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2016年高三数学(理)创新设计资料包13-3_图文

2016年高三数学(理)创新设计资料包13-3_图文

第 3讲
最新考纲

数学归纳法及其应用

1.了解数学归纳法的原理;2.能用数学归纳法

证明一些简单的数学命题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) 时命题成 (1)(归纳奠基)证明当n取__________________ 立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立. 当_________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所

有正整数n都成立.
基础诊断 考点突破

课堂总结

2.数学归纳法的框图表示

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 示 精彩PPT展

(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结 ×
论成立. 明. ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证 × (× ) ) ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用. (

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n ×
=k到n=k+1时,项数都增加了一项. (

基础诊断

考点突破

课堂总结

n+ 2 1 - a + 2.用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an 1= (a≠1,n 1- a

∈N*),在验证 n=1 时,等式左边的项是

(

)

A.1 C.1+a+a2 答案 C

B.1+a D.1+a+a2+a3

基础诊断

考点突破

课堂总结

4 2 n + n 3. 用数学归纳法证明等式: 1+2+3+…+n2= (n∈N*), 2

则从 n=k 到 n=k+1 时,左边应添加的项为(

)

A.k2+1 B.(k+1)2 (k+1)4+(k+1)2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2,n=k+1

时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+… +(k+1)2.比较上述两个式子,n=k+1时,等式的左边 是在假设n=k时等式成立的基础上,等式的左边加上了 (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 答案 D

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考点突破

课堂总结

4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整 除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而 需证n=________时,命题亦真. 解析 答案 因为n为正奇数,所以与2k-1相邻的下一个奇数 2k+1 是2k+1.

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考点突破

课堂总结

5.(人教 A 选修 2-2P94 例 2 改编)已知{an}满足 an+1=a2 n- nan+1,n∈N*,且 a1=2.则 a2=______,a3=________, a4=________.猜想 an=________.
答案 3 4 5 n+1

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课堂总结

考点一

用数学归纳法证明等式

【例1】 用数学归纳法证明:

1 1 1 1 n + + +…+ = (n∈ N* ). 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) 4(n+1)
证明 (1)当 n=1 时,

1 1 左边= = , 2×1×(2×1+2) 8 1 1 右边= = , 4(1+1) 8 左边=右边,所以等式成立.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)假设 n=k(k∈N*)时等式成立,即有 1 1 1 1 k + + +…+ = , 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) 4(k+1) 1 1 1 1 则当 n=k+1 时, + + +…+ + 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) 1 2(k+1)[2(k+1)+2] k(k+2)+1 k 1 = + = 4(k+1) 4(k+1)(k+2) 4(k+1)(k+2) (k+1)2 k+ 1 k+1 = = = . 4(k+1)(k+2) 4(k+2) 4(k+1+1)

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考点突破

课堂总结

所以当n=k+1时,等式也成立,
由(1)(2)可知,对于一切n∈N*等式都成立. 规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式 时,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等 式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由

n=k到n=k+1时等式的两边变化的项,然后正确写出归
纳证明的步骤,使问题得以证明.

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课堂总结

【训练1】 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-
1)(n∈N*). 证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=21· 1=2,∴

等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+ 2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1). 当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·…·2k· (2k+1)(2k+2) =2· (k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)· (2k+1)

=2· 2k·1·3·5·…·(2k-1)· (2k+1)
=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1). 这就是说当n=k+1时,等式成立. 根据(1)(2)知,对n∈N*,原等式成立.
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二

用数学归纳法证明不等式

【例2】 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*,
点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数) 的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*).
证 明 : 对 任 意 的 n∈N* , 不 等 式 b1+1 b2+1 bn+1 · ·…· > n+1成立. bn b1 b2

基础诊断

考点突破

课堂总结

(1)解

由题意,Sn=bn+r,


当 n≥2 时,Sn-1=bn 1+r, 所以 an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于 b>0,且 b≠1,所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比 b(b-1) a2 数列,又 a1=b+r,a2=b(b-1), =b,即 =b, a1 b+r 解得 r=-1. (2)证明 由(1)知 an=2n 1,因此 bn=2n(n∈N*),所证不等式


2+1 4+1 2n+1 为 · ·…· > n+1. 2 4 2n

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考点突破

课堂总结

3 ①当 n=1 时,左式= ,右式= 2, 2 左式>右式,所以结论成立. 2+1 4+1 2k+1 ②假设 n=k 时结论成立,即 · ·…· > k+1, 2 4 2k 则 当 n = k + 1 时 ,

2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 2k+3 · · …· · > k+1· = , 2 4 2k 2(k+1) 2(k+1) 2 k+1 要证当 n=k+1 时结论成立, 2k+3 只需证 ≥ k+2, 2 k+ 1
基础诊断 考点突破 课堂总结

2k+3 即证 ≥ (k+1)(k+2), 2 由均值不等式可得 2k+3 (k+1)+(k+2) = ≥ (k+1)(k+2)成立, 2 2 2k+3 故 ≥ k+2成立,所以,当 n=k+1 时,结论成立. 2 k+1 由①②可知,n∈N*时, b1+1 b2+1 bn+1 不等式 · ·…· b > n+1成立. b1 b2 n

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时

命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可
运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明, 充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问 题得以简化.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 2】 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n,
? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 不等式?1+3??1+5?·…·?1+2n-1? ?> ? ?? ? ? ?

2n+1 均成立. 2

证明

1 4 5 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2

∵左边>右边,∴不等式成立. (2) 假 设 n = k(k≥2 , 且 k∈N
? ? 1 ? 1? ? ? ?1+ ?·…·?1+ > 2k-1? 5? ? ? ?
*

? 1? ) 时 不 等 式 成 立 , 即 ?1+3? ? ?

2k+1 .则当 n=k+1 时, 2

基础诊断

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课堂总结

? 1? ?1+ ? 3? ?

? 1? ?1+ ? 5? ?

·



·

? 1 ? ? ? 1 + ? 2k-1? ? ?

[1



2k+1 2k+2 2k+2 1 ]> · = 2 2(k+1)-1 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+4 4k2+8k+3 = > 2 2k+1 2 2k+1 2k+3 2k+1 2(k+1)+1 = = . 2 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.

基础诊断

考点突破

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考点三

归纳——猜想——证明

an 1 【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1, 2 an 且 an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

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(1)解

当 n=1 时,

a1 1 由已知得 a1= + -1,a2 1+2a1-2=0. 2 a1 ∴a1= 3-1(a1>0). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2 2+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0).同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).

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(2)证明

①由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立.

②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. ak + 1 1 ak 1 由于 ak+1=Sk+1-Sk= + - - , 2 ak+1 2 ak 将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式,整理得 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0, ∴ak+1= 2k+3- 2k+1, 即 n=k+1 时通项公式成立. 由①②可知对所有 n∈N*,an= 2n+1- 2n-1都成立.
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规律方法

“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳

法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决 探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是

先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理证明结论的正
确性.

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【训练3】 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=

0有一根为Sn-1(n∈N*).
(1)求a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出证明.
解 (1)当 n=1 时,方程 x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1

-1,∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 1 解得 a1= . 2 当 n=2 时,方程 x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a1+a2-1 1 = a2 - , 2
基础诊断 考点突破 课堂总结

? ? 1 ?2 1? ∴?a2-2? -a2?a2-2?-a2=0,解得 ? ? ? ?

1 a2= . 6

(2)由题意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 1 SnSn-1-2Sn+1=0,解得 Sn= . 2-Sn-1 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 n 猜想 Sn= (n∈N*). n+1

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课堂总结

下面用数学归纳法证明这个结论. ①当 n=1 时,结论成立. k ②假设 n=k(k∈N ,k≥1)时结论成立,即 Sk= , k+1
*

1 当 n=k+1 时,Sk+1= = 2-Sk 即当 n=k+1 时结论成立.

k+ 1 k+1 k =k+2=(k+1)+1. 2- k+1 1

n 由①②知 Sn= 对任意的正整数 n 都成立. n+1

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考点突破

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[思想方法]
1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步 是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不

可,否则就会导致错误.
有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;有二无 一,第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下

两点:

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考点突破

课堂总结

(1)归纳假设就是已知条件;(2)在推证n=k+1时,必须 用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧

在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归
纳假设.此时既要看准目标,又要掌握n=k与n=k+1之 间的关系.在推证时,分析法、综合法、反证法等方法

都可以应用.

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考点突破

课堂总结

[易错防范]
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数

学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若 干具体项,这是归纳、猜想的基础.否则将会做大量无 用功.

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考点突破

课堂总结


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