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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件1北师大版必修 (2)_图文

高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件1北师大版必修 (2)_图文

2.6 平面向量数量积的 坐标表示

如果没有运算,向量只是一个“路标”,因 为有了运算,向量的力量无限.
下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺 利起航吧!

1.掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重 要的知识点.(重点) 2.会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关 知识解决实际问题.如判断垂直、求模、夹角等. (难点)

问题1:向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标 语言”表示,向量的数量积能否由“坐标语言”来 表示?
若两个向量 a ? (x1, y1),b ? (x2, y2)
a ? b ? (x1i ? y1 j ) ? (x2i ? y2 j ) ? ?

【探索练习】
设x轴上单位向量为 i ,
y轴上单位向量为 j , 请计算下列式子:

y

a bj

oi

x

① i ?i = 1 ③ i?j= 0

② j? j = 1 ④ j ?i = 0

所以 a ? b ? (x1i ? y1 j ) ? (x2i ? y2 j )
? x1x2i ? i ? x1 y2i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j ? j
? x1x2 ? y1 y2.
这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积 的和,即
a ?b ? x1x2 ? y1y2.

问题2:如何用向量的坐标来表示两向量数量积 的相关性质? (1)垂直的充要条件:
设非零向量a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,则
a ? b ? a b ? 0.
坐标表示为: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0.

(2)求模公式: | a |? a ? a .
坐标表示为: 设a ? (x, y),则|a|= x2 ? y2 .
特别地:
若A(x1, y1),B(x2, y2),则 AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1?,
A,B两点间的距离d ?| AB |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 .

(3)夹角公式:

设非零向量a ? (x1, y1),b ? (x2, y2), a与b的夹角为?,则
cos? ? a ?b
| a || b |

坐标表示为: cos? ?

x1x2 ? y1 y2

x12 ? y12 ? x22 ? y22

例1 已知 a ? ?3, 2? ,b ? ?1,?1? ,求向量 a 与 b 的
夹角的余弦值.
解:设向量a与b 的夹角为?,则
cos? ? 3?1 ? 2 ? ??1? ? 26 , 32 ? 22 ? 12 ? ??1?2 26
即向量a与b夹角的余弦值为 26 . 26

技巧方法:
1.细心代入,精确计算. 2.分步计算,化整为零.

例2 求以点C(ɑ,b)为圆心,r为半径的圆的方程.

解:设M(x,y)是圆C上任意一点, y M

则| CM|=r, 即 CM·CM = r2.

C

因为 CM =(x-a,y-b), 所以(x-a)2+(y-b)2=r2,

o

x

即圆的标准方程.

特别地:如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0 , 那么圆的标准方程为 x2+y2=r2.

总结提升: 设圆上任意一点M(x,y),构造向 量 MC ,利用向量的模为定值,列出 相等关系,化简即得所求曲线的方程.

例3 已知圆C:(x-ɑ)2+(y-b)2=r2,求与 圆C相切于点Po(xo,yo)的切线方程.(如图) 解: 设P(x,y)为所求直线 l上一点. 根据圆的切线性质,

y

l

C.

.
P

o

P0
x

有CP0⊥ l ,即CPo ·P0P =0,
因为CP0 =(xo-ɑ,yo-b), P0P =(x-xo,y-yo),所以(xo-ɑ)(x-xo)+(yob)(y-yo)=0.

特别地:
若ɑ=0,b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2,与它相切于 P0(x0,y0)的切线方程为x0(x-x0)+y0(y-y0)=0, 由于x02+y02=r2,故此方程可化为x0x+y0y=r2.

总结提升: 将相关向量用坐标表示,根据互相垂 直的向量的数量积等于零,写出表达 式.

直线的方向向量
由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量
m =(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非
零向量 m 称为直线l的方向向量.

例4 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0,求

直线l1和l2的夹角.

解: 任取直线l1和l2的方向向量

m

?

???1,

?

3 4

? ??

和n

?

?1,

?7?.

设向量m与n夹角为?,因为m ? n ??m??n?cos?,从而

cos? ?

1?1

?

? ??

?

3 4

? ??

?

?

?7?

? 2,

12

?

? ??

?

3 4

?2 ??

?

12 ? ??7?2

2

所以? ? 45?,即直线l1和l2的夹角为45?.

提升总结:
利用斜率为k的直线l的方向向量为 m = (1,k),写出直线l1和l2的方向向量, 然后运用向量的夹角公式计算出夹角的
余弦值,从而求出夹角. 注意:直线的夹角取值范围[0, ? ],当求
2
出的向量的夹角为钝角时,应取其补角.

1.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB

在 CD 方向上的投影为( A )

A. 3 2
2

B. 3 15
2

C.- 3 2
2

D.-3 15
2

2.(2015·全国卷Ⅱ)已知 a=(1,-1),b=(-1,2),则

(2a+b)·a= ( C )

A.-1

B.0

C.1

D.2

选C.

3.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边 形ABCD的形状是 矩形 .
23
4.给定两个向量 a ? (3, 4),b ? (2, ?1),若 (a ? xb)⊥(a ? b), 则x ? _3_ 若 (a ? xb)∥(a ? b),则x ? _?__1_ .

5.已知单位向量

e1,e

2的夹角为?,且cos?=

1 3

,

若向量

a ? 3e1 ? 2e2 ,则 a = 3

6.已知向量 a ? (1,sin? ), b ? (1,cos? ) ,则 a ? b 的最大值为___2_.

7.已知向量 a ? (4,3),b ? (?1, 2) (1)求 a 与 b 的夹角θ 的余弦值. (2)若向量 a ? ?b 与 2a ? b 垂直,求λ 的值.
解:(1)因为a ?b ? 4? (?1) ? 3? 2 ? 2,
又| a |? 42 ? 32 ? 5,
| b |? (?1)2 ? 22 ? 5,
所以cos? ? a ? b ? 2 = 2 5 .
| a | ? | b | 5 5 25

(2)a ? ?b ? (4 ? ?, 3 ? 2?),
2a ? b ? (7,8), 因为(a ? ?b) ? (2a ? b), 所以7 ? (4 ? ?) ? 8? (3 ? 2?) ? 0,
解得? ? 52 .
9

1.数量积的运算转化为向量的坐标运算:
已知两个向量a = (x1, y1), b = (x2 , y2),
a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2.向量模的坐标公式:
设 a ? (x, y),则 a ? x2 ? y2 .

3.向量夹角的坐标公式:

cos? ?

x1x2 ? y1 y2

.

x12 ? y12 ? x22 ? y22

4.平行、垂直的坐标表示:

a / /b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.
a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

5.三个重要公式 向量模公式:设 a ? (x1, y1),则 a ? x12 ? y12



两点间距离公式:若 A(x1, y1), B(x2, y2 ),





则 AB ? (x2 ? x1)2 ? (y2 ? y1)2







向量的夹角公式:设两非零向量

a ? (x1, y1), b ? (x2, y2 ),a与b的夹角为?,

则cos? ? a b ?

x1x2 ? y1y2

ab

x12 ? y12 x22 ? y22

不患位之不尊,而患德之不崇;不耻禄 之不伙,而耻智之不博.
——张衡


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