

1

6. 设 a ? R , 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的 导 函 数 是 f ?( x ) , 若 f ?( x ) 是 偶 函 数 , 则 曲 线

y ? f ( x) 在原点处的切线方程为
A. y ? ?3x C. y ? 3x B. y ? ?2 x D. y ? 2 x

7. 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A.

1 7

B.

1 6

C.

1 5

D.

1 4

8. 从一个三棱柱的 6 个顶点中任取 4 个做为顶点,能构成三棱锥的个数设为 m ;过三棱柱任意两个 顶点的直线(15 条)中,其中能构成异面直线有 n 对,则 m ,n 的取值分别为 A. 15,45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48

第二部分
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上。
2 9. 在 (2 x ?

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为 x



10.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,角 A , B , C 成等差数列, 则 cos B =________;若同时边 a , b , c 成等比数列,则 cos 2 A =________。

2

?x ? y ?1 ? 0 ? 11.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , z ? 3x?2 y ,则 z 的取值范围是 ? x?0 ?
12.已知圆 C: ? 弦长为



? x ? cos ? , ( ? 为参数)与直线 l : r (cos q + sinq) = 2 , 则直线 l 截圆 C 所得的 ? y ? 1 ? sin ?


13. 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 依次为主视图, 侧视图, 俯视图,则此几何体的表面积为 。

14. 关于曲线 C : x4 ? y 2 ? 1 ,给出下列说法: ①关于坐标轴对称; ② 关于点 (0, 0) 对称;

③关于直线 y ? x 对称; ④是封闭图形,面积大于 ? . 则其中正确说法的序号是 .(注:把你认为正确的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本题满分 13 分) 已知 sin(? ? ? ) ?
2 (Ⅰ )求 sin 2? ? cos

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? . 5 ? 2?
的值;

?

2 5 1 (Ⅱ )求函数 f ( x) ? cos ? sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间. 6 2
16.(本题满分 13 分) 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1, 2,3, 4,5,6 . (Ⅰ ) 若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有两次编号为 3 的倍数的概率; (Ⅱ )若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列和

X 的数学期望.
17.(本题满分 14 分)如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形
?

3

ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD .
(Ⅰ )若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ )求 二 面 角 A ? B D? O 的余弦值; (Ⅲ )设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 ,并证明你的结论.

18.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? 0) . 2

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )求 y ? f ( x) 在区间 (0, 2] 上的最大值. 19.(本题满分 13 分) 已知直线 l 与抛物线 x2 ? 4 y 相交于 A , B 两点,且与圆 ( y ?1)2 ? x2 ? 1 相切. (Ⅰ)求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围; (Ⅱ)设 F 是抛物线的焦点,且 FA ? FB ? 0 ,求直线 l 的方程. 20.(本题满分 14 分)在数列 {an } 和 {bn } 中,an ? a n ,bn ? (a ? 1)n ? b ,n ? 1, 2,3,? ,其中 a ? 2 且 a?Z ,b?R . (Ⅰ )若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和; (Ⅱ )证明:当 a ? 2, b ? 2 时,数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列; (Ⅲ )设 A ? {a1 , a2 , a3 ,? } , B ? {b1 , b2 , b3 ,?} ,设 C ? A ? B .当 b ? 1 时,求出相应的集合 C .

??? ? ??? ?

4

北京市东城区普通校 2014 届高三 3 月联考(零模) 数学理参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C

二、 填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上. (若有两空, 第一空 3 分; 第 14 题多选、错选得 0 分,少选得 3 分) 9. -40 10.

1 1 ;? 2 2

11. [1 , 9]

12.

2

13. 9 ? 18 2

14. ① ② ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 解:(1)因为 sin(? ? ? ) ? sin ? ,所以 sin ? ? 因为 ? ? ? 0,

4 , 5

(2 分)

3 ? ?? 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 5 , ? 2?

(4 分)

sin 2? ? cos 2
=

?
2

= 2sin ? cos ? ?

1 ? cos ? 2

(6 分) (7 分)

24 1 3 4 ? ? = 25 2 10 25 3 (2)? cos ? ? 5 5 1 1 1 ? f ( x) ? cos ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 2 2 2
=

(8 分)

2 ? sin(2 x ? ) 2 4

(10 分)

令 2 k? ?

, (k ? Z ) ,解得 4 2 ? 3? k? ? ? x ? k ? ? , (k ? Z ) , 8 8 ? 3? ](k ? Z ) . 所以单调递增区间为[ [k? ? , k? ? 8 8 2
16. 解:(I)从袋中随机抽取 1 个球,其编号为 3 的倍数的概率 P ? 有放回的抽取 3 次,恰有 2 次编号为 3 的倍数的概率为

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

(12 分) (13 分)

2 1 ? 6 3

(2 分)

1 6 1 1 2 P3 (2) ? C3 ( ) (1 ? )1 ? 3 3 27
5

(6 分)

(II)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5,6 .

(7 分)

P( X ? 3) ?

3 C3 1 , ? 3 C6 20

P( X ? 4) ?

C32 3 , ? 3 C6 20

2 C52 10 1 C4 6 3 P( X ? 5) ? 3 ? ? , P( X ? 6) ? 3 ? ? C6 20 10 C6 20 2

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

3
1 20

4

5
3 10

6
1 2
(11 分)

3 20

EX ? 3 ?

1 3 3 1 9 ? 4? ? 5? ? 6? ? 20 20 20 2 2

(13 分)

17. 解:(Ⅰ )因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点,所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中 点,所以 OM // AB . (2 分) (4 分)

因为 OM ? 平 面 ABD , AB ? 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD .

? (Ⅱ )由题意, OB ? OD ? 3 ,因为 BD ? 3 2 ,所以 ?BOD ? 90 , OB ? OD . (5 分)又因为菱形

ABCD , 所 以 O B ?

A , C OD ? AC . 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y , z如 图 所

示. A(3 3,0,0), D(0,3,0), B(0, 0,3) .

所以 AB ? (?3 3,0,3), AD ? (?3 3,3,0), 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

??? ?

(6 分)

??? ? ? ? ? AB ? n ? 0, ??3 3x ? 3z ? 0, 则有 ? ???? 即: ? 令 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 3 ,所以 n ? (1, 3, 3) .(8 分) ? ? ? AD ? n ? 0 ??3 3x ? 3 y ? 0
6

因为 AC ? OB, AC ? OD ,所以 AC ? 平面 BOD .平面 BOD 的法向量与 AC 平行,所以平面 BOD 的法向量为 n0 ? (1,0,0) . (9 分)

cos? n0 , n? ?

n0 ? n 1 7 ,因 为 二 面 角 A ? B D? O 是锐角, ? ? n0 n 1? 7 7
7 . 7
(10 分)

所 以 二 面 角 A ? B D? O 的余弦值为

(Ⅲ )解:因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ( x1 , y1 , z1 ) , BN ? ? BD , 则 ( x1 , y1 , z1 ? 3) ? ? (0,3, ?3) ,所以 x1 ? 0, y1 ? 3?, z1 ? 3 ? 3? ,、 则 N (0,3? ,3 ? 3? ) , CN ? (3 3,3?,3 ? 3?) ,
2 2 由 CN ? 4 2 得 27 ? 9? ? (3 ? 3? ) ? 4 2 ,即 9? 2 ? 9? ? 2 ? 0 ,

??? ?

??? ?

??? ?

(12 分) (13 分)

解得 ? ?

1 2 或? ? , 3 3

(所以 N 点是线段 BD 的三等分点, BN ? 2 ND 或 2BN ? ND ) 18. 解:(Ⅰ ) a ? 0, f ( x) ? 2ln x ? x , f ?( x) ?

??? ?

????

??? ?

????

(14 分) (2 分)

2 2? x ?1 ? ( x ? 0) x x

在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? (5 分) (7 分)

2 ( x ? 0) . x

f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) x

① 当 a ? 0 时,由(Ⅰ )知 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2 ② 当0 ? a ? (9 分)

1 1 时, ? 2 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;故 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增 2 a
(11 分)

故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ③ 当a ?

1 1 1 1 时, 0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a

1 1 f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, (9 分) a a
故在 (0, 2] 上 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a
7

(13 分)

19. 解: (Ⅰ)解:设直线 l 的方程为 y ? kx ? b .由直线 l 与圆 ( y ?1)2 ? x2 ? 1 相切, 得

| b ? 1| k ?1
2

? 1 ,化简得 k 2 ? b2 ? 2b .

(2 分)

直线 l 的方程代入 x2 ? 4 y ,消去 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 .(*)

(3 分)

由直线 l 与抛物线 x2 ? 4 y 相交于 A , B 两点,得 ? ? ??4k ?2 ? 16b ? 0 ,即 k 2 ? b ? 0 . 将 k 2 ? b2 ? 2b 代入上式,得 b2 ? b ? 0 .解得 b ? 1 ,或 b ? 0 . 注意到 k 2 ? b2 ? 2b ? 0 ,从而有 b ? 2 ,或 b ? 0 . (Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .由(*)得 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b . 所以 FA ? FB ? x1x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) . 将 y1 ? (5 分) (6 分)

??? ? ??? ?

x12 x2 , y2 ? 2 代入上式,得 4 4
(10 分)

2 ??? ? ??? ? x12 x2 3 1 1 FA ? FB ? x1 x2 ? ( ? 1)( ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 . 4 4 2 16 4

将 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b 代入上式,令 FA ? FB ? 0 ,得 b2 ? 4k 2 ? 6b ? 1 ? 0 .
2 2 2 所以 b ? 4(b ? 2b) ? 6b ? 1 ? 0 ,即 3b ? 2b ? 1 ? 0 . 解得 b ? ?

??? ? ??? ?

1 , b ? 1 (舍去). 3

故 k ? ? b 2 ? 2b ? ?

7 . 3
(13 分)

所以直线 l 的方程为 7 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,或 7 x ? 3 y ?1 ? 0 .

2 20. 解:(Ⅰ )因为 a1 ? b1 ,所以 a ? a ? 1 ? b , b ? ?1 , (1 分)由 a2 ? b2 ,得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,

* 所以 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 , (3 分)因为 a ? 2 且 a ? N ,所以 a ? 2 ,

(4 分)

所以 bn ? 3n ? 1 , {bn } 是等差数列, 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n 3 1 (b1 ? bn ) ? n 2 ? n . 2 2 2

(5 分)

* (Ⅱ )由已知 bn ? 3n ? 2 ,假设 3m ? 2 , 3 p ? 2 , 3t ? 2 成等比数列,其中 m, p, t ? N ,

且彼此不等, 则 (3 p ? 2)2 ? (3m ? 2)(3t ? 2) , 所以 9 p ? 6 2 p ? 2 ? 9mt ? 3 2m ? 3 2t ? 2 ,
2

(6 分)

8

所以 ?

? p 2 ? mt ? 2n ? m ? t

,

(8 分)

可得 m ? t ,与 m ? t 矛盾;假设不成立. 所以数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列. (9 分)

(Ⅲ)当 b ? 1 时 , 设 m0 ? C , 则 m0 ? A , 且 m0 ? B , 设 m0 ? at (t ? N* ) , m0 ? (a ? 1)s ? 1(s ? N* ) , 则

at ? 1 , (10 分) a ? (a ? 1)s ? 1 ,所以 s ? a ?1
t

因为 a, t , s ? N* ,且 a ? 2 ,所以 a t ? 1 能被 a ? 1 整除. (1)当 t ? 1 时, s ?

a ?1 ? N* ; a ?1
*

(11 分)

1 (2)当 t ? 2n(n ? N ) 时, a2n ?1 ? [(a ? 1) ?1]2n ?1 ? (a ? 1)2n ? ?? C2 n (a ? 1) ? 1 ? 1,

所以 at ? b 能被 a ? 1 整除. (3)当 t ? 2n ? 1(n ? N* ) 时,
1 a2n?1 ?1 ? [(a ? 1) ?1]2n?1 ?1 ? (a ? 1)2n?1 ? ?? C2 n?1 (a ? 1) ? 2 ,

(12 分)

所以 a t ? 1 不能被 a ? 1 整除.
2n * 综上, b ? 1 时, C ? { y y ? a , n ? N } ;

(13 分) (14 分)

9


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